Полином Вандермонда - Vandermonde polynomial

В алгебра, то Полином Вандермонда упорядоченного набора п переменные ${ Displaystyle X_ {1}, точки, X_ {n}}$ , названный в честь Александр-Теофиль Вандермонд, - многочлен:

{ displaystyle V_ {n} = prod _ {1 leq i

(В некоторых источниках используется обратный порядок ${ displaystyle (X_ {i} -X_ {j})}$ , который меняет знак ${ Displaystyle { binom {п} {2}}}$ раз: таким образом, в некоторых измерениях две формулы совпадают по знаку, в то время как в других они имеют противоположные знаки.)

Его еще называют Определитель Вандермонда, как это детерминант из Матрица Вандермонда.

Значение зависит от порядка слов: это переменный многочлен, а не симметричный многочлен.

Чередование

Определяющим свойством полинома Вандермонда является то, что он чередование в записях, то есть перестановка ${ displaystyle X_ {i}}$ по нечетная перестановка меняет знак, переставляя их на даже перестановка не изменяет значение многочлена - фактически, это основной переменный многочлен, как будет уточнено ниже.

Таким образом, он зависит от порядка и равен нулю, если две записи равны - это также следует из формулы, но также является следствием чередования: если две переменные равны, то переключение их обеих не изменяет значение и инвертирует значение. , уступая ${ displaystyle V_ {n} = - V_ {n},}$ и поэтому ${ displaystyle V_ {n} = 0}$ (при условии, что характеристика не равна 2, в противном случае чередование эквивалентно симметричности).

И наоборот, многочлен Вандермонда является множителем каждого переменного многочлена: как показано выше, переменный многочлен обращается в нуль, если любые две переменные равны, и, следовательно, должен иметь ${ displaystyle (X_ {i} -X_ {j})}$ как фактор для всех ${ displaystyle i neq j}$ .

Чередующиеся многочлены

Таким образом, многочлен Вандермонда (вместе с симметричные многочлены ) генерирует чередующиеся многочлены.

Дискриминантный

Его площадь широко называют дискриминант, хотя некоторые источники называют сам многочлен Вандермонда дискриминантом.

Дискриминант (квадрат полинома Вандермонда: ${ displaystyle Delta = V_ {n} ^ {2}}$ ) не зависит от порядка терминов, так как ${ Displaystyle (-1) ^ {2} = 1}$ , и, таким образом, является инвариантом неупорядоченный набор точек.

Если присоединить полином Вандермонда к кольцу симметрических многочленов от п переменные ${ displaystyle Lambda _ {n}}$ , получаем квадратичное расширение ${ displaystyle Lambda _ {n} [V_ {n}] / langle V_ {n} ^ {2} - Delta rangle}$ , которое является кольцом чередующиеся многочлены.

Многочлен Вандермонда от многочлена

Для данного полинома полином Вандермонда его корней определен над поле расщепления; для немонического многочлена со старшим коэффициентом а, можно определить полином Вандермонда как