Уравнение Стейнхарта – Харта - Википедия - Steinhart–Hart equation

В Уравнение Стейнхарта – Харта это модель сопротивление из полупроводник в разных температуры. Уравнение

{ displaystyle { frac {1} {T}} = A + B ln R + C ( ln R) ^ {3},}

куда

{ displaystyle T}

это температура (в кельвины ),

{ displaystyle R}

сопротивление на

{ displaystyle T}

(в омах),

{ displaystyle A}

,

{ displaystyle B}

, и

{ displaystyle C}

являются Коэффициенты Стейнхарта – Харта, которые различаются в зависимости от типа и модели термистор и интересующий температурный диапазон.

Использование уравнения

Уравнение часто используется для получения точной температуры термистора, поскольку оно обеспечивает более точное приближение к фактической температуре, чем более простые уравнения, и полезно во всем диапазоне рабочих температур датчика. Коэффициенты Стейнхарта – Харта обычно публикуются производителями термисторов.

Если коэффициенты Стейнхарта – Харта недоступны, их можно вывести. При точных температурах делаются три точных меры сопротивления, затем коэффициенты вычисляются путем решения трех одновременные уравнения.

Обратное к уравнению

Чтобы найти сопротивление полупроводника при заданной температуре, необходимо использовать обратное уравнение Стейнхарта – Харта. Увидеть Примечание по применению, «Коэффициенты A, B, C для уравнения Стейнхарта – Харта».

{ displaystyle R = exp left ({ sqrt [{3}] {y-x}} - { sqrt [{3}] {y + x}} right),}

куда

{ displaystyle { begin {align} x & = { frac {1} {2C}} left (A - { frac {1} {T}} right), y & = { sqrt { left ({ frac {B} {3C}} right) ^ {3} + x ^ {2}}}. end {align}}}

Коэффициенты Стейнхарта – Харта

Чтобы найти коэффициенты Стейнхарта – Харта, нам нужно знать как минимум три рабочие точки. Для этого мы используем три значения сопротивления для трех известных температур.

{ Displaystyle { begin {bmatrix} 1 & ln R_ {1} & ln ^ {3} R_ {1} 1 & ln R_ {2} & ln ^ {3} R_ {2} 1 & ln R_ {3} & ln ^ {3} R_ {3} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} A B C end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} { frac {1} {T_ {1}}} { frac {1} {T_ {2}}} { frac {1} {T_ {3}}} end {bmatrix}}}

С ${ displaystyle R_ {1}}$ , ${ displaystyle R_ {2}}$ и ${ displaystyle R_ {3}}$ значения сопротивления при температурах ${ displaystyle T_ {1}}$ , ${ displaystyle T_ {2}}$ и ${ displaystyle T_ {3}}$ , можно выразить ${ displaystyle A}$ , ${ displaystyle B}$ и ${ displaystyle C}$ (все расчеты):

{ Displaystyle { begin {align} L_ {1} & = ln R_ {1}, quad L_ {2} = ln R_ {2}, quad L_ {3} = ln R_ {3} Y_ {1} & = { frac {1} {T_ {1}}}, quad Y_ {2} = { frac {1} {T_ {2}}}, quad Y_ {3} = { frac {1} {T_ {3}}} gamma _ {2} & = { frac {Y_ {2} -Y_ {1}} {L_ {2} -L_ {1}}}, quad gamma _ {3} = { frac {Y_ {3} -Y_ {1}} {L_ {3} -L_ {1}}} Rightarrow C & = left ({ frac { gamma _ {3} - gamma _ {2}} {L_ {3} -L_ {2}}} right) left (L_ {1} + L_ {2} + L_ {3} right) ^ {- 1 } Стрелка вправо B & = gamma _ {2} -C left (L_ {1} ^ {2} + L_ {1} L_ {2} + L_ {2} ^ {2} right) Стрелка вправо A & = Y_ {1} - left (B + L_ {1} ^ {2} C right) L_ {1} end {align}}}

Разработчики уравнения

Уравнение названо в честь Джона С. Стейнхарта и Стэнли Р. Харт кто впервые опубликовал отношения в 1968 году.^[1] Профессор Стейнхарт (1929–2003), сотрудник Американский геофизический союз и из Американская ассоциация развития науки, был членом факультета Университет Висконсина-Мэдисона с 1969 по 1991 гг.^[2] Доктор Харт, старший научный сотрудник Океанографическое учреждение Вудс-Хоул с 1989 г. и сотрудник Геологическое общество Америки, Американский геофизический союз, Геохимическое общество и Европейская ассоциация геохимии,^[3] был связан с профессором Стейнхартом в Институт Карнеги Вашингтона когда уравнение было разработано.

Вывод и альтернативы

Наиболее общий вид уравнения может быть получен путем расширения Уравнение параметра B в бесконечную серию:

{ displaystyle R = R_ {0} e ^ {B left ({ frac {1} {T}} - { frac {1} {T_ {0}}} right)}}

{ displaystyle { frac {1} {T}} = { frac {1} {T_ {0}}} + { frac {1} {B}} left ( ln { frac {R} { R_ {0}}} right) = a_ {0} + a_ {1} ln { frac {R} {R_ {0}}}}

{ displaystyle { frac {1} {T}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} left ( ln { frac {R} {R_ {0}}} справа) ^ {n}}

${ displaystyle R_ {0}}$ является эталонным (стандартным) значением сопротивления. Уравнение Стейнхарта – Харта предполагает ${ displaystyle R_ {0}}$ составляет 1 Ом. Подгонка кривой намного менее точна, если предполагается ${ displaystyle a_ {2} = 0}$ и другое значение ${ displaystyle R_ {0}}$ например 1 кОм. Однако использование полного набора коэффициентов позволяет избежать этой проблемы, поскольку это просто приводит к смещению параметров.^[4]

В исходной статье Стейнхарт и Харт отмечают, что разрешение ${ displaystyle a_ {2} neq 0}$ ухудшили посадку.^[1] Это удивительно, поскольку, если больше свободы, посадка обычно улучшается. Это может быть потому, что авторы подобрали ${ displaystyle 1 / T}$ вместо ${ displaystyle T}$ , и, следовательно, ошибка в ${ displaystyle T}$ увеличился от дополнительной свободы.^[5] В последующих работах было обнаружено большое преимущество в разрешении ${ displaystyle a_ {2} neq 0}$ .^[6]

Уравнение было разработано путем тестирования множества уравнений методом проб и ошибок и выбрано благодаря его простой форме и хорошему соответствию.^[1] Однако в своей первоначальной форме уравнение Стейнхарта – Харта недостаточно точно для современных научных измерений. Для интерполяции с использованием небольшого количества измерений расширение ряда с ${ displaystyle n = 4}$ оказалось, что точность в пределах 1 мК в калиброванном диапазоне. Некоторые авторы рекомендуют использовать ${ displaystyle n = 5}$ .^[6] Если имеется много точек данных, стандартный полиномиальная регрессия может также создавать точные аппроксимации кривых. Некоторые производители начали предоставлять коэффициенты регрессии в качестве альтернативы коэффициентам Стейнхарта – Харта.^[7]

внешняя ссылка

[Steinhart-1] а ^б ^c Джон С. Стейнхарт, Стэнли Р. Харт, Калибровочные кривые для термисторов, Deep-Sea Research and Oceanographic Abstracts, Volume 15, Issue 4, August 1968, Pages 497–503, ISSN 0011-7471, Дои:10.1016/0011-7471(68)90057-0.

[2] «Мемориальная резолюция факультета Университета Висконсин-Мэдисон в связи со смертью почетного профессора Джона С. Стейнхарта» (PDF). Университет Висконсина. 5 апреля 2004 г. Архивировано с оригинал (PDF) 10 июня 2010 г.. Получено 2 июля 2015.

[3] "Доктор Стэн Харт",. Океанографическое учреждение Вудс-Хоул. Получено 2 июля 2015.

[4] Матус, Майкл (октябрь 2011 г.). Измерение температуры в размерной метрологии - почему уравнение Стейнхарта – Харта так хорошо работает. MacroScale 2011. Ваберн, Швейцария.

[5] Хоге, Гарольд Дж. (1 июня 1988 г.). «Полезная процедура наименьших квадратов и проверка некоторых уравнений для термисторов». Обзор научных инструментов. 59 (6): 975–979. Дои:10.1063/1.1139762. ISSN 0034-6748.

[Rudtsch-6] а ^б Рудч, Штеффен; фон Роден, Кристоф (1 декабря 2015 г.). «Калибровка и самопроверка термисторов для высокоточных измерений температуры». Измерение. 76: 1–6. Дои:10.1016 / j.measurement.2015.07.028. ISSN 0263-2241. Получено 8 июля 2020.

[7] «Комментарии к уравнению Стейнхарта – Харта» (PDF). Building Automation Products Inc. 11 ноября 2015 г.. Получено 8 июля 2020.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]