Проблема перевалки - Transshipment problem

Проблемы с перевалкой образуют подгруппу транспортных задач, где перевалка позволено. При перевалке транспортировка может или должна проходить через промежуточные узлы, возможно, с изменением вида транспорта.

В Проблема перевалки берет свое начало в средневековье^{[сомнительный – обсуждать]} когда торговля стала массовым явлением. Основным приоритетом было получение маршрута с минимальной стоимостью. Однако технологическое развитие постепенно отдавало приоритет проблемам минимальной продолжительности перевозки.

Обзор

Перевалка или перевалка - это отгрузка из товары или же контейнеры в промежуточный пункт назначения, а затем оттуда в еще один пункт назначения. Одна из возможных причин - изменить транспортные средства во время путешествия (например, из судовой транспорт к дорожный транспорт ), известный как перегрузка. Другая причина - объединить небольшие поставки в большую (консолидация), разделив крупную партию на другом конце (деконсолидация). Перевалка обычно происходит в транспортные узлы. Большая часть международных перевалок также осуществляется в специально отведенных местах. таможенные зоны, что позволяет избежать необходимости в таможенных проверках или пошлинах, которые в противном случае являются серьезным препятствием для эффективного транспорта.

Постановка задачи

Чтобы полностью сформулировать задачу перевалки, необходимо сделать несколько исходных предположений:

Система состоит из м происхождение и п назначения, соответственно со следующей индексацией: ${ Displaystyle я = 1, ldots, м}$ , ${ displaystyle j = 1, ldots, n}$
Существует один унифицированный товар, который необходимо отправить
Требуемое количество товара в пунктах назначения равно произведенному количеству товара, доступному в пунктах отправления.
Транспортировка одновременно начинается в пункте отправления и возможна из любого узла в любой другой (также в пункт отправления и из пункта назначения).
Транспортные расходы не зависят от количества груза.
Проблема перевалки - это уникальная проблема линейного программирования (LLP), поскольку она учитывает предположение, что все источники и приемники могут одновременно принимать и распределять грузы (функционируют в обоих направлениях)^[1]

Обозначения

${ displaystyle t_ {r, s}}$ : время транспортировки от узла р узел s
${ displaystyle a_ {i}}$ : товары в наличии на узле я
${ displaystyle b_ {m + j}}$ : спрос на товар в узле (м + j)
${ displaystyle x_ {r, s}}$ : фактическая сумма, перевезенная с узла р узел s

Математическая постановка задачи.

Цель - минимизировать ${ displaystyle sum limits _ {i = 1} ^ {m} sum limits _ {j = 1} ^ {n} t_ {i, j} x_ {i, j}}$ при условии:

${ displaystyle x_ {r, s} geq 0}$ ; ${ displaystyle forall r = 1 ldots m}$ , ${ Displaystyle s = 1 ldots п}$
${ displaystyle sum _ {s = 1} ^ {m + n} {x_ {i, s}} - sum _ {r = 1} ^ {m + n} {x_ {r, i}} = a_ {я}}$ ; ${ Displaystyle forall я = 1 ldots м}$
${ displaystyle sum _ {r = 1} ^ {m + n} {x_ {r, m + j}} - sum _ {s = 1} ^ {m + n} {x_ {m + j, s }} = b_ {m + j}}$ ; ${ Displaystyle forall j = 1 ldots п}$
${ displaystyle sum _ {я = 1} ^ {m} {a_ {i}} = sum _ {j = 1} ^ {n} {b_ {m + j}}}$

Решение

Поскольку в большинстве случаев явного выражения для целевой функции не существует, альтернативный метод предлагается Раджив и Сатья. В этом методе используются две последовательные фазы для определения минимального продолжительного маршрута от исходной точки до места назначения. Первый этап готов решить ${ displaystyle n cdot m}$ проблема минимизации времени, в каждом случае используя оставшиеся ${ Displaystyle п + м-2}$ промежуточные узлы в качестве перевалочных пунктов. Это также приводит к минимальной продолжительности перевозки между всеми источниками и пунктами назначения. На втором этапе необходимо решить стандартную задачу минимизации времени. Решение проблемы перевалки с минимальным временем является результатом совместного решения этих двух этапов.

Фаза 1

Поскольку затраты не зависят от отгруженного количества, в каждой отдельной задаче отгруженное количество можно нормализовать до 1. Теперь проблема упрощена до задачи присваивания из я к m + j. Позволять ${ displaystyle x '_ {r, s} = 1}$ быть 1 если край между узлами р и s используется во время оптимизации, и 0 иначе. Теперь цель - определить все ${ displaystyle x '_ {r, s}}$ которые минимизируют целевую функцию:

${ Displaystyle T_ {я, м + j} = сумма _ {r = 1} ^ {m + n} sum _ {s = 1} ^ {m + n} {t_ {r, s} cdot x '_ {r, s}}}$ ,

такой, что

${ displaystyle sum _ {s = 1} ^ {m + n} {x '_ {r, s}} = 1}$
${ Displaystyle сумма _ {г = 1} ^ {м + п} {х '_ {г, s}} = 1}$
${ displaystyle x '_ {m + j, i} = 1}$
${ displaystyle x '_ {r, s} = 0,1}$ .

Следствие

${ displaystyle x '_ {r, r} = 1}$ и ${ displaystyle x '_ {m + j, i} = 1}$ нужно исключить из модели; с другой стороны, без ${ displaystyle x '_ {m + j, i} = 1}$ ограничение оптимальный путь будет состоять только из ${ displaystyle x '_ {r, r}}$ петли, которые, очевидно, не могут быть допустимым решением.
Вместо ${ displaystyle x '_ {m + j, i} = 1}$ , ${ displaystyle t_ {m + j, i} = - M}$ можно написать, где M - сколь угодно большое положительное число. С этой модификацией вышеприведенная формулировка сводится к форме стандартная задача присваивания, можно решить с помощью Венгерский метод.

Фаза 2

На втором этапе задача минимизации времени решается с помощью м происхождение и п направления без перевалки. Этот этап отличается от первоначальной настройки двумя основными аспектами:

Перевозка возможна только из пункта отправления в пункт назначения.
Время транспортировки от я к m + j представляет собой сумму продолжительностей оптимального маршрута, рассчитанную на этапе 1. Достоин обозначения ${ displaystyle t '_ {я, м + j}}$ чтобы отделить его от времен, введенных на первом этапе.

В математической форме

Цель - найти ${ Displaystyle х_ {я, м + j} geq 0}$ которые минимизируют

${ displaystyle z = max left {t '_ {i, m + j}: x_ {i, m + j}> 0 ; ; (i = 1 ldots m, ; j = 1 ldots n) right }}$ ,
такой, что

${ Displaystyle сумма _ {я = 1} ^ {м} {х_ {я, м + j}} = а_ {я}}$
${ displaystyle sum _ {j = 1} ^ {n} {x_ {i, m + j}} = b_ {m + j}}$
${ displaystyle sum _ {я = 1} ^ {m} {a_ {i}} = sum _ {j = 1} ^ {n} {b_ {m + j}}}$

Эту проблему легко решить с помощью метода, разработанного Пракаш. Набор ${ Displaystyle влево {т '_ {я, м + j}, я = 1 ldots м, ; j = 1 ldots п справа }}$ необходимо разбить на подгруппы ${ Displaystyle L_ {к}, к = 1 ldots q}$ , где каждый ${ displaystyle L_ {k}}$ содержать ${ displaystyle t '_ {я, м + j}}$ -s с таким же значением. Последовательность ${ displaystyle L_ {k}}$ организован как ${ displaystyle L_ {1}}$ содержит самые ценные ${ displaystyle t '_ {я, м + j}}$ с ${ displaystyle L_ {2}}$ второй по величине и так далее. Более того, ${ displaystyle M_ {k}}$ положительные факторы приоритета присваиваются подгруппам ${ displaystyle sum _ {L_ {k}} {x_ {i, m + j}}}$ , со следующим правилом:

${ displaystyle alpha M_ {k} - beta M_ {k + 1} = left {{ begin {array} {cc} -ve, & if ; alpha <0 ve, & if ; альфа> 0 end {array}} right.}$

для всех ${ displaystyle beta}$ . С помощью этих обозначений цель - найти все ${ displaystyle x_ {я, m + j}}$ которые минимизируют целевую функцию

${ displaystyle z_ {1} = sum _ {k = 1} ^ {q} {M_ {k}} sum _ {L_ {k}} {x_ {i, m + j}}}$