Тест Ван дер Вардена - Van der Waerden test

Назван в честь голландского математика. Бартель Леендерт ван дер Варден, то Тест Ван дер Вардена это статистический тест который k Функции распределения населения равны. Тест Ван дер Вардена переводит ранги из стандартного Односторонний дисперсионный анализ Краскала-Уоллиса к квантили стандартного нормального распределения (подробности приведены ниже). Они называются нормальными оценками, и тест рассчитывается на основе этих нормальных оценок.

В k Популяционная версия теста является расширением теста для двух популяций, опубликованного Ван дер Варденом (1952,1953).

Фон

Анализ отклонений (ANOVA) - это анализ данных методика исследования значимости факторов (независимые переменные ) в многофакторной модели. Однофакторную модель можно рассматривать как обобщение двухвыборочный t-тест. То есть t-критерий для двух выборок - это проверка гипотезы о равенстве двух средних значений совокупности. Однофакторный дисперсионный анализ ANOVA проверяет гипотезу о том, что k средства населения равны. Стандартный ANOVA предполагает, что ошибки (т. Е. Остатки) равны нормально распределенный. Если это предположение о нормальности неверно, альтернативой является использование непараметрический тест.

Определение теста

Позволять п_j (j = 1, 2, ..., k) представляют размеры выборки для каждого из k группы (т.е. образцы) в данных. Позволять N обозначают размер выборки для всех групп. Позволять Икс_ij представляют я^th ценность в j^th группа. Нормальные баллы рассчитываются как

{displaystyle A_ {ij} = Phi ^ {- 1} left ({frac {R (X_ {ij})} {N + 1}} ight)}

куда р(Икс_ij) обозначает ранг наблюдения Икс_ij и где Φ⁻¹ обозначает нормальный квантильная функция. Среднее значение нормальных оценок для каждой выборки можно затем вычислить как

{displaystyle {ar {A}} _ {j} = {frac {1} {n_ {j}}} sum _ {i = 1} ^ {n_ {j}} A_ {ij} quad j = 1,2, ldots, k}

Дисперсия нормальных оценок может быть вычислена как

{displaystyle s ^ {2} = {frac {1} {N-1}} sum _ {j = 1} ^ {k} sum _ {i = 1} ^ {n_ {j}} A_ {ij} ^ { 2}}

Тогда критерий Ван дер Вардена можно определить следующим образом:

ЧАС₀: Все k функции распределения населения идентичны

ЧАС_а: По крайней мере, одна из популяций имеет тенденцию давать более крупные наблюдения, чем по крайней мере одна из других популяций.

Статистика теста

{displaystyle T_ {1} = {frac {1} {s ^ {2}}} sum _ {j = 1} ^ {k} n_ {j} {ar {A}} _ {j} ^ {2}}

За уровень значимости α критическая область

{displaystyle T_ {1}> chi _ {альфа, k-1} ^ {2}}

где Χ_{а, к - 1}² является α-квантиль из распределение хи-квадрат с k - 1 степень свободы. Нулевая гипотеза отклоняется, если статистика теста находится в критической области. Если гипотеза об идентичных распределениях отвергается, можно выполнить множественные сравнения процедура определения того, какие пары популяций имеют тенденцию различаться. Население j₁ и j₂ кажутся другими, если выполняется следующее неравенство:

{displaystyle leftvert {ar {A}} _ {j_ {1}} - {ar {A}} _ {j_ {2}} ightvert> s, t_ {1-alpha / 2} {sqrt {frac {N-1) -T_ {1}} {Nk}}} {sqrt {{frac {1} {n_ {j_ {1}}}} + {frac {1} {n_ {j_ {2}}}}}}}

с т_{1 - α / 2} (1 - α / 2) -квантиль из t-распределение.

Сравнение с тестом Краскела-Уоллиса

Наиболее распространенным непараметрическим тестом для однофакторной модели является Тест Краскала-Уоллиса. Тест Краскела-Уоллиса основан на ранжировании данных. Преимущество теста Ван дер Вардена состоит в том, что он обеспечивает высокую эффективность стандартного анализа ANOVA, когда предположения нормальности фактически выполняются, но он также обеспечивает надежность теста Краскела-Уоллиса, когда предположения нормальности не выполняются.

Тест Ван дер Вардена - Van der Waerden test

Содержание

Фон

Определение теста

Сравнение с тестом Краскела-Уоллиса

Рекомендации