Алгоритм VEGAS - VEGAS algorithm

В Алгоритм VEGAS, из-за Г. Петер Лепаж,^[1][2][3] это метод для уменьшение ошибки в Моделирование Монте-Карло используя известную или приблизительную распределение вероятностей функция для концентрации поиска в этих областях интегрировать которые вносят наибольший вклад в финал интеграл.

Алгоритм VEGAS основан на выборка по важности. Он выбирает точки из распределения вероятностей, описываемых функцией ${ displaystyle | f |,}$ так что точки сосредоточены в областях, дающих наибольший вклад в интеграл. В Научная библиотека GNU (GSL) обеспечивает Программа VEGAS.

Метод отбора проб

В общем, если интеграл Монте-Карло от ${ displaystyle f}$ над объемом ${ displaystyle Omega}$ отбирается с точками, распределенными согласно распределению вероятностей, описываемому функцией ${ displaystyle g,}$ получаем оценку ${ displaystyle mathrm {E} _ {g} (f; N),}$

${ displaystyle mathrm {E} _ {g} (f; N) = {1 over N} sum _ {i} ^ {N} {f (x_ {i})} / g (x_ {i} ).}$

В отклонение новой оценки тогда

${ displaystyle mathrm {Var} _ {g} (f; N) = mathrm {Var} (f / g; N)}$

куда ${ Displaystyle mathrm {Var} (е; N)}$ - дисперсия исходной оценки, ${ displaystyle mathrm {Var} (f; N) = mathrm {E} (f ^ {2}; N) - ( mathrm {E} (f; N)) ^ {2}.}$

Если распределение вероятностей выбрано как ${ displaystyle g = | f | / textstyle int _ { Omega} | f (x) | dx}$ то можно показать, что дисперсия ${ displaystyle mathrm {Var} _ {g} (f; N)}$ обращается в нуль, и ошибка оценки будет равна нулю. На практике невозможно выполнить выборку из точного распределения g для произвольной функции, поэтому алгоритмы выборки по важности нацелены на получение эффективных приближений к желаемому распределению.

Аппроксимация распределения вероятностей

Алгоритм VEGAS приближает точное распределение, делая ряд проходов по области интегрирования, пока гистограмма функция f. Каждая гистограмма используется для определения распределения выборки для следующего прохода. Асимптотически эта процедура сходится к желаемому распределению. Чтобы количество бинов гистограммы не увеличивалось, как ${ displaystyle K ^ {d}}$ с размером d распределение вероятностей аппроксимируется разделимой функцией: ${ displaystyle g (x_ {1}, x_ {2}, ldots) = g_ {1} (x_ {1}) g_ {2} (x_ {2}) cdots}$ так что количество требуемых ящиков только Kd. Это эквивалентно нахождению пиков функции от прогнозы подынтегрального выражения на оси координат. От правильности этого предположения зависит эффективность VEGAS. Это наиболее эффективно, когда пики подынтегрального выражения хорошо локализованы. Если подынтегральное выражение можно переписать в форме, которая приблизительно разделима, это повысит эффективность интеграции с VEGAS.

Смотрите также

• Алгоритм Лас-Вегаса
• Интеграция Монте-Карло
• Выборка по важности

Рекомендации