Решетка Тоды - Toda lattice

В Решетка Тоды, представлен Морикадзу Тода  (1967 ), представляет собой простую модель одномерного кристалла в физика твердого тела. Он известен тем, что является одним из первых примеров нелинейного полностью интегрируемая система.

Он задается цепочкой частиц с взаимодействием ближайших соседей, описываемой гамильтонианом

${ displaystyle { begin {align} H (p, q) & = sum _ {n in mathbb {Z}} left ({ frac {p (n, t) ^ {2}} {2 }} + V (q (n + 1, t) -q (n, t)) right) end {align}}}$

и уравнения движения

${ Displaystyle { begin {align} { frac {d} {dt}} p (n, t) & = - { frac { partial H (p, q)} { partial q (n, t) }} = e ^ {- (q (n, t) -q (n-1, t))} - e ^ {- (q (n + 1, t) -q (n, t))}, { frac {d} {dt}} q (n, t) & = { frac { partial H (p, q)} { partial p (n, t)}} = p (n, t) , end {align}}}$

куда ${ Displaystyle д (п, т)}$ это смещение ${ displaystyle n}$-я частица из положения равновесия,

и ${ Displaystyle р (п, т)}$ его импульс (масса ${ displaystyle m = 1}$),

и потенциал Тоды ${ Displaystyle V (г) = е ^ {- г} + г-1}$.

Солитонные решения

Солитон решения представляют собой уединенные волны, распространяющиеся во времени без изменения своей формы и размера и взаимодействующие друг с другом подобно частицам. Общее N-солитонное решение уравнения имеет вид

${ Displaystyle { begin {выровнен} q_ {N} (n, t) = q _ {+} + log { frac { det ( mathbb {I} + C_ {N} (n, t))} { det ( mathbb {I} + C_ {N} (n + 1, t))}}, end {align}}}$

куда

${ Displaystyle C_ {N} (n, t) = { Bigg (} { frac { sqrt { gamma _ {i} (n, t) gamma _ {j} (n, t)}} { 1-e ^ { kappa _ {i} + kappa _ {j}}}} { Bigg)} _ {1$

с

${ displaystyle gamma _ {j} (n, t) = gamma _ {j} , e ^ {- 2 kappa _ {j} n-2 sigma _ {j} sinh ( kappa _ { j}) t}}$

куда${ displaystyle kappa _ {j}, gamma _ {j}> 0}$ и${ displaystyle sigma _ {j} in { pm 1 }}$.

Интегрируемость

Решетка Тоды является прототипом полностью интегрируемая система. Чтобы увидеть это, используется Flaschka переменные

${ displaystyle a (n, t) = { frac {1} {2}} { rm {e}} ^ {- (q (n + 1, t) -q (n, t)) / 2} , qquad b (n, t) = - { frac {1} {2}} p (n, t)}$

такая, что цепочка Тоды имеет вид

${ Displaystyle { begin {align} { dot {a}} (n, t) & = a (n, t) { Big (} b (n + 1, t) -b (n, t) { Big)}, { dot {b}} (n, t) & = 2 { Big (} a (n, t) ^ {2} -a (n-1, t) ^ {2} { Big)}. End {align}}}$

Чтобы показать, что система полностью интегрируема, достаточно найти пару Лакса, т. Е. Два оператора L (т) и P (t) в Гильбертово пространство суммируемых с квадратом последовательностей ${ Displaystyle ell ^ {2} ( mathbb {Z})}$ такое, что уравнение Лакса

${ displaystyle { frac {d} {dt}} L (t) = [P (t), L (t)]}$

(куда [L, п] = LP - PL это Коммутатор Ли двух операторов) эквивалентна производной по времени от переменных Флашки. Выбор

${ Displaystyle { begin {align} L (t) е (n) & = a (n, t) f (n + 1) + a (n-1, t) f (n-1) + b (n , t) f (n), P (t) f (n) & = a (n, t) f (n + 1) -a (n-1, t) f (n-1). end {выровнено}}}$

куда е (п + 1) и f (n-1) - операторы сдвига, следует, что операторы L (т) для разных т унитарно эквивалентны.

Матрица ${ Displaystyle L (т)}$ обладает тем свойством, что его собственные значения инвариантны во времени. Эти собственные значения представляют собой независимые интегралы движения, поэтому цепочка Тоды полностью интегрируема. В частности, решетка Тоды может быть решена с помощью обратное преобразование рассеяния для Оператор Якоби L. Из основного результата следует, что произвольные (достаточно быстро) убывающие начальные условия асимптотически при больших т разбивается на сумму солитонов и затухающего диспергирующий часть.

Смотрите также

• Слабая пара
• Биалгебра Ли
• Группа Пуассона – Ли

Рекомендации

• Крюгер, Хельге; Тешл, Джеральд (2009), «Пересмотр долговременной асимптотики цепочки Тоды для затухающих исходных данных», Rev. Math. Phys., 21 (1): 61–109, arXiv:0804.4693, Bibcode:2009RvMaP..21 ... 61K, Дои:10.1142 / S0129055X0900358X, МИСТЕР  2493113
• Тешл, Джеральд (2000), Операторы Якоби и вполне интегрируемые нелинейные решетки, Провиденс: амер. Математика. Soc., ISBN  978-0-8218-1940-1, МИСТЕР  1711536
• Тешл, Джеральд (2001), «Почти все, что вы всегда хотели знать об уравнении Тода», Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 103 (4): 149–162, МИСТЕР  1879178
• Евгений Гуткин, Интегрируемые гамильтонианы с экспоненциальным потенциалом, Physica 16D (1985) 398-404. Дои:10.1016 / 0167-2789 (85) 90017-Х
• Тода, Морикадзу (1967), "Вибрация цепи с нелинейным взаимодействием", J. Phys. Soc. Jpn., 22 (2): 431–436, Bibcode:1967JPSJ ... 22..431T, Дои:10.1143 / JPSJ.22.431
• Тода, Морикадзу (1989), Теория нелинейных решеток., Серия Спрингера в науках о твердом теле, 20 (2-е изд.), Берлин: Springer, Дои:10.1007/978-3-642-83219-2, ISBN  978-0-387-10224-5, МИСТЕР  0971987

внешняя ссылка

• Э. В. Вайсштейн, Решетка Тоды в ScienceWorld
• Г. Тешль, Решетка Тоды
• J Phys Специальный выпуск о пятидесятилетии цепочки Тоды