Поперечный Меркатор: серия Bowring - Википедия - Transverse Mercator: Bowring series

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста помоги Улучши это или обсудите эти вопросы на страница обсуждения. (Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны) Эта статья нужно больше ссылки на другие статьи помочь интегрировать в энциклопедию. Пожалуйста помоги улучшить эту статью добавляя ссылки которые имеют отношение к контексту в существующем тексте. (Ноябрь 2012 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) Эта статья может быть слишком техническим для большинства читателей, чтобы понять. Пожалуйста помогите улучшить это к сделать понятным для неспециалистов, не снимая технических деталей. (Июль 2020) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В 1989 году Бернард Рассел Боуринг дал формулы для Поперечный Меркатор которые проще программировать, но сохраняют миллиметровую точность.^[1] Боуринг переписал ряд Редферна четвертого порядка (после отказа от мелких членов) в более компактной записи, заменив сферические члены, то есть те, которые не зависят от эллиптичности, точными выражениями, используемыми в сферической поперечной проекции Меркатора. Повышения точности не было, так как эллиптические члены все еще были усечены на уровне 1 мм. Такие модификации были возможны при минимальных вычислительных ресурсах.

Обозначение

${ displaystyle a}$ = радиус экватора выбранного сфероида (например, 6378137 м для GRS80 / WGS84)

${ displaystyle b}$ = полярная полуось сфероида

${ displaystyle k_ {0}}$ = масштабный коэффициент по центральному меридиану (например, 0,9996 для UTM)

${ Displaystyle scriptstyle phi}$   =  широта

${ displaystyle scriptstyle omega}$  =  разница в долготе от центрального меридиана, в радианах, положительная к востоку

${ displaystyle m}$  =   меридиональное расстояние, измеренное на сфероиде от экватора до ${ Displaystyle scriptstyle phi}$ (Смотри ниже)

E = расстояние к востоку от центрального меридиана, измеренное по поперечной проекции Меркатора

N = расстояние к северу от экватора, измеренное на поперечной проекции Меркатора

${ displaystyle varepsilon ; = ; { frac {2r-1} {(r-1) ^ {2}}} = ; { frac {a ^ {2} -b ^ {2}} { Ь ^ {2}}} ;}$

куда р - величина, обратная сплющиванию для выбранного сфероида (для WGS84, р = 298,257223563 точно).

Преобразовать широту и долготу в поперечную проекцию Меркатора

${ Displaystyle с = соз фи qquad s = грех фи}$

${ displaystyle nu ; = ; а { sqrt { frac {1+ varepsilon} {1+ varepsilon c ^ {2}}}}}$ (основной вертикальный радиус кривизны)

${ Displaystyle Z = { гидроразрыва { varepsilon omega ^ {3} c ^ {5}} {6}}}$

${ Displaystyle tan theta _ {2} ; = ; { frac {2sc sin ^ {2} ( omega / 2)} {s ^ {2} + c ^ {2} cos omega }}}$

${ displaystyle { text {E}} ; = ; k_ {0} nu left [{ tanh} ^ {- 1} (c sin omega) + z left (1 + { frac { omega ^ {2}} {10}} (36c ^ {2} -29) right) right]}$

${ displaystyle { text {N}} ; = ; k_ {0} left [m + nu theta _ {2} + { frac {z nu omega s} {4}} (9+ 4 varepsilon c ^ {2} -11 omega ^ {2} +20 omega ^ {2} c ^ {2}) right] ,}$

(Обратите внимание, что ${ displaystyle theta _ {2}}$ должно быть в радианах.)

Поперечный Меркатор к широте и долготе

Чтобы преобразовать поперечные координаты Меркатора в широту и долготу, сначала вычислите ${ Displaystyle scriptstyle phi '}$, широта следа - то есть широта точки на центральном меридиане, имеющей то же N, что и точка, которую нужно преобразовать; то есть широта, меридиональное расстояние которой на сфероиде равно N /${ displaystyle k_ {0}}$. Приведенные ниже формулы Боуринга кажутся самыми быстрыми, но традиционных формул будет достаточно. потом

${ Displaystyle c_ {1} = соз phi ' qquad s_ {1} = sin phi'}$

${ displaystyle nu _ {1} ; = ; а { sqrt { frac {1+ varepsilon} {1+ varepsilon {c_ {1}} ^ {2}}}}}$

${ displaystyle x ; = ; { frac { text {E}} {k_ {0} nu _ {1}}}}$

${ displaystyle tan theta _ {4} ; = ; { frac { sinh x} {c_ {1}}}}$

${ Displaystyle загар тета _ {5} ; = ; загар фи ' соз тета _ {4}}$

${ displaystyle phi ; = ; left (1+ varepsilon {c_ {1}} ^ {2} right) left [ theta _ {5} - { frac { varepsilon} {24} } x ^ {4} tan phi '(9-10 {c_ {1}} ^ {2}) right] - varepsilon {c_ {1}} ^ {2} phi'}$

${ displaystyle omega ; = ; theta _ {4} - { frac { varepsilon} {60}} x ^ {3} c_ {1} left (10 - { frac {4x ^ {2 }} {{c_ {1}} ^ {2}}} + x ^ {2} {c_ {1}} ^ {2} right)}$

(${ displaystyle theta _ {4}}$, ${ displaystyle theta _ {5}}$ и ${ Displaystyle scriptstyle phi '}$ конечно должно быть в радианах, и ${ Displaystyle scriptstyle phi}$ и ${ displaystyle omega}$ будет.)

Меридианное расстояние

Боуринг дал формулы для меридионального расстояния (расстояние от экватора до заданной широты по линии север-юг на сфероиде), которые кажутся правильными в пределах 0,001 миллиметра на сфероидах размером с Землю.^[2] Символ п то же, что и в формулах Redfearn

${ Displaystyle п ; = ; { гидроразрыва {a-b} {a + b}} ; = ; { frac {1} {2r-1}}}$

${ displaystyle tan psi quad = quad left ({ frac {r-1} {r}} right) tan phi quad = quad left ({ frac {1-n}) {1 + n}} right) tan phi}$

${ displaystyle p = 1 - { frac {3} {4}} n cos 2 psi qquad q = { frac {3} {4}} n sin 2 psi}$

${ displaystyle Z = left (1 - { frac {3} {8}} n ^ {2} right) (p + qi) ^ {2/3} qquad { text {where}} ; я = { sqrt {-1}}}$

Отбросить действительную часть комплексного числа Z; вычесть реальный коэффициент мнимой части Z из ${ displaystyle psi}$ (в радианах), чтобы получить ${ displaystyle theta}$. потом

${ displaystyle { text {меридианное расстояние}} ; = quad { frac {a theta} {1 + n}} left (1 + { frac {n ^ {2}} {8}} справа) ^ {2}}$

(Обратите внимание, что если широта 90 градусов, то ${ displaystyle theta = { frac { pi} {2}}}$ , что, как оказалось, дает длину квадранта меридиана до одной триллионной метра на GRS 80.)

Для обратного (заданное меридианное расстояние, вычислить широту) вычислить ${ displaystyle theta}$ используя последнюю формулу выше, тогда

${ displaystyle p '= 1 - { frac {33} {20}} n cos 2 theta qquad q' = { frac {33} {20}} n sin 2 theta}$

${ displaystyle Z '= { frac {5} {4}} left (1 - { frac {9} {16}} n ^ {2} right) (p' + q'i) ^ {8 / 33}}$

Отбросьте действительную часть Z 'и добавьте действительный коэффициент при я к ${ displaystyle theta}$ получить уменьшенную широту ${ displaystyle psi}$ (в радианах), который преобразуется в широту ${ Displaystyle scriptstyle phi}$ используя уравнение в верхней части этого раздела.

Если ноль не на экваторе

Как указано выше, все формулы для эллипсоида предполагают, что северное положение на поперечной проекции Меркатора начинается с нуля на экваторе, как это происходит в проекции UTM северного полушария. Люди, использующие Британскую национальную сетку или Координаты на уровне штатов в Соединенных Штатах, имеют дополнительный шаг в своих вычислениях.

Британская национальная сетка устанавливает северное положение (49 градусов северной широты, 2 градуса западной долготы) равным -100000 метров. В нем используется сфероид Эйри с экваториальным радиусом 6377563,39603 метра и величиной, обратной сглаживанию 299,3249645938 (оба значения округлены); меридианное расстояние от экватора до 49 градусов широты составляет 5429228,602 метра на сфероиде. Округленный масштабный коэффициент на долготе 2 градуса западной долготы составляет 0,999601271775, поэтому на поперечной проекции Меркатора 49 градусов северной широты это 5427063,8153 метра от экватора.

Поэтому при преобразовании широты и долготы в британскую национальную сетку используйте приведенные выше формулы и вычтите 5527063,815 метра из вычисленного N.

Пример: преобразовать широту и долготу в UTM

NGS говорит Монумент Вашингтона находится на 38 градусах 53 мин 22.08269 сек северной широты, 77 градусах 02 мин 06.86575 сек западе на NAD83; что это за UTM?

Как и во всех расчетах NAD83, мы используем сфероид GRS80 с точным a = 6378137 метров и округленным r = 298,25722 2101. Если мы лениво возьмем это значение r как точное, мы получим ${ displaystyle epsilon}$ = 0,00673 94967 75479 и n = 0,00167 92203 94629. Как и во всех расчетах UTM ${ displaystyle k_ {0}}$ равно 0,9996 точно.

${ Displaystyle scriptstyle nu}$ 6386568,5027 метров на широте памятника
z равно -1,43831 52572 раз ${ displaystyle 10 ^ {- 8}}$ у памятника

${ displaystyle theta _ {2}}$ выходит -0,00030 83836 79455 61242 радиан.

Далее получить м, меридианное расстояние от экватора до памятника:
${ displaystyle psi}$ составляет 38,795469019 градусов = 0,677108669 радиан
поэтому p = 0,99972936, q = 0,00122999, а мнимая часть Z равна 0,000820069 раз я.
Вычтем 0,000820069 из 0,677108669, чтобы получить ${ displaystyle theta}$ = 0,676288601 радиан и м составляет 4306233,2730 метров.

Подключите все это, и мы получим N = 4306479,5101 метр, E = -176516,8552 метра; прибавьте последнее к 500000 (значение восточного положения вдоль центрального меридиана во всех зонах UTM), чтобы получить восточное положение UTM 323483,1448 метров, что согласуется с таблицей данных NGS.

Рекомендации