Функция сингулярности - Singularity function

Функции сингулярности являются классом прерывистые функции которые содержат особенности, т.е. они разрывны в своих особых точках. Функции сингулярности интенсивно изучались в области математики под альтернативными названиями обобщенные функции и теория распределения.^[1][2][3] Функции отмечены скобками, так как ${displaystyle langle x-aangle ^ {n}}$ куда п целое число. "${displaystyle langle angle}$"часто называют скобки сингулярности . Функции определены как:

п	${displaystyle langle x-aangle ^ {n}}$
${displaystyle <0}$	${displaystyle {frac {d ^ {| n + 1 |}} {dx ^ {| n + 1 |}}} дельта (x-a),}$
-2	${displaystyle {frac {d} {dx}} delta (x-a),}$
-1	${displaystyle delta (x-a),}$
0	${displaystyle H (x-a),}$
1	${displaystyle (x-a) H (x-a),}$
2	${displaystyle (x-a) ^ {2} H (x-a)}$
${displaystyle geq 0}$	${displaystyle (x-a) ^ {n} H (x-a)}$

где: δ (x) - Дельта-функция Дирака, также называемый единичным импульсом. Первую производную δ (x) также называют единичный дублет. Функция ${displaystyle H (x)}$ это Ступенчатая функция Хевисайда: H (x) = 0 для x <0 и H (x) = 1 для x> 0. Значение H (0) будет зависеть от конкретного соглашения, выбранного для ступенчатой ​​функции Хевисайда. Обратите внимание, что это будет проблемой только для п = 0 так как функции содержат мультипликативный множитель х-а для n> 0.${displaystyle langle x-aangle ^ {1}}$ также называется Функция рампы.

Интеграция

Интеграция ${displaystyle langle x-aangle ^ {n}}$ может быть выполнено удобным способом, в котором автоматически включается постоянная интегрирования, поэтому результат будет равен 0 при x = a.

${displaystyle int langle x-aangle ^ {n} dx = {egin {cases} langle x-aangle ^ {n + 1}, & nleq 0 {frac {langle x-aangle ^ {n + 1}} {n + 1 }}, & ngeq 0end {case}}}$

Примечание. Условие должно быть таким, чтобы n было меньше, не меньше или равно.

Пример расчета балки

Прогиб балки с простой опорой, как показано на схеме, с постоянным поперечным сечением и модулем упругости, можно найти с помощью Эйлер-Бернулли пучковая теория. Здесь мы используем знаковое соглашение, согласно которому силы, направленные вниз, и изгибающие моменты провисания являются положительными.

Распределение нагрузки:

${displaystyle w = -3 {ext {N}} langle x-0angle ^ {- 1} + 6 {ext {Nm}} ^ {- 1} langle x-2 {ext {m}} angle ^ {0} - 9 {ext {N}} langle x-4 {ext {m}} angle ^ {- 1},}$

Сдвигающая сила:

${displaystyle S = int w, dx}$

${displaystyle S = -3 {ext {N}} langle x-0angle ^ {0} + 6 {ext {Nm}} ^ {- 1} langle x-2 {ext {m}} angle ^ {1} - 9 {ext {N}} langle x-4 {ext {m}} angle ^ {0},}$

Изгибающий момент:

${displaystyle M = -int S, dx}$

${displaystyle M = 3 {ext {N}} langle x-0angle ^ {1} - 3 {ext {Nm}} ^ {- 1} langle x-2 {ext {m}} angle ^ {2} + 9 { ext {N}} langle x-4 {ext {m}} angle ^ {1},}$

Склон:

${displaystyle u '= {frac {1} {EI}} int M, dx}$

Поскольку наклон не равен нулю при Икс = 0, постоянная интегрирования, c, добавлен

${displaystyle u '= {frac {1} {EI}} left ({frac {3} {2}} {ext {N}} langle x-0angle ^ {2} - 1 {ext {Nm}} ^ {- 1} langle x-2 {ext {m}} angle ^ {3} + {frac {9} {2}} {ext {N}} langle x-4 {ext {m}} angle ^ {2} + cight ),}$

Прогиб:

${displaystyle u = int u ', dx}$

${displaystyle u = {frac {1} {EI}} left ({frac {1} {2}} {ext {N}} langle x-0angle ^ {3} - {frac {1} {4}} {ext {Nm}} ^ {- 1} langle x-2 {ext {m}} angle ^ {4} + {frac {3} {2}} {ext {N}} langle x-4 {ext {m}} угол ^ {3} + cxight),}$

Граничное условие ты = 0 при Икс = 4 м позволяет решить для c = −7 Нм²

Смотрите также

• Брекеты Маколея
• Метод Маколея

Рекомендации

внешняя ссылка

• Функции сингулярности (Тим Лэхи)
• Функции сингулярности (Ю. Люблинер, Департамент гражданского строительства и охраны окружающей среды)
• Балки: деформация функциями сингулярности (д-р Ибрагим А. Ассаккаф)