Фильтр, сохраняющий симметрию - Symmetry-preserving filter

Наблюдатели, сохраняющие симметрию,^[1]^[2] также известный как инвариантные фильтры, являются методами оценивания, структура и дизайн которых используют преимущества естественной симметрии (или инвариантности) рассматриваемой нелинейной модели. Таким образом, основным преимуществом является ожидаемая гораздо более обширная область сходимости, чем стандартные методы фильтрации, например Расширенный фильтр Калмана (EKF) или Фильтр Калмана без запаха (UKF).

Мотивация

Большинство физических систем обладают естественной симметрией (или инвариантностью), т.е. существуют трансформации (например, вращения, перемещения, масштабирования), которые оставляют систему без изменений. С математической и инженерной точек зрения имеет смысл, что фильтр, хорошо разработанный для рассматриваемой системы, должен сохранять те же свойства инвариантности.

Определение

Учитывать ${ displaystyle G}$ группа Ли и (локальные) группы преобразований ${ displaystyle varphi _ {g}, psi _ {g}, rho _ {g}}$ , куда ${ displaystyle g in G}$ .

Нелинейная система

{ displaystyle { begin {align} { dot {x}} & = f (x, u) y & = h (x, u) end {align}}}

как говорят инвариантный если он не изменится действием ${ displaystyle varphi _ {g}, psi _ {g}, rho _ {g}}$ , т.е.

{ Displaystyle { begin {align} { dot {X}} & = f (X, U) Y & = h (X, U), end {align}}}

куда ${ displaystyle (X, U, Y) = ( varphi _ {g} (x), psi _ {g} (u), rho _ {g} (y))}$ .

Система ${ displaystyle { dot { hat {x}}} = F ({ hat {x}}, u, y)}$ тогда инвариантный фильтр если

${ Displaystyle F (х, и, час (х, и)) = е (х, и)}$ , т.е. что это может быть ${ displaystyle { dot { hat {x}}} = f ({ hat {x}}, u) + C}$ , где поправочный член ${ displaystyle C}$ равно ${ displaystyle 0}$ когда ${ displaystyle { hat {y}} = y}$
${ displaystyle { dot { hat {X}}} = F ({ hat {X}}, U, Y)}$ , т. е. не изменяется группа трансформации.

Общее уравнение и основной результат

Доказано ^[1] что каждый инвариантный наблюдатель читает

{ displaystyle { dot { hat {x}}} = f ({ hat {x}}, u) + W ({ hat {x}}) L { Bigl (} I ({ hat { x}}, u), E ({ hat {x}}, u, y) { Bigr)} E ({ hat {x}}, u, y),}

куда

${ displaystyle E ({ hat {x}}, u, y)}$ является инвариантная ошибка вывода, что отличается от обычной ошибки вывода ${ displaystyle { hat {y}} - y}$
${ displaystyle W ({ hat {x}}) = { bigl (} w_ {1} ({ hat {x}}), .., w_ {n} ({ hat {x}}) { bigr)}}$ инвариантный фрейм
${ displaystyle I ({ hat {x}}, u)}$ инвариантный вектор
${ Displaystyle L (I, E)}$ - свободно выбираемая матрица усиления.

Учитывая рассматриваемую систему и связанную с ней группу преобразований, существует конструктивный метод определения ${ displaystyle E ({ hat {x}}, u, y), W ({ hat {x}}), I ({ hat {x}}, u)}$ , основанный на методе подвижного фрейма.

Для анализа сходимости ошибок инвариантное состояние ошибки ${ displaystyle eta ({ hat {x}}, x)}$ определена, что отличается от ошибки стандартного вывода ${ displaystyle { hat {x}} - x}$ , поскольку стандартная ошибка вывода обычно не сохраняет симметрию системы. Одним из основных преимуществ фильтров, сохраняющих симметрию, является то, что система ошибок "автономный", но для свободного известного инвариантного вектора ${ displaystyle I ({ hat {x}}, u)}$ , т.е. ${ displaystyle { dot { eta}} = Upsilon { bigl (} eta, I ({ hat {x}}, u) { bigr)}}$ . Это важное свойство позволяет оценщику иметь очень большую область сходимости и быть легко настраиваемым.^[3]^[4]

Чтобы выбрать матрицу усиления ${ Displaystyle L (I, E)}$ , есть две возможности:

а детерминированный подход, что приводит к построению действительно нелинейных фильтров, сохраняющих симметрию (подобных наблюдателям типа Люенбергера)
а стохастический подход, что приводит к Инвариантные расширенные фильтры Калмана (аналогично калманоподобным наблюдателям).

Приложения

Существует множество приложений, в которых такие инвариантные наблюдатели используются для оценки состояния рассматриваемой системы. Области применения включают

системы ориентации и курса с ^[3] или без ^[4] датчик положения / скорости (например, GPS)
системы локализации наземных транспортных средств
химические реакторы^[1]
океанография

Фильтр, сохраняющий симметрию - Symmetry-preserving filter

Содержание

Мотивация

Определение

Общее уравнение и основной результат

Приложения

Рекомендации