Теорема Скотта – Карри - Scott–Curry theorem

В математическая логика, то Теорема Скотта – Карри это результат лямбда-исчисление заявляя, что если два непустых набора лямбда-членов А и B закрыты относительно бета-конвертируемости, то они рекурсивно неразделимый.^[1]

Объяснение

Множество А лямбда-членов замкнуто относительно бета-конвертируемости, если для любых лямбда-членов X и Y, если ${ displaystyle X in A}$ и X есть β-эквивалент к Y тогда ${ displaystyle Y in A}$. Два набора А и B натуральных чисел рекурсивно отделимы, если существует вычислимая функция ${ displaystyle f: mathbb {N} rightarrow {0,1 }}$ такой, что ${ Displaystyle f (а) = 0}$ если ${ displaystyle a in A}$ и ${ displaystyle f (b) = 1}$ если ${ displaystyle b in B}$. Два набора лямбда-членов рекурсивно разделимы, если их соответствующие множества Гёделевская нумерация рекурсивно отделимы и в противном случае рекурсивно неразделимы.

Теорема Скотта – Карри в равной степени применима к наборам терминов в комбинаторная логика со слабым равенством. Он имеет параллели с Теорема Райса в теореме вычислимости, которая утверждает, что все нетривиальные семантические свойства программ неразрешимы.

Из теоремы сразу следует, что это неразрешимая проблема чтобы определить, являются ли два лямбда-члена β-эквивалентными.

Доказательство

Доказательство заимствовано из Барендрегта в Лямбда-исчисление.^[2]

Позволять А и B быть закрытым относительно бета-конвертируемости и пусть а и б быть лямбда-терминами представления элементов из А и B соответственно. Предположим от противоречия, что ж - лямбда-член, представляющий вычислимую функцию, такую ​​что ${ displaystyle fx = 0}$ если ${ displaystyle x in A}$ и ${ displaystyle fx = 1}$ если ${ displaystyle x in B}$ (где равенство - это β-равенство). Затем определите ${ Displaystyle G Equiv лямбда х. { text {if}} ({ text {ноль?}} (Fx)) ab}$. Здесь, ${ displaystyle { text {ноль?}}}$ истинно, если его аргумент равен нулю, и ложно в противном случае, и ${ displaystyle { text {if}}}$ это личность, так что ${ Displaystyle { текст {если}} bxy}$ равно Икс если б правда и у если б ложно.

потом ${ displaystyle x in C подразумевает Gx = a}$ и аналогично, ${ displaystyle x notin C подразумевает Gx = b}$. По второй теореме о рекурсии существует член Икс что равно ж применяется к церковной цифре его гёделевской нумерации, Икс'. потом ${ displaystyle X in C}$ подразумевает, что ${ Displaystyle X = G (X ') = b}$ так на самом деле ${ Displaystyle X notin C}$. Обратное предположение ${ Displaystyle X notin C}$ дает ${ Displaystyle X = G (X ') = а}$ так ${ displaystyle X in C}$. В любом случае мы приходим к противоречию, и поэтому ж не может быть функцией, которая разделяет А и B. Следовательно А и B рекурсивно неразделимы.

История

Дана Скотт впервые доказал теорему в 1963 году. Теорема, в несколько менее общей форме, была независимо доказана Хаскелл Карри.^[3] Он был опубликован в статье Карри 1969 года «Неразрешимость λK-преобразования».^[4]

Рекомендации