Тонкая шлицевая пластина - Thin plate spline
Тонкие шлицы пластины (TPS) площадь сплайн основанная на данных техника интерполяция и сглаживание. Их познакомили с геометрический дизайн пользователя Duchon.[1] Это важный частный случай полигармонический сплайн. Robust Point Matching (RPM) - это распространенное расширение, вскоре известное как алгоритм TPS-RPM.[2]
Физическая аналогия
Название шлиц тонкой пластины относится к физической аналогии, включающей изгиб тонкого листа металла. Точно так же, как металл обладает жесткостью, подгонка TPS также сопротивляется изгибу, что подразумевает штраф, связанный с гладкостью подогнанной поверхности. В физических условиях прогиб находится в направление, ортогональное плоскости. Чтобы применить эту идею к задаче преобразования координат, можно интерпретировать подъем пластины как перемещение или же координаты в плоскости. В 2D случаях при наличии набора соответствующие точки, деформация TPS описывается параметры, которые включают в себя 6 глобальных параметров аффинного движения и коэффициенты соответствия контрольных точек. Эти параметры вычисляются путем решения линейной системы, другими словами, TPS имеет закрытое решение.
Измерение гладкости
TPS возникает из рассмотрения интеграла от квадрата второй производной - это составляет его меру гладкости. В случае, когда является двумерным, для интерполяции TPS соответствует функции отображения между соответствующими наборами точек и который минимизирует следующую энергетическую функцию:
Вариант сглаживания, соответственно, использует параметр настройки для контроля жесткости деформации, уравновешивая вышеупомянутый критерий с мерой качества посадки, тем самым сводя к минимуму:
Для этой вариационной задачи можно показать, что существует единственный минимизатор .[3] В заключительный элемент дискретизации этой вариационной задачи метод эластичные карты, используется для сбор данных и уменьшение нелинейной размерности.
Радиальная базисная функция
Сплайн тонкой пластины имеет естественное представление в терминах радиальных базисных функций. Учитывая набор контрольных точек , радиальная базисная функция определяет пространственное отображение, которое отображает любое местоположение в космосе в новое место , представлена
куда обозначает обычный Евклидова норма и - это набор коэффициентов отображения. TPS соответствует радиальному базисному ядру .
Сплайн
Предположим, что точки находятся в двух измерениях (). Можно использовать однородные координаты для набора точек, где точка представлен как вектор . Уникальный минимайзер параметризуется который состоит из двух матриц и ().
где d - это матрица, представляющая аффинное преобразование (следовательно, это вектор) и c является Матрица коэффициентов коробления, представляющая неаффинную деформацию. Функция ядра это вектор для каждой точки , где каждая запись . Обратите внимание, что для TPS контрольные точки выбираются такими же, как и набор точек для деформации , поэтому мы уже используем на месте контрольных точек.
Если заменить решение на , становится:
куда и просто конкатенированные версии координат точки и , и это матрица сформирована из . Каждая строка каждой вновь сформированной матрицы происходит от одного из исходных векторов. Матрица представляет собой ядро TPS. Грубо говоря, ядро TPS содержит информацию о внутренних структурных отношениях набора точек. В сочетании с коэффициентами коробления создается нежесткое коробление.
Приятным свойством TPS является то, что его всегда можно разложить на глобальный аффинный и локальный неаффинный компоненты. Следовательно, член гладкости TPS зависит исключительно от неаффинных компонентов. Это желательное свойство, особенно по сравнению с другими сплайнами, поскольку глобальные параметры позы, включенные в аффинное преобразование, не подвергаются штрафу.
Приложения
TPS широко используется в качестве модели нежесткого преобразования при выравнивании изображений и согласовании форм.[4]Дополнительным приложением является анализ и сравнение археологических находок в 3D.[5] и был реализован для треугольные сетки в Программный фреймворк GigaMesh.[6]
Тонкая шлицевая пластина обладает рядом свойств, которые способствовали ее популярности:
- Он создает гладкие поверхности, которые можно бесконечно дифференцировать.
- Нет свободных параметров, требующих ручной настройки.
- Он имеет решения в закрытой форме как для деформации, так и для оценки параметров.
- Есть физическое объяснение его энергетической функции.
Однако обратите внимание, что шлицы уже в одном измерении могут вызвать серьезные «выбросы». В 2D такие эффекты могут быть гораздо более критичными, потому что TPS не объективны.[нужна цитата ]
Смотрите также
- Взвешивание обратных расстояний
- Радиальная базисная функция
- Подразделение поверхности (новая альтернатива сплайн-поверхностям)
- Эластичная карта (дискретный вариант приближения тонкой пластины для многообразное обучение )
- Сплайн
- Полигармонический сплайн (шлиц тонкой пластины является частным случаем полигармонического сплайна)
- Сглаживающий сплайн
Рекомендации
- ^ Дж. Дюшон, 1976 г., Сплайны, минимизирующие инвариантные относительно вращения полунормы в пространствах Соболева. С. 85–100, В: Конструктивная теория функций многих переменных, Обервольфах, 1976, У. Шемпп и К. Целлер, ред., конспект лекций по математике, т. 571, Шпрингер, Берлин, 1977. Дои:10.1007 / BFb0086566
- ^ Чуй, Хайли (2001), Сопоставление нежестких точек: алгоритмы, расширения и приложения, Йельский университет, Нью-Хейвен, Коннектикут, США, CiteSeerX 10.1.1.109.6855
- ^ Вахба, Грейс (1990), Сплайновые модели для данных наблюдений, Филадельфия, Пенсильвания, США: Общество промышленной и прикладной математики (СИАМ), CiteSeerX 10.1.1.470.5213, Дои:10.1137/1.9781611970128, ISBN 978-0-89871-244-5
- ^ Букштейн, Ф. Л. (июнь 1989 г.). «Основные перекосы: шлицы тонких пластин и разложение деформаций». IEEE Transactions по анализу шаблонов и машинному анализу. 11 (6): 567–585. Дои:10.1109/34.24792.
- ^ Богач, Бартош; Пападимитриу, Николас; Панагиотопулос, Диамантис; Мара, Юбер (2019), «Восстановление и визуализация деформации в трехмерных уплотнениях Эгейского моря», Proc. 14-й Международной конференции по теории и приложениям компьютерного зрения (VISAPP), Прага, Чешская Республика, получено 28 марта 2019
- ^ «Урок № 13: Применение преобразования TPS-RPM». Программный фреймворк GigaMesh. Получено 3 марта 2019.