Неравенство фон Неймана - Википедия - Von Neumanns inequality

В теория операторов, неравенство фон Неймана, из-за Джон фон Нейман, утверждает, что при фиксированном сжатии Т, то полиномиальное функциональное исчисление карта сама по себе является сокращением.

Официальное заявление

Для сокращение Т действуя на Гильбертово пространство и многочлен п, то норма п(Т) ограничен супремум из |п(z) | за z в единичный диск."^[1]

Доказательство

Неравенство можно доказать, рассматривая унитарное расширение из Т, для которого неравенство очевидно.

Обобщения

Это неравенство является частным случаем гипотезы Мацаева. То есть для любого полинома п и сокращение Т на ${ Displaystyle L ^ {p}}$

${ Displaystyle || P (T) || _ {L ^ {p} к L ^ {p}} leq || P (S) || _ { ell ^ {p} to ell ^ { п}}}$

куда S - оператор сдвига вправо. Неравенство фон Неймана доказывает это для ${ displaystyle p = 2}$ и для ${ displaystyle p = 1}$ и ${ displaystyle p = infty}$ это правда, по прямым подсчетам. С.В. В 2011 году Друри показал, что в общем случае эта гипотеза не выполняется.^[2]

Рекомендации