Виртуальный узел - Virtual knot

Вопрос, Web Fundamentals.svgНерешенная проблема в математике:
[Продолжение полинома Джонса на трехмерные многообразия общего вида.] Может ли исходный Многочлен Джонса, которая определена для 1-зацеплений в 3-сфере (3-шар, 3-пространство R3), быть расширена для 1-зацеплений в любом 3-многообразии?
(больше нерешенных задач по математике)

В теория узлов, а виртуальный узел является обобщением узлов в трехмерном Евклидово пространство, р3к узлам на утолщенных поверхностях по модулю отношения эквивалентности, называемого стабилизацией / дестабилизацией. Здесь требуется быть замкнутым и ориентированным. Виртуальные узлы были впервые представлены Кауфман (1999).

Обзор

В теории классических узлов узлы можно рассматривать как классы эквивалентности диаграмм узлов относительно Рейдемейстер движется. Точно так же виртуальный узел можно рассматривать как эквивалент диаграмм виртуальных узлов, которые эквивалентны относительно обобщенных движений Рейдемейстера. Виртуальные узлы допускают существование, например, узлов, коды Гаусса которых не могут существовать в трехмерном пространстве. Евклидово пространство. Диаграмма виртуального узла представляет собой 4-валентный планарный граф, но теперь каждая вершина может быть классическим перекрестком или новым типом, называемым виртуальным. Обобщенные ходы показывают, как манипулировать такими диаграммами, чтобы получить эквивалентную диаграмму; одно движение, называемое полувиртуальным, включает как классические, так и виртуальные пересечения, но все остальные ходы включают только одну разновидность пересечений.

Виртуальные узлы важны, и между ними существует сильная связь. Квантовая теория поля и виртуальные узлы.

Виртуальные узлы сами по себе являются интересными объектами и имеют много связей с другими областями математики. Виртуальные узлы имеют много интересных связей с другими областями теории узлов. Показанная нерешенная проблема является важной мотивацией к изучению виртуальных узлов.

См. Раздел 1.1 этой статьи [KOS][1]за предысторию и историю этой проблемы. Кауфман представил решение в случае многообразия-произведения замкнутой ориентированной поверхности и отрезка, введя виртуальные 1-узлы.[2]В остальных случаях он открыт. Интеграл по путям Виттена для полинома Джонса формально записывается для зацеплений в любом компактном 3-многообразии, но исчисление не выполняется даже на уровне физики в любом случае, кроме 3-сферы (3-шар, 3-пространство R3). Эта проблема также открыта на уровне физики. В случае полинома Александера эта проблема решена.

Классический узел также можно рассматривать как класс эквивалентности Диаграммы Гаусса при определенных ходах, исходящих от ходов Рейдемейстера. Не все диаграммы Гаусса могут быть реализованы как диаграммы узлов, но с учетом все классов эквивалентности диаграмм Гаусса мы получаем виртуальные узлы.

Классический узел можно рассматривать как объемлющий изотопический класс вложений окружности в утолщенную двумерную сферу. Это можно обобщить, рассматривая такие классы вложений в утолщенные поверхности более высокого рода. Это не совсем то, что нам нужно, так как добавление ручки к (толстой) поверхности создаст вложение исходного узла более высокого рода. Добавление ручки называется стабилизацией, а дестабилизация обратного процесса. Таким образом, виртуальный узел можно рассматривать как окружающий изотопия класс вложений окружности в утолщенные поверхности с эквивалентностью (де) стабилизацией.

Некоторые основные теоремы, связывающие классические и виртуальные узлы:

  • Если два классических узла эквивалентны как виртуальные узлы, они эквивалентны как классические узлы.
  • Существует алгоритм, позволяющий определить, является ли виртуальный узел классическим.
  • Существует алгоритм для определения эквивалентности двух виртуальных узлов.

Важно, что существует связь между следующими. См. Статью [KOS], цитируемую выше и ниже.

  • Виртуальная эквивалентность виртуальных 1-узловых диаграмм, которая представляет собой набор виртуальных 1-узлов.
  • Сварная эквивалентность виртуальных 1-узловых диаграмм
  • Ротационная сварка эквивалентности виртуальных схем с 1 узлом
  • Послойная эквивалентность виртуальных 1-узловых диаграмм

Также определены виртуальные 2-узлы. См. Статью, процитированную выше.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Кауфман, L.H; Огаса, Э; Шнайдер, J (2018), Вращающаяся конструкция для виртуальных 1-узлов и 2-узлов, а также послойная и сварная эквивалентность виртуальных 1-узлов, arXiv:1808.03023
  2. ^ Кауфман, Л. (1998), Обсуждения на встрече ИИГС в январе 1997 г., Встреча AMS в Университете Мэриленда, Колледж-Парк в марте 1997 г., Лекция в Институте Исаака Ньютона в ноябре 1997 г., Встреча Узлов в Элладе в Дельфи, Греция в июле 1998 г., Симпозиум APCTP-NANKAI по системам Янга-Бакстера , «Нелинейные модели и приложения» в Сеуле, Корея, в октябре 1998 г., и цитируемая ниже статья Кауфмана 1999 г., arXiv:математика / 9811028
  • Боден, Ганс; Нагель, Маттиас (2017). «Группа согласования виртуальных узлов». Proc. Амер. Математика. Soc. 145 (12): 5451–5461. Дои:10.1090 / proc / 13667. S2CID  119139769.
  • Картер, Дж. Скотт; Камада, Сейичи; Сайто, Масахико (2002). «Стабильная эквивалентность узлов на поверхностях и кобордизмов виртуальных узлов. Узлы 2000 Корея, Том 1 (Йонгпён)». J. Разветвления теории узлов. 11 (3): 311–322.
  • Картер, Дж. Скотт; Сильвер, Дэниел; Уильямс, Сьюзен (2014). «Инварианты зацеплений в утолщенных поверхностях». Alg. Геом. Топология. 14 (3): 1377–1394. Дои:10.2140 / agt.2014.14.1377. S2CID  53137201.
  • Краска, вереск А (2016). Приглашение к теории узлов: виртуальное и классическое (Первое изд.). Чепмен и Холл / CRC. ISBN  9781315370750.
  • Гусаров Михаил; Поляк, Михаил; Виро, Олег (2000). «Инварианты конечного типа классических и виртуальных узлов». Топология. 39 (5): 1045–1068. Дои:10.1016 / S0040-9383 (99) 00054-3. S2CID  8871411.
  • Камада, Наоко; Камда, Сейичи (2000). «Абстрактные схемы связей и виртуальные узлы». J. Разветвления по теории узлов. 9 (1): 93–106. Дои:10.1142 / S0218216500000049.
  • Кауфман, Луи Х. (1999). «Теория виртуальных узлов» (PDF). Европейский журнал комбинаторики. 20 (7): 663–690. Дои:10.1006 / eujc.1999.0314. ISSN  0195-6698. МИСТЕР  1721925. S2CID  5993431.CS1 maint: ref = harv (связь)
  • Кауфман, Луи Х .; Мантуров, Василий Олегович (2005). «Виртуальные узлы и ссылки». arXiv:math.GT/0502014.
  • Куперберг, Грег (2003). «Что такое виртуальная ссылка?». Alg. Геом. Топология. 3: 587–591. Дои:10.2140 / agt.2003.3.587. S2CID  16803280.
  • Мантуров, Василий (2004). Теория узлов. CRC Press. ISBN  978-0-415-31001-7.
  • Мантуров, Василий Олегович (2004). «Виртуальные узлы и бесконечномерные алгебры Ли». Acta Applicande Mathematica. 83 (3): 221–233. Дои:10.1023 / B: ACAP.0000038944.29820.5e. S2CID  124019548.
  • Тураев, Владимир (2008). «Кобордизм узлов на поверхностях». Топология. 1 (2): 285–305. arXiv:математика / 0703055. Дои:10.1112 / jtopol / jtn002. S2CID  17888102.</ref>

внешняя ссылка