Соскоб Тейлора - Википедия - Taylor scraping flow

В динамика жидкостей, Соскоб Тейлора это тип двумерного угловой поток возникает, когда одна из стен скользит по другой с постоянной скоростью, названная в честь Г. И. Тейлор.^[1][2][3]

Описание потока

Рассмотрим плоскую стену, расположенную на ${ displaystyle theta = 0}$ в цилиндрических координатах ${ Displaystyle (г, тета)}$, движущийся с постоянной скоростью ${ displaystyle U}$ влево. Рассмотрим другую плоскую стенку (скребок) в наклонном положении, образующем угол ${ displaystyle alpha}$ из положительного ${ displaystyle x}$ направление и пусть точка пересечения будет в ${ displaystyle r = 0}$. Это описание эквивалентно перемещению скребка вправо со скоростью ${ displaystyle U}$. Проблема особенная при ${ displaystyle r = 0}$ потому что в начале координат скорости не являются непрерывными, поэтому градиент скорости там бесконечен.

Тейлор заметил, что инерционные члены пренебрежимо малы, пока интересующая область находится в пределах ${ displaystyle r ll nu / U}$(или, что эквивалентно Число Рейнольдса ${ displaystyle Re = Ur / nu ll 1}$), поэтому внутри области поток по существу представляет собой Стокса поток. Например, Джордж Бэтчелор дает типичное значение для смазочного масла со скоростью ${ displaystyle U = 10 { text {cm}} / { text {s}}}$ в качестве ${ displaystyle r ll 0.4 { text {см}}}$.^[4] Тогда для двумерной плоской задачи уравнение имеет вид

${ displaystyle nabla ^ {4} psi = 0, quad u_ {r} = { frac {1} {r}} { frac { partial psi} { partial theta}}, quad u _ { theta} = - { frac { partial psi} { partial r}}}$

куда ${ Displaystyle mathbf {v} = (и_ {г}, и _ { theta})}$ - поле скоростей и ${ displaystyle psi}$ это функция потока. Граничные условия:

${ displaystyle { begin {align} r> 0, theta = 0: & quad u_ {r} = - U, u _ { theta} = 0 r> 0, theta = alpha : & quad u_ {r} = 0, u _ { theta} = 0 end {align}}}$

Решение

Попытка отделяемый решение формы ${ Displaystyle psi = Urf ( theta)}$ сводит проблему к

${ displaystyle f ^ {iv} + 2f '' + f = 0}$

с граничными условиями

${ Displaystyle f (0) = 0, f '(0) = - 1, f ( alpha) = 0, f' ( alpha) = 0}$

Решение^[5]

${ Displaystyle е ( тета) = { гидроразрыва {1} { альфа ^ {2} - грех ^ {2} альфа}} [ тета грех альфа грех ( альфа - тета) - альфа ( альфа - тета) грех тета]}$

Следовательно, поле скорости равно

${ displaystyle { begin {align} u_ {r} & = { frac {U} { alpha ^ {2} - sin ^ {2} alpha}} { sin alpha [ sin ( альфа - theta) - theta cos ( alpha - theta)] + alpha [ sin theta - ( alpha - theta) cos theta] } u _ { theta} & = - { frac {U} { alpha ^ {2} - sin ^ {2} alpha}} [ theta sin alpha sin ( alpha - theta) - alpha ( alpha - theta ) грех тета] конец {выровнено}}}$

Давление может быть получено интегрированием уравнения количества движения

${ displaystyle nabla p = mu nabla ^ {2} mathbf {v}, quad p (r, infty) = p _ { infty}}$

который дает,

${ displaystyle p (r, theta) -p _ { infty} = { frac {2 mu U} {r}} { frac { alpha sin theta + sin alpha sin ( alpha - theta)} { alpha ^ {2} - sin ^ {2} alpha}}}$

Напряжения на скребке

Напряжения на скребке

Касательное напряжение и нормальное напряжение на скребке из-за давления и сил вязкости равны

${ displaystyle sigma _ {t} = { frac {2 mu U} {r}} { frac { sin alpha - alpha cos alpha} { alpha ^ {2} - sin ^ {2} alpha}}, quad sigma _ {n} = { frac {2 mu U} {r}} { frac { alpha sin alpha} { alpha ^ {2} - грех ^ {2} alpha}}}$

То же самое напряжение скребка, если оно разрешено в декартовых координатах (параллельно и перпендикулярно нижней пластине, т.е. ${ displaystyle sigma _ {x} = sigma _ {t} sin alpha + sigma _ {n} cos alpha, sigma _ {y} = - sigma _ {t} cos альфа + сигма _ {п} грех альфа}$) находятся

${ displaystyle sigma _ {x} = { frac {2 mu U} {r}} { frac { alpha - sin alpha cos alpha} { alpha ^ {2} - sin ^ {2} alpha}}, quad sigma _ {y} = { frac {2 mu U} {r}} { frac { sin ^ {2} alpha} { alpha ^ {2} - sin ^ {2} alpha}}}$

Как отмечалось ранее, все напряжения становятся бесконечными при ${ displaystyle r = 0}$, потому что градиент скорости там бесконечен. В реальной жизни в точке будет огромное давление, которое зависит от геометрии контакта. Напряжения показаны на рисунке, как указано в исходной статье Тейлора.

Напряжение в направлении, параллельном нижней стенке, уменьшается как ${ displaystyle alpha}$ увеличивается и достигает минимального значения ${ displaystyle sigma _ {x} = 2 mu U / r}$ в ${ Displaystyle альфа = пи}$. Тейлор говорит: «Самая интересная и, возможно, неожиданная особенность расчетов заключается в том, что ${ displaystyle sigma _ {y}}$ не меняет знак в диапазоне ${ Displaystyle 0 < альфа < pi}$. В диапазоне ${ Displaystyle пи / 2 < альфа < пи}$ вклад в ${ displaystyle sigma _ {y}}$ из-за нормального напряжения имеет противоположный знак, чем из-за касательного напряжения, но последнее больше. Мастихинные ножи, используемые художниками для удаления краски со своих палитр, представляют собой очень гибкие скребки. Поэтому их можно использовать только под таким углом, чтобы ${ displaystyle sigma _ {n}}$ мала, и, как будет видно на рисунке, это происходит только тогда, когда ${ displaystyle alpha}$ почти ${ displaystyle 180 ^ { circ}}$. На самом деле художники инстинктивно держат свои мастихины в этом положении ». Далее он добавляет:« Штукатур с другой стороны держит инструмент для сглаживания, чтобы ${ displaystyle alpha}$ маленький. Таким образом он может получить большие значения ${ displaystyle sigma _ {y} / sigma _ {x}}$ которые необходимы для наложения штукатурки от выступов к впадинам ».

Очистка степенной жидкости

Поскольку приложения для очистки важны для неньютоновская жидкость (например, соскабливание краски, лака для ногтей, крема, масла, меда и т. д.), этот случай необходимо учитывать. Анализ был проведен Дж. Ридлером и Вильгельмом Шнайдером в 1983 г., и им удалось получить автомодельные решения за степенные жидкости удовлетворяющий соотношению для кажущаяся вязкость^[6]

${ displaystyle mu = m_ {z} left {4 left [{ frac { partial} { partial r}} left ({ frac {1} {r}} { frac { partial} psi} { partial theta}} right) right] ^ {2} + left [{ frac {1} {r ^ {2}}} { frac { partial ^ {2} psi } { partial theta ^ {2}}} - r { frac { partial} { partial r}} left ({ frac {1} {r}} { frac { partial} { partial r}} right) right] ^ {2} right } ^ {(n-1) / 2}}$

куда ${ displaystyle m_ {z}}$ и ${ displaystyle n}$ являются константами. Решение для функции тока потока, создаваемого пластиной, движущейся вправо, дается выражением

${ displaystyle psi = Ur left { left [1 - { frac {J_ {1} ( theta)} {J_ {1} ( alpha)}} right] sin theta + { гидроразрыв {J_ {2} ( theta)} {J_ {1} ( alpha)}} cos theta right }}$

куда

${ displaystyle { begin {align} J_ {1} & = mathrm {sgn} (F) int _ {0} ^ { theta} | F | ^ {1 / n} cos x , dx, J_ {2} & = mathrm {sgn} (F) int _ {0} ^ { theta} | F | ^ {1 / n} sin x , dx end {align}}}$

и

${ Displaystyle { begin {align} F = sin ({ sqrt {n (2-n)}} xC) quad { text {if}} , n <2, F = { sqrt {xC}} qquad qquad qquad quad { text {if}} , n = 2, F = sinh ({ sqrt {n (n-2)}} xC) quad { текст {if}} , n> 2 end {выровнен}}}$

куда ${ displaystyle C}$ это корень ${ Displaystyle J_ {2} ( альфа) = 0}$. Можно проверить, что это решение сводится к решению Тейлора для ньютоновских жидкостей, т. Е. Когда ${ Displaystyle п = 1}$.

Рекомендации