Кривая Тейт - Википедия - Tate curve

В математике Кривая Тейт кривая, определенная над кольцом формальных степенной ряд ${ Displaystyle mathbb {Z} [[д]]}$ с целыми коэффициентами. По открытой подсхеме, где q обратима, кривая Тейта является эллиптическая кривая. Кривая Тэйта также может быть определена для q как элемент полного поля нормы меньше единицы, и в этом случае формальные степенные ряды сходятся.

Кривая Тейта была введена Джон Тейт  (1995 ) в рукописи 1959 г., первоначально озаглавленной «Рациональные точки на эллиптических кривых над полными полями»; он опубликовал свои результаты только много лет спустя, и его работа впервые появилась в Рокетт (1970).

Определение

Кривая Тейта - это проективная плоская кривая над кольцом Z[[q]] формальных степенных рядов с целыми коэффициентами, заданных (в аффинном открытом подмножестве проективной плоскости) уравнением

${ displaystyle y ^ {2} + xy = x ^ {3} + a_ {4} x + a_ {6}}$

куда

${ displaystyle -a_ {4} = 5 sum _ {n} { frac {n ^ {3} q ^ {n}} {1-q ^ {n}}} = 5q + 45q ^ {2} + 140q ^ {3} + cdots}$

${ displaystyle -a_ {6} = sum _ {n} { frac {7n ^ {5} + 5n ^ {3}} {12}} times { frac {q ^ {n}} {1- q ^ {n}}} = q + 23q ^ {2} + 154q ^ {3} + cdots}$

являются степенными рядами с целыми коэффициентами.^[1]

Кривая Тейта над полным полем

Предположим, что поле k полна по некоторому модулю | |, и q является ненулевым элементом поля k с |q| <1. Тогда ряды, указанные выше, сходятся и определяют эллиптическую кривую над k. Если вдобавок q отлична от нуля, то существует изоморфизм групп из k^*/q^Z к этой эллиптической кривой, взяв ш к (Икс(ш),у(ш)) за ш не сила q, куда

${ Displaystyle х (ш) = - у (ш) -у (ш ^ {- 1})}$

${ displaystyle y (w) = sum _ {m in mathbf {Z}} { frac {(q ^ {m} w) ^ {2}} {(1-q ^ {m} w) ^ {3}}} + sum _ {m geq 1} { frac {q ^ {m}} {(1-q ^ {m}) ^ {2}}}}$

и взяв на себя полномочия q в бесконечно удаленную точку эллиптической кривой. Сериал Икс(ш) и у(ш) не являются формальными степенными рядами в ш.

Интуитивный пример

В случае кривой над полным полем ${ Displaystyle к ^ {*} / д ^ { mathbb {Z}}}$, проще всего представить себе ${ Displaystyle mathbb {C} ^ {*} / д ^ { mathbb {Z}}}$, куда ${ Displaystyle д ^ { mathbb {Z}}}$ дискретная подгруппа, порожденная одним мультипликативным периодом ${ Displaystyle е ^ {2 пи я тау}}$, где период ${ displaystyle tau = omega _ {1} / omega _ {2}}$. Обратите внимание, что ${ displaystyle mathbb {C} ^ {*}}$ изоморфен ${ Displaystyle { mathbb {C} +} / mathbb {Z} +}$, куда ${ displaystyle mathbb {C} +}$ сложение комплексных чисел.

Чтобы понять, почему кривая Тейта морально соответствует тору, когда поле C с обычной нормой, ${ displaystyle q}$ уже однократно периодический; модификация интегральными силами q, которые вы модифицируете ${ Displaystyle mathbb {C}}$ к ${ Displaystyle mathbb {Z} ^ {2}}$, который является тором. Другими словами, у нас есть кольцо, и мы склеиваем внутренние и внешние края.

Но кольцо не соответствует окружности без точки: кольцо - это набор комплексных чисел между двумя последовательными степенями q; произнесите все комплексные числа от 1 до q. Это дает нам две окружности, то есть внутренний и внешний края кольца.

Приведенное здесь изображение тора представляет собой набор инкрустированных кругов, все более и более узких по мере приближения к началу координат.

Это немного отличается от обычного метода, начиная с плоского листа бумаги, ${ Displaystyle mathbb {C}}$, и склеив стороны, чтобы получился цилиндр ${ Displaystyle mathbb {C} / mathbb {Z}}$, а затем склеивая края цилиндра, чтобы получился тор, ${ Displaystyle mathbb {C} / mathbb {Z} ^ {2}}$.

Это немного упрощено. Кривая Тейта на самом деле является кривой над кольцом формальных степенных рядов, а не кривой над C. Интуитивно понятно, что это семейство кривых, зависящих от формального параметра. Когда этот формальный параметр равен нулю, он вырождается в защемленный тор, а когда он отличен от нуля, он превращается в тор).

Характеристики

В j-инвариантный кривой Тейта задается степенным рядом по q с ведущим термином q⁻¹.^[2] Через п-адический местное поле, следовательно, j нецелочислен, и кривая Тейта имеет полустабильная редукция мультипликативного типа. Наоборот, любая полустабильная эллиптическая кривая над локальным полем изоморфна кривой Тейта (с точностью до квадратичный поворот ).^[3]

Рекомендации

• Ланг, Серж (1987), Эллиптические функции, Тексты для выпускников по математике, 112 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-1-4612-4752-4, ISBN  978-0-387-96508-6, МИСТЕР  0890960, Zbl  0615.14018
• Манин, Ю. Я.; Панчишкин, А.А. (2007). Введение в современную теорию чисел. Энциклопедия математических наук. 49 (Второе изд.). ISBN  978-3-540-20364-3. ISSN  0938-0396. Zbl  1079.11002.
• Роберт, Ален (1973), Эллиптические кривые, Конспект лекций по математике, 326, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-3-540-46916-2, ISBN  978-3-540-06309-4, МИСТЕР  0352107, Zbl  0256.14013
• Рокетт, Питер (1970), Аналитическая теория эллиптических функций над локальными полями, Hamburger Mathematische Einzelschriften (N.F.), Heft 1, Göttingen: Vandenhoeck & Ruprecht, МИСТЕР  0260753, Zbl  0194.52002
• Сильверман, Джозеф Х. (1994). Дополнительные вопросы по арифметике эллиптических кривых. Тексты для выпускников по математике. 151. Springer-Verlag. ISBN  0-387-94328-5. Zbl  0911.14015.
• Тейт, Джон (1995) [1959], «Обзор неархимедовых эллиптических функций», у Коутса, Джона; Яу, Шинг-Тунг (ред.), Эллиптические кривые, модулярные формы и последняя теорема Ферма (Гонконг, 1993), Ряды в теории чисел, я, Int. Press, Cambridge, MA, стр. 162–184, CiteSeerX  10.1.1.367.7205, ISBN  978-1-57146-026-4, МИСТЕР  1363501