Геометрическая конструкция Венноца - Википедия - Viennots geometric construction

В математике Геометрическая конструкция Венно (названный в честь Ксавьера Жерара Вьенно) дает схематическую интерпретацию Переписка Робинсона – Шенстеда с точки зрения теневые линии. Он имеет обобщение на Переписка Робинсона – Шенстеда – Кнута, который известен как матрично-шариковая конструкция.

Конструкция

Начиная с перестановки ${ Displaystyle sigma в S_ {п}}$, записанные в двухстрочной записи, скажем:

${ displaystyle sigma = { begin {pmatrix} 1 & 2 & cdots & n sigma _ {1} & sigma _ {2} & cdots & sigma _ {n} end {pmatrix}},}$

можно применить соответствие Робинсона – Шенстеда к этой перестановке, что дает два стандартные картины Юнга такой же формы, п и Q. п получается путем выполнения последовательности вставок, и Q - таблица записи, показывающая, в каком порядке были заполнены поля.

Строительство Виеннота начинается с нанесения точек ${ Displaystyle (я, sigma _ {я})}$ в плоскости и представляя, что есть свет, который светит из источника, отбрасывая тени прямо вверх и вправо. Это позволяет рассматривать точки, которые не затенены другими точками; затем граница их теней образует первую линию тени. Удаляя эти точки и повторяя процедуру, мы получаем все теневые линии для этой перестановки. Понимание Виеннота состоит в том, что эти теневые линии читают первые ряды п и Q (на самом деле, даже более того: эти теневые линии образуют «временную шкалу», указывающую, какие элементы сформировали первые строки п и Q после последовательных прошивок). Затем можно повторить построение, используя в качестве новых точек предыдущие немаркированные углы, что позволяет считывать другие строки п и Q.

Анимация

Например, рассмотрим перестановку

${ displaystyle sigma = { begin {pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 3 & 8 & 1 & 2 & 4 & 7 & 5 & 6 end {pmatrix}}.}$

Тогда конструкция Венно выглядит следующим образом:

Приложения

Можно использовать геометрическую конструкцию Венно, чтобы доказать, что если ${ displaystyle sigma}$ соответствует паре таблиц п,Q при переписке Робинсона – Шенстеда, то ${ displaystyle sigma ^ {- 1}}$ соответствует переключаемой паре Q,п. Действительно, принимая ${ displaystyle sigma}$ к ${ displaystyle sigma ^ {- 1}}$ отражает конструкцию Венно в ${ displaystyle y = x}$-оси, и это точно переключает роли п и Q.

Смотрите также

• Plactic monoid
• Jeu de Taquin

Рекомендации

• Брюс Э. Саган. Симметричная группа. Спрингер, 2001.