Телеграфный процесс - Telegraph process

В теория вероятности, то телеграфный процесс это без памяти непрерывное время случайный процесс который показывает два различных значения. Это модели взрыв шума (также называемый шумом попкорна или случайным телеграфным сигналом). Если два возможных значения, что случайная переменная можно взять ${displaystyle c_ {1}}$ и ${displaystyle c_ {2}}$, то процесс можно описать следующими основные уравнения:

${displaystyle partial _ {t} P (c_ {1}, t | x, t_ {0}) = - lambda _ {1} P (c_ {1}, t | x, t_ {0}) + lambda _ { 2} P (c_ {2}, t | x, t_ {0})}$

и

${displaystyle partial _ {t} P (c_ {2}, t | x, t_ {0}) = lambda _ {1} P (c_ {1}, t | x, t_ {0}) - lambda _ {2 } P (c_ {2}, t | x, t_ {0}).}$

куда ${displaystyle lambda _ {1}}$ скорость перехода для выхода из состояния ${displaystyle c_ {1}}$ заявить ${displaystyle c_ {2}}$ и ${displaystyle lambda _ {2}}$ скорость перехода для перехода из состояния ${displaystyle c_ {2}}$ заявить ${displaystyle c_ {1}}$. Процесс также известен под названиями Кац процесс (после математика Марк Кац ),^[1] и дихотомический случайный процесс.^[2]

Решение

Основное уравнение компактно записывается в матричной форме путем введения вектора ${displaystyle mathbf {P} = [P (c_ {1}, t | x, t_ {0}), P (c_ {2}, t | x, t_ {0})]}$,

${displaystyle {frac {dmathbf {P}} {dt}} = Wmathbf {P}}$

куда

${displaystyle W = {egin {pmatrix} -lambda _ {1} & lambda _ {1} lambda _ {2} & - lambda _ {2} end {pmatrix}}}$

это матрица скорости перехода. Формальное решение строится из начального условия ${displaystyle mathbf {P} (0)}$ (что определяет, что при ${displaystyle t = t_ {0}}$, состояние ${displaystyle x}$) к

${displaystyle mathbf {P} (t) = e ^ {Wt} mathbf {P} (0)}$.

Можно показать, что^[3]

${displaystyle e ^ {Wt} = I + W {frac {(1-e ^ {- 2lambda t})} {2lambda}}}$

куда ${displaystyle I}$ - единичная матрица и ${displaystyle lambda = (lambda _ {1} + lambda _ {2}) / 2}$ - средняя скорость перехода. В качестве ${displaystyle tightarrow infty}$решение приближается к стационарному распределению ${displaystyle mathbf {P} (узкая стрелка infty) = mathbf {P} _ {s}}$ данный

${displaystyle mathbf {P} _ {s} = {frac {1} {2lambda}} {egin {pmatrix} lambda _ {2} lambda _ {1} end {pmatrix}}}$

Характеристики

Знание исходного состояния распадается экспоненциально. Поэтому какое-то время ${displaystyle tgg (2lambda) ^ {- 1}}$, процесс достигнет следующих стационарных значений, обозначенных индексом s:

Иметь в виду:

${displaystyle langle Xangle _ {s} = {frac {c_ {1} lambda _ {2} + c_ {2} lambda _ {1}} {lambda _ {1} + lambda _ {2}}}.}$

Разница:

${displaystyle operatorname {var} {X} _ {s} = {frac {(c_ {1} -c_ {2}) ^ {2} lambda _ {1} lambda _ {2}} {(lambda _ {1} + лямбда _ {2}) ^ {2}}}.}$

Также можно рассчитать корреляционная функция:

${displaystyle langle X (t), X (u) angle _ {s} = e ^ {- 2lambda | t-u |} имя оператора {var} {X} _ {s}.}$

Заявление

Этот случайный процесс находит широкое применение при построении моделей:

• В физика, спиновые системы и флуоресценция прерывистость проявлять дихотомические свойства. Но особенно в эксперименты с одной молекулой распределения вероятностей с участием алгебраические хвосты используются вместо экспоненциальное распределение подразумевается во всех приведенных выше формулах.
• В финансы для описания акции Цены^[1]
• В биология для описания фактор транскрипции переплет и развязывание.

Смотрите также

• Цепь Маркова
• Список тем случайных процессов
• Случайный телеграфный сигнал

Рекомендации