Модель быстрого доступа - Википедия - Shortcut model

Важный вопрос в статистическая механика - зависимость поведения модели от размерности системы. В сокращенная модель^[1][2] была введена в ходе изучения этой зависимости. Модель интерполирует между дискретными регулярными решетками целочисленной размерности.

Вступление

Поведение различных процессов на дискретных регулярных решетках изучено достаточно широко. Они демонстрируют богатое разнообразие поведения, в том числе нетривиальную зависимость от размерности регулярной решетки.^{[3][4][5][6][7][8][9][10][11]} В последние годы исследование расширилось с регулярных решеток на сложные сети. Модель быстрого доступа использовалась для изучения нескольких процессов и их зависимости от размерности.

Размер сложной сети

Обычно размер определяется на основе показателя масштабирования некоторого свойства в соответствующем пределе. Одно свойство, которое можно использовать ^[2] - масштабирование объема с расстоянием. Для регулярных решеток ${ displaystyle textstyle mathbf {Z} ^ {d}}$ количество узлов ${ displaystyle textstyle j}$ на расстоянии ${ Displaystyle textstyle г (я, j)}$ узла ${ displaystyle textstyle i}$ масштабируется как ${ Displaystyle textstyle г (я, j) ​​^ {d}}$.

Для систем, которые возникают в физических задачах, обычно можно идентифицировать некоторые физические пространственные отношения между вершинами. Узлы, которые связаны напрямую, будут иметь большее влияние друг на друга, чем узлы, разделенные несколькими связями. Таким образом, можно было определить расстояние ${ Displaystyle textstyle г (я, j)}$ между узлами ${ displaystyle textstyle i}$ и ${ displaystyle textstyle j}$ как длина кратчайшего пути, соединяющего узлы.

Для сложных сетей можно определить объем как количество узлов ${ displaystyle textstyle j}$ на расстоянии ${ Displaystyle textstyle г (я, j)}$ узла ${ displaystyle textstyle i}$, усредненное по ${ displaystyle textstyle i}$, а размер может быть определен как показатель степени, который определяет масштабирование объема с расстоянием. Для вектора ${ displaystyle textstyle { vec {n}} = (n_ {1}, dots, n_ {d}) in mathbf {Z} ^ {d}}$, куда ${ displaystyle textstyle d}$ - натуральное число, евклидова норма ${ displaystyle textstyle | { vec {n}} |}$ определяется как евклидово расстояние от начала координат до ${ displaystyle textstyle { vec {n}}}$, т.е.

${ displaystyle | { vec {n}} | = { sqrt {n_ {1} ^ {2} + cdots + n_ {d} ^ {2}}}.}$

Однако определение, которое обобщает сложные сети, - это ${ displaystyle textstyle L ^ {1}}$ норма,

${ displaystyle | { vec {n}} | _ {1} = | n_ {1} | + cdots + | n_ {d} |.}$

Свойства масштабирования сохраняются как для евклидовой нормы, так и для ${ displaystyle textstyle L ^ {1}}$ норма. Соотношение масштабирования

${ Displaystyle V (г) = kr ^ {d},}$

где d не обязательно является целым числом для сложных сетей. ${ displaystyle textstyle k}$ - геометрическая постоянная, зависящая от сложной сети. Если масштабное соотношение (Ур. выполняется, то можно также определить площадь поверхности ${ Displaystyle textstyle S (г)}$ как количество узлов, которые находятся точно на расстоянии ${ displaystyle textstyle r}$ из данного узла, и ${ Displaystyle textstyle S (г)}$ масштабируется как

${ Displaystyle S (г) = kdr ^ {d-1}.}$

Определение, основанное на комплексная сетевая дзета-функция^[1] обобщает определение, основанное на свойстве масштабирования объема с расстоянием^[2] и ставит его на математически устойчивую основу.

Модель быстрого доступа

Краткая модель начинается с сети, построенной на одномерной регулярной решетке. Затем добавляются ребра для создания ярлыков, которые соединяют удаленные части решетки друг с другом. Стартовая сеть представляет собой одномерную решетку из ${ displaystyle textstyle N}$ вершины с периодическими граничными условиями. Каждая вершина соединяется со своими соседями с обеих сторон, в результате получается система с ${ displaystyle textstyle N}$ края. Сеть расширяется, беря каждый узел по очереди и с вероятностью ${ displaystyle textstyle p}$, добавляя ребро в новое место ${ displaystyle textstyle m}$ узлы далекие.

Процесс перепрограммирования позволяет модели интерполировать между одномерной регулярной решеткой и двумерной регулярной решеткой. Когда вероятность перенастройки ${ displaystyle textstyle p = 0}$, имеем одномерную регулярную решетку размера ${ displaystyle textstyle N}$. Когда ${ displaystyle textstyle p = 1}$, каждый узел связан с новым местоположением, и граф, по сути, представляет собой двумерную решетку с ${ displaystyle textstyle m}$ и ${ Displaystyle textstyle Н / м}$ узлов в каждом направлении. За ${ displaystyle textstyle p}$ между ${ displaystyle textstyle 0}$ и ${ displaystyle textstyle 1}$, у нас есть граф, который интерполирует между одномерными и двумерными регулярными решетками. Изучаемые нами графики параметризованы

${ displaystyle { text {size}} = N, ,}$

${ displaystyle { text {сокращенное расстояние}} = м, ,}$

${ displaystyle { text {вероятность перепрограммирования}} = p. ,}$

Применение к обширности потенциала степенного закона

Одно из применений, использующих приведенное выше определение размерности, касалось обширности систем статистической механики с потенциалом степенного закона, где взаимодействие изменяется с расстоянием. ${ displaystyle textstyle r}$ в качестве ${ displaystyle textstyle 1 / r ^ { alpha}}$. В одном измерении свойства системы, такие как свободная энергия, не проявляют себя экстенсивно, когда ${ Displaystyle textstyle 0 Leq альфа Leq 1}$, т.е. они растут быстрее N при ${ displaystyle textstyle N rightarrow infty}$, где N - количество спинов в системе.

Рассмотрим модель Изинга с гамильтонианом (с N спинами)

${ displaystyle H = - { frac {1} {2}} sum _ {i, j} J (r (i, j)) s_ {i} s_ {j}}$

куда ${ displaystyle textstyle s_ {i}}$ - спиновые переменные, ${ Displaystyle textstyle г (я, j)}$ это расстояние между узлами ${ displaystyle textstyle i}$ и узел ${ displaystyle textstyle j}$, и ${ Displaystyle textstyle J (г (я, j))}$ - связи между спинами. Когда ${ Displaystyle textstyle J (г (я, j))}$ иметь поведение ${ displaystyle textstyle 1 / r ^ { alpha}}$, у нас есть степенной потенциал. Для общей сложной сети условие на показатель степени ${ displaystyle textstyle alpha}$ сохраняющее экстенситивность гамильтониана. При нулевой температуре энергия на спин пропорциональна

${ Displaystyle rho = сумма _ {я, j} J (г (я, j)),}$

и, следовательно, экстенсивность требует, чтобы ${ displaystyle textstyle rho}$ быть конечным. Для общей сложной сети ${ displaystyle textstyle rho}$ пропорционально Дзета-функция Римана ${ displaystyle textstyle zeta ( alpha -d + 1)}$. Таким образом, чтобы потенциал был обширным, требуется

${ displaystyle alpha> d. ,}$

Другие процессы, которые были изучены, - это случайные блуждания с самоизбеганием и масштабирование средней длины пути с размером сети. Эти исследования приводят к интересному результату, заключающемуся в том, что размерность резко меняется при увеличении вероятности сокращения от нуля.^[12] Резкий переход в размерности объясняется комбинаторно большим количеством доступных путей для точек, разделенных расстояниями, большими по сравнению с 1.^[13]

Вывод

Модель быстрого доступа полезна для изучения размерной зависимости различных процессов. Изучаемые процессы включают поведение потенциала степенного закона в зависимости от размерности, поведение случайных блужданий с самоизбеганием и масштабирование средней длины пути. Может быть полезно сравнить модель ярлыка с сеть малого мира, поскольку определения во многом похожи. В сети малого мира также можно начать с обычной решетки и добавить ярлыки с вероятностью ${ displaystyle textstyle p}$. Однако ярлыки не ограничены подключением к узлу на фиксированном расстоянии впереди. Вместо этого другой конец ярлыка может подключаться к любому случайно выбранному узлу. В результате модель маленького мира стремится к случайному графу, а не к двумерному графу, так как вероятность сокращения увеличивается.

Рекомендации