Теорема взаимности Стэнли - Википедия - Stanleys reciprocity theorem

В комбинаторный математика, Теорема взаимности Стэнли, названный в честь Массачусетский технологический институт математик Ричард П. Стэнли, заявляет, что определенный функциональное уравнение удовлетворен производящая функция любого рационального конуса (определенного ниже) и производящей функции внутренней части конуса.

Определения

А рациональный конус это набор всех d-кортежи

(а₁, ..., а_d)

из неотрицательные целые числа удовлетворение система неравенства

${ displaystyle M left [{ begin {matrix} a_ {1} vdots a_ {d} end {matrix}} right] geq left [{ begin {matrix} 0 vdots 0 end {matrix}} right]}$

куда M представляет собой матрицу целых чисел. А d-набор, удовлетворяющий соответствующему строгий неравенства, т. е. с «>», а не «≥», находится в интерьер конуса.

Производящая функция такого конуса равна

${ Displaystyle F (x_ {1}, dots, x_ {d}) = sum _ {(a_ {1}, dots, a_ {d}) in { rm {cone}}} x_ {1 } ^ {a_ {1}} cdots x_ {d} ^ {a_ {d}}.}$

Производящая функция F_int(Икс₁, ..., Икс_d) внутренней части конуса определяется аналогично, но суммируется по d-конус скорее в интерьере, чем во всем конусе.

Можно показать, что это рациональные функции.

Формулировка

Теорема взаимности Стэнли утверждает, что для рационального конуса, как указано выше, мы имеем

${ displaystyle F (1 / x_ {1}, dots, 1 / x_ {d}) = (- 1) ^ {d} F _ { rm {int}} (x_ {1}, dots, x_ { d}).}$

Матиас Бек и Майк Девелин показали, как это доказать с помощью исчисление остатков. Девелин сказал, что это равносильно доказательству результата «без всякой работы».^{[нужна цитата ]}

Теорема взаимности Стэнли обобщает взаимность Эрхарта-Макдональда для Полиномы Эрхарта рационального выпуклые многогранники.

Смотрите также

• Многочлен Эрхарта

Рекомендации

• Р.П. Стэнли, "Комбинаторные теоремы взаимности", Успехи в математике, том 14 (1974), страницы 194–253.
• М. Бек, М. Девелин, О теореме взаимности Стэнли для рациональных конусов, 2004