Малолитражный кардинал - Википедия - Subcompact cardinal

В математика, а малолитражный кардинал это определенный вид большой кардинал количество.

Кардинальное число κ субкомпактен тогда и только тогда, когда для каждого А ⊂ ЧАС(κ+) существует нетривиальная элементарное вложение j :(ЧАС(μ+), B) → (ЧАС(κ+), А) (где ЧАС(κ+) - множество всех множеств мощность наследственно меньше, чем κ+ ) с участием критическая точка μ иj(μ) = κ.

Аналогично, κ это квазикомпактный кардинал если и только если для каждого А ⊂ ЧАС(κ+) существует нетривиальное элементарное вложение j:(ЧАС(κ+), А) → (ЧАС(μ+), B) с критической точкой κ иj(κ) = μ.

ЧАС(λ) состоит из всех множеств, мощность транзитивного замыкания которых меньшеλ.

Каждый квазикомпактный кардинал субкомпактен. Квазикомпактность - это усиление субкомпактности, поскольку она проецирует вверх большие кардинальные свойства. Отношения аналогичны отношениям расширяемый против суперкомпактные кардиналы. Квазикомпактность можно рассматривать как усиленную или «жирную» версию 1-расширяемости. Существование субкомпактных кардиналов подразумевает существование многих 1-расширяемых кардиналов и, следовательно, многих суперсильные кардиналы. Наличие 2κ-сверхкомпактный кардинал κ подразумевает существование многих квазикомпактных кардиналов.

Малолитражные кардиналы заслуживают внимания как наименее крупные кардиналы, подразумевающие отказ квадратный принцип. Если κ субкомпактный, то принцип квадрата не выполняется в κ. Канонические внутренние модели на уровне субкомпактных кардиналов полностью удовлетворяют принципу квадрата, кроме субкомпактных кардиналов. (Существование таких моделей еще не доказано, но в любом случае принцип квадрата может быть применен для более слабых кардиналов.)

Квазикомпактность - одно из самых сильных кардинальных свойств, о котором можно судить по текущим внутренним моделям, не использующим длинные расширители. Для текущих внутренних моделей включенные элементарные вложения определяются их влиянием на п(κ) (вычисленное на этапе вложение включено), где κ - критическая точка. Это мешает им увидеть даже κ+ сильно компактный кардинал  κ.

Субкомпактные и квазикомпактные кардиналы были определены Рональд Дженсен.

использованная литература

  • "Квадрат в основных моделях" в сентябрьском выпуске Бюллетеня символической логики 2001 г.