Подгруппа теста - Subgroup test

Эта статья не цитировать любой источники. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удалено. Найдите источники: «Подгруппа теста»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Октябрь 2018 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В абстрактная алгебра, одношаговый подгруппа это теорема, утверждающая, что для любой группы непустое подмножество того, что группа сам является группой, если обратный любому элементу в подмножестве, умноженный на любой другой элемент в подмножестве, также находится в подмножестве. Двухступенчатый подгруппа test - это аналогичная теорема, которая требует, чтобы подмножество было замкнуто относительно операции и взятия обратных.

Одноэтапный подгрупповой тест

Позволять ${displaystyle G}$ быть группой и пусть ${displaystyle H}$ быть непустым подмножеством ${displaystyle G}$. Если для всех ${displaystyle a}$ и ${displaystyle b}$ в ${displaystyle H}$, ${displaystyle ab ^ {- 1}}$ в ${displaystyle H}$, тогда ${displaystyle H}$ является подгруппой ${displaystyle G}$.

Доказательство

Пусть G - группа, H - непустое подмножество G, и предположим, что для всех a и b из H ab⁻¹ находится в H. Чтобы доказать, что H является подгруппой в G, мы должны показать, что H ассоциативна, имеет единицу, имеет обратный для каждого элемента и замкнута относительно операции. Так,

• Поскольку операция H аналогична операции G, операция ассоциативна, поскольку G - группа.
• Поскольку H не пусто, существует элемент x в H. Если взять a = x и b = x, то ab⁻¹ = хх⁻¹ = e, где e - единичный элемент. Следовательно, e находится в H.
• Пусть x - элемент из H, и мы только что показали, что единичный элемент e принадлежит H. Тогда пусть a = e и b = x, отсюда следует, что ab⁻¹ = ex⁻¹ = х⁻¹ в H. Таким образом, элемент, обратный элементу в H, находится в H.
• Наконец, пусть x и y - элементы в H, тогда, поскольку y принадлежит H, следует, что y⁻¹ находится в H. Следовательно, x (y⁻¹)⁻¹ = xy принадлежит H, поэтому H замкнута относительно операции.

Таким образом, H является подгруппой группы G.

Двухэтапный подгрупповой тест

Следствием этой теоремы является двухэтапный тест подгруппы, который утверждает, что непустое подмножество группы само является группой, если подмножество закрыто как при эксплуатации, так и при приеме перевернутых.