Модульная функция Weber - Weber modular function

В математика, то Модульные функции Weber семья из трех человек модульные функции ж, ж₁, и ж₂, изученный Генрих Мартин Вебер.

Определение

Позволять ${ Displaystyle д = е ^ {2 пи я тау}}$ куда τ является элементом верхняя полуплоскость.

{ displaystyle { begin {align} { mathfrak {f}} ( tau) & = q ^ {- { frac {1} {48}}} prod _ {n> 0} (1 + q ^ {n - { frac {1} {2}}}) = e ^ {- { frac { pi { rm {i}}} {24}}} { frac { eta { big (}} { frac { tau +1} {2}} { big)}} { eta ( tau)}} = { frac { eta ^ {2} ( tau)} { eta { big (} { tfrac { tau} {2}} { big)} eta (2 tau)}} { mathfrak {f}} _ {1} ( tau) & = q ^ {- { frac {1} {48}}} prod _ {n> 0} (1-q ^ {n - { frac {1} {2}}}) = { frac { eta { big ( } { tfrac { tau} {2}} { big)}} { eta ( tau)}} { mathfrak {f}} _ {2} ( tau) & = { sqrt { 2}} , q ^ { frac {1} {24}} prod _ {n> 0} (1 + q ^ {n}) = { frac {{ sqrt {2}} , eta (2 тау)} { eta ( тау)}} конец {выровнено}}}

куда ${ Displaystyle эта ( тау)}$ это Функция Дедекинда эта. Обратите внимание на описания как ${ displaystyle eta}$ частные сразу подразумевают

{ displaystyle { mathfrak {f}} ( tau) { mathfrak {f}} _ {1} ( tau) { mathfrak {f}} _ {2} ( tau) = { sqrt {2 }}.}

Преобразование τ → –1/τ исправления ж и обмены ж₁ и ж₂. Итак, трехмерное комплексное векторное пространство с базисом ж, ж₁ и ж₂ действует группа SL₂(Z).

Связь с тета-функциями

Пусть аргумент Тета-функция Якоби быть ном ${ Displaystyle д = е ^ { пи я тау}}$ . Потом,

{ displaystyle { begin {align} { mathfrak {f}} ( tau) & = { sqrt { frac { theta _ {3} (0, q)} { eta ( tau)}} } { mathfrak {f}} _ {1} ( tau) & = { sqrt { frac { theta _ {4} (0, q)} { eta ( tau)}}} { mathfrak {f}} _ {2} ( tau) & = { sqrt { frac { theta _ {2} (0, q)} { eta ( tau)}}} конец {выровнен}}}

Используя известную идентичность,

{ displaystyle theta _ {2} (0, q) ^ {4} + theta _ {4} (0, q) ^ {4} = theta _ {3} (0, q) ^ {4} }

таким образом,

{ Displaystyle { mathfrak {f}} _ {1} ( tau) ^ {8} + { mathfrak {f}} _ {2} ( tau) ^ {8} = { mathfrak {f}} ( тау) ^ {8}}

Отношение к j-функции

Три корня кубическое уравнение,

{ Displaystyle J ( тау) = { гидроразрыва {(x-16) ^ {3}} {x}}}

куда j(τ) это j-функция даны ${ displaystyle x_ {i} = { mathfrak {f}} ( tau) ^ {24}, - { mathfrak {f}} _ {1} ( tau) ^ {24}, - { mathfrak { f}} _ {2} ( тау) ^ {24}}$ . Кроме того, поскольку,