Метод триады - Triad method

Триада - одно из самых ранних и простых решений проблемы определения ориентации космического корабля.^[1]^[2] из-за Гарольда Блэка. Блэк сыграл ключевую роль в разработке системы управления, навигации и контроля транзитной спутниковой системы ВМС США в Лаборатории прикладной физики Джонса Хопкинса. Как видно из литературы, TRIAD представляет собой состояние практики определения ориентации космических аппаратов задолго до появления Проблема вахбы ^[3] и несколько его оптимальных решений. Зная два вектора в опорных координатах и координатах тела спутника, алгоритм TRIAD получает матрицу направляющих косинусов, относящуюся к обоим кадрам. Анализ ковариации для классического решения Блэка был впоследствии предоставлен Маркли.^[4]

Резюме

Рассмотрим линейно независимые опорные векторы ${ displaystyle { vec {R}} _ {1}}$ и ${ displaystyle { vec {R}} _ {2}}$ . Позволять ${ displaystyle { vec {r}} _ {1}, { vec {r}} _ {2}}$ быть соответствующими измеренными направлениями единичных векторов отсчета, разрешенными в фиксированной системе отсчета тела. Тогда они связаны уравнениями:

${ displaystyle { vec {R}} _ {i} = A { vec {r}} _ {i}}$

(1)

для ${ displaystyle i = 1,2}$ , где ${ displaystyle A}$ матрица вращения (иногда также называемая собственно ортогональная матрица, т.е. ${ displaystyle A ^ {T} A = I, det (A) = + 1}$ ). ${ displaystyle A}$ преобразует векторы в неподвижном кадре тела в кадр опорных векторов. Помимо других свойств, матрицы вращения сохраняют длину вектора, над которым они работают. Обратите внимание, что матрица направляющих косинусов ${ displaystyle A}$ также преобразует вектор кросс-произведения, записанный как,

${ displaystyle { vec {R}} _ {1} times { vec {R}} _ {2} = A left ({ vec {r}} _ {1} times { vec {r }} _ {2} right)}$

(2)

Триада предлагает оценку матрицы направляющих косинусов ${ displaystyle A}$ как решение линейной системы уравнений, заданной формулой

${ displaystyle left [{ vec {R}} _ {1} ~ vdots ~ { vec {R}} _ {2} ~ vdots ~ left ({ vec {R}} _ {1} times { vec {R}} _ {2} right) right] = A left [{ vec {r}} _ {1} ~ vdots ~ { vec {r}} _ {2} ~ vdots ~ left ({ vec {r}} _ {1} times { vec {r}} _ {2} right) right]}$

(3)

где ${ displaystyle vdots}$ использовались для разделения разных векторов-столбцов.

Представленное выше решение хорошо работает в бесшумном случае. Однако на практике ${ displaystyle { vec {r}} _ {1}, { vec {r}} _ {2}}$ зашумлены, и условие ортогональности матрицы ориентации (или матрицы направляющих косинусов) не сохраняется с помощью описанной выше процедуры. Triad включает следующую элегантную процедуру для решения этой проблемы. Для этого определим единичные векторы

${ displaystyle { hat {S}} = { frac {{ vec {R}} _ {1}} {|| { vec {R}} _ {1} ||}}}$

(4)

${ displaystyle { hat {s}} = { frac {{ vec {r}} _ {1}} {|| { vec {r}} _ {1} ||}}}$

(5)

и

${ displaystyle { hat {M}} = { frac {{ vec {R}} _ {1} times { vec {R}} _ {2}} {|| { vec {R}} _ {1} times { vec {R}} _ {2} ||}}}$

(6)

${ displaystyle { hat {m}} = { frac {{ vec {r}} _ {1} times { vec {r}} _ {2}} {|| { vec {r}} _ {1} times { vec {r}} _ {2} ||}}}$

(7)

будет использоваться вместо первых двух столбцов (3). Их перекрестное произведение используется в качестве третьего столбца в линейной системе уравнений, позволяющей получить правильную ортогональную матрицу для положения космического аппарата, задаваемого формулой

${ displaystyle left [{ hat {S}} ~ vdots ~ { hat {M}} ~ vdots ~ { hat {S}} times { hat {M}} right] = A left [{ hat {s}} ~ vdots ~ { hat {m}} ~ vdots ~ { hat {s}} times { hat {m}} right]}$

(8)

В то время как нормализации уравнений (4) - (7) не являются необходимыми, они были выполнены для достижения вычислительного преимущества при решении линейной системы уравнений в (8). Таким образом, оценка положения космического аппарата дается соответствующей ортогональной матрицей как

${ displaystyle { hat {A}} = left [{ hat {S}} ~ vdots ~ { hat {M}} ~ vdots ~ { hat {S}} times { hat {M }} right] left [{ hat {s}} ~ vdots ~ { hat {m}} ~ vdots ~ { hat {s}} times { hat {m}} right] ^ {T}.}$

(9)

Обратите внимание, что вычислительная эффективность была достигнута в этой процедуре путем замены обратной матрицы транспонированной. Это возможно, потому что каждая матрица, участвующая в вычислении отношения, состоит из триады: ортонормированный базисные векторы. «ТРИАДА» получила свое название от этого наблюдения.

Матрица отношения триады и точность измерений

Следует отметить, что метод триады всегда дает правильную ортогональную матрицу, независимо от того, как используются опорные и базовые векторы в процессе оценки. Это можно показать следующим образом. Перепишем уравнение. (8) в матричной форме, задаваемой

${ displaystyle Gamma = A Delta}$

(10)

где ${ Displaystyle Gamma: = left [{ hat {S}} ~ vdots ~ { hat {M}} ~ vdots ~ { hat {S}} times { hat {M}} right ]}$ и ${ displaystyle Delta = left [{ hat {s}} ~ vdots ~ { hat {m}} ~ vdots ~ { hat {s}} times { hat {m}} right] .}$ Обратите внимание, что если столбцы ${ displaystyle Gamma}$ образуют левую триаду, затем столбцы ${ displaystyle Delta}$ также являются левыми из-за однозначного соответствия между векторами. Это связано с тем простым фактом, что в евклидовой геометрии угол между любыми двумя векторами остается неизменным для преобразований координат. Следовательно, определитель ${ displaystyle det left ( Gamma right)}$ является ${ displaystyle 1}$ или ${ displaystyle -1}$ в зависимости от того, правые или левые его столбцы соответственно (аналогично, ${ displaystyle Delta = pm 1}$ ). Принимая определитель с обеих сторон отношения в уравнении. (10), заключаем, что

${ displaystyle det left (A right) = 1.}$

(11)

Это очень полезно в практических приложениях, поскольку аналитику всегда гарантируется правильная ортогональная матрица, независимо от природы опорных и измеренных векторных величин.

Приложения

Триада использовалась как метод определения ориентации для обработки данных телеметрии со спутниковой системы Transit (используемой ВМС США для навигации). Принципы системы Transit положили начало созданию спутниковой группировки глобальной системы позиционирования. В прикладной задаче опорными векторами обычно являются известные направления (например, звезды, магнитное поле Земли, вектор гравитации и т. Д.). Фиксированные векторы тела - это измеренные направления, наблюдаемые бортовым датчиком (например, звездным трекером, магнитометром и т. Д.). С достижениями в области микроэлектроники алгоритмы определения отношения, такие как Triad, нашли свое место в различных устройствах (например, смартфонах, автомобилях, планшетах, БПЛА и т. Д.), Оказав большое влияние на современное общество.

Смотрите также

использованная литература

^ Черный, Гарольд (июль 1964). «Пассивная система определения положения спутника». Журнал AIAA. 2 (7): 1350–1351. Bibcode:1964 AIAAJ ... 2.1350.. Дои:10.2514/3.2555.
^ Блэк, Гарольд (июль – август 1990 г.). "Ранние разработки транзита, навигационная спутниковая система ВМФ". Журнал управления, контроля и динамики. 13 (4): 577–585. Bibcode:1990JGCD ... 13..577B. Дои:10.2514/3.25373.
^ Вахба, Грейс (июль 1966 г.). "Оценка местоположения спутника методом наименьших квадратов, задача 65.1". SIAM Обзор. 8: 385–386. Дои:10.1137/1008080.
^ Маркли, Лэндис (апрель – июнь 1993 г.). «Определение отношения с использованием векторных наблюдений: быстрый алгоритм оптимальной матрицы» (PDF). Журнал астронавтических наук. 41 (2): 261–280. Получено 18 апреля, 2012.

[1] Черный, Гарольд (июль 1964). «Пассивная система определения положения спутника». Журнал AIAA. 2 (7): 1350–1351. Bibcode:1964 AIAAJ ... 2.1350.. Дои:10.2514/3.2555.

[2] Блэк, Гарольд (июль – август 1990 г.). "Ранние разработки транзита, навигационная спутниковая система ВМФ". Журнал управления, контроля и динамики. 13 (4): 577–585. Bibcode:1990JGCD ... 13..577B. Дои:10.2514/3.25373.

[3] Вахба, Грейс (июль 1966 г.). "Оценка местоположения спутника методом наименьших квадратов, задача 65.1". SIAM Обзор. 8: 385–386. Дои:10.1137/1008080.

[4] Маркли, Лэндис (апрель – июнь 1993 г.). «Определение отношения с использованием векторных наблюдений: быстрый алгоритм оптимальной матрицы» (PDF). Журнал астронавтических наук. 41 (2): 261–280. Получено 18 апреля, 2012.

[1]

[2]

[3]

[4]