Суперинтегрируемая гамильтонова система - Superintegrable Hamiltonian system

В математике суперинтегрируемая гамильтонова система это Гамильтонова система на ${displaystyle 2n}$ -размерный симплектическое многообразие для которого выполняются следующие условия:

(i) Существуют ${displaystyle k> n}$ независимые интегралы ${displaystyle F_ {i}}$ движения. Их поверхности уровня (инвариантные подмногообразия) образуют расслоенное многообразие ${displaystyle F: Z o N = F (Z)}$ над связанным открытым подмножеством ${displaystyle Nsubset mathbb {R} ^ {k}}$ .

(ii) Существуют гладкие действительные функции ${displaystyle s_ {ij}}$ на ${displaystyle N}$ так что Скобка Пуассона интегралов движения читает ${displaystyle {F_ {i}, F_ {j}} = s_ {ij} circ F}$ .

(iii) Матричная функция ${displaystyle s_ {ij}}$ имеет постоянный коранг ${displaystyle m = 2n-k}$ на ${displaystyle N}$ .

Если ${displaystyle k = n}$ , это случай полностью интегрируемая гамильтонова система. Теорема Мищенко-Фоменко для суперинтегрируемых гамильтоновых систем обобщает теорему Лиувилля-Арнольда о координаты угла действия вполне интегрируемой гамильтоновой системы следующим образом.

Пусть инвариантные подмногообразия суперинтегрируемой гамильтоновой системы связно компактны и взаимно диффеоморфны. Тогда расслоенное многообразие ${displaystyle F}$ это пучок волокон в тори ${displaystyle T ^ {m}}$ . Есть открытый район ${displaystyle U}$ из ${displaystyle F}$ который представляет собой тривиальный пучок волокон, снабженный координатами пучка (обобщенное действие-угол) ${displaystyle (I_ {A}, p_ {i}, q ^ {i}, phi ^ {A})}$ , ${displaystyle A = 1, ldots, m}$ , ${displaystyle i = 1, ldots, n-m}$ такой, что ${displaystyle (phi ^ {A})}$ координаты на ${displaystyle T ^ {m}}$ . Эти координаты являются Координаты Дарбу на симплектическом многообразии ${displaystyle U}$ . Гамильтониан суперинтегрируемой системы зависит только от переменных действия ${displaystyle I_ {A}}$ которые являются функциями Казимира коиндуцированных Структура Пуассона на ${displaystyle F (U)}$ .

В Теорема Лиувилля-Арнольда за полностью интегрируемые системы а теорема Мищенко-Фоменко для суперинтегрируемых подмногообразий обобщены на случай некомпактных инвариантных подмногообразий. Они диффеоморфны тороидальному цилиндру ${displaystyle T ^ {m-r} imes mathbb {R} ^ {r}}$ .

Суперинтегрируемая гамильтонова система - Superintegrable Hamiltonian system

Смотрите также

Рекомендации