Нестабильность Вейбеля - Weibel instability

В Нестабильность Вейбеля это неустойчивость плазмы присутствует в однородном или почти однородном электромагнитном плазма обладающие анизотропией в импульсном (скоростном) пространстве. Под этой анизотропией обычно понимают две температуры в разных направлениях. Бертон Фрид показал, что эту неустойчивость проще понять как суперпозицию множества встречных лучей. В этом смысле это похоже на двухпотоковую неустойчивость, за исключением того, что возмущения являются электромагнитными и приводят к филаментации, а не к электростатическим возмущениям, которые могут привести к группировке зарядов. В линейном пределе неустойчивость вызывает экспоненциальный рост электромагнитных полей в плазме, которые помогают восстановить изотропию импульсного пространства. В очень крайних случаях неустойчивость Вейбеля связана с одно- или двумерной нестабильность потока.

Рассмотрим электронно-ионную плазму, в которой ионы зафиксированы, а электроны более горячие в направлении y, чем в направлении x или z.

Чтобы увидеть, как будет расти возмущение магнитного поля, предположим, что поле B = B cos kx спонтанно возникает из-за шума. В Сила Лоренца затем изгибает электронные траектории, в результате чего движущиеся вверх электроны-ev x B собираются в точке B, а движущиеся вниз - в точке A. Результирующие токи j = -en ve листов создают магнитное поле, которое усиливает исходное поле и, таким образом, возмущение растет.

Неустойчивость Вейбеля также обычна в астрофизической плазме, например, образование бесстолкновительной ударной волны в остатках сверхновой и ${displaystyle gamma}$-лучевые всплески.

Простой пример неустойчивости Вейбеля

В качестве простого примера неустойчивости Вейбеля рассмотрим пучок электронов с плотностью ${displaystyle n_ {b0}}$ и начальная скорость ${displaystyle v_ {0} mathbf {z}}$ распространяется в плазме плотности ${displaystyle n_ {p0} = n_ {b0}}$ со скоростью ${displaystyle -v_ {0} mathbf {z}}$. Приведенный ниже анализ покажет, как электромагнитное возмущение в виде плоской волны вызывает неустойчивость Вейбеля в этой простой анизотропной плазменной системе. Мы предполагаем для простоты нерелятивистскую плазму.

Мы предполагаем отсутствие фонового электрического или магнитного поля, т.е. ${displaystyle mathbf {B_ {0}} = mathbf {E_ {0}} = 0}$. Возмущение примем за электромагнитную волну, распространяющуюся вдоль ${displaystyle mathbf {шляпа {x}}}$ т.е. ${displaystyle mathbf {k} = kmathbf {hat {x}}}$. Предположим, что электрическое поле имеет вид

${displaystyle mathbf {E_ {1}} = Ae ^ {i (kx-omega t)} mathbf {z}}$

Принимая во внимание пространственную и временную зависимость, мы можем использовать ${displaystyle {frac {partial} {partial t}} ightarrow -iomega}$ и ${displaystyle abla ightarrow ikmathbf {шляпа {x}}}$. Из закона Фарадея можно получить возмущающее магнитное поле

${displaystyle abla imes mathbf {E_ {1}} = - {frac {partial mathbf {B_ {1}}} {partial t}} Rightarrow imathbf {k} imes mathbf {E_ {1}} = iomega mathbf {B_ {1 }} Rightarrow mathbf {B_ {1}} = mathbf {hat {y}} {frac {k} {omega}} E_ {1}}$

Рассмотрим электронный луч. Предполагая малые возмущения, мы линеаризуем скорость ${displaystyle mathbf {v_ {b}} = mathbf {v_ {b0}} + mathbf {v_ {b1}}}$ и плотность ${displaystyle n_ {b} = n_ {b0} + n_ {b1}}$. Цель - найти плотность тока возмущающего электронного пучка

${displaystyle mathbf {J_ {b1}} = -en_ {b} mathbf {v_ {b}} = -en_ {b0} mathbf {v_ {b1}} -en_ {b1} mathbf {v_ {b0}}}$

где члены второго порядка не учитывались. Для этого мы начнем с уравнения движения жидкости для электронного пучка

${displaystyle m ({frac {partial mathbf {v_ {b}}} {partial t}} + (mathbf {v_ {b}} cdot abla) mathbf {v_ {b}}) = - emathbf {E} -emathbf { v_ {b}} imes mathbf {B}}$

который можно упростить, отметив, что ${displaystyle {frac {partial mathbf {v_ {b0}}} {partial t}} = abla cdot mathbf {v_ {b0}} = 0}$ и пренебрегая условиями второго порядка. В предположении плоской волны для производных уравнение импульса принимает вид

${displaystyle -iomega mmathbf {v_ {b1}} = -emathbf {E_ {1}} -emathbf {v_ {b0}} imes mathbf {B_ {1}}}$

Мы можем разложить приведенные выше уравнения на компоненты, обращая внимание на перекрестное произведение справа, и получить ненулевые компоненты возмущения скорости луча:

${displaystyle v_ {b1z} = {frac {eE_ {1}} {miomega}}}$

${displaystyle v_ {b1x} = {frac {eE_ {1}} {miomega}} {frac {kv_ {b0}} {omega}}}$

Чтобы найти плотность возмущения ${displaystyle n_ {b1}}$, воспользуемся уравнением неразрывности жидкости для электронного пучка

${displaystyle {frac {partial n_ {b}} {partial t}} + abla cdot (n_ {b} mathbf {v_ {b}}) = 0}$

который снова можно упростить, отметив, что ${displaystyle {frac {partial n_ {b0}} {partial t}} = abla n_ {b0} = 0}$ и пренебрегая условиями второго порядка. Результат

${displaystyle n_ {b1} = n_ {b0} {frac {k} {omega}} v_ {b1x}}$

Используя эти результаты, мы можем использовать уравнение для плотности тока возмущения пучка, приведенное выше, чтобы найти

${displaystyle J_ {b1x} = - n_ {b0} e ^ {2} E_ {1} {frac {kv_ {b0}} {imomega ^ {2}}}}$

${displaystyle J_ {b1z} = - n_ {b0} e ^ {2} E_ {1} {frac {1} {imomega}} (1+ {frac {k ^ {2} v_ {b0} ^ {2}}) {омега ^ {2}}})}$

Аналогичные выражения можно записать для плотности тока возмущения леводвижущейся плазмы. Отметив, что x-компонента плотности тока возмущения пропорциональна ${displaystyle v_ {0}}$, мы видим, что с нашими допущениями для невозмущенных плотностей и скоростей пучка и плазмы x-компонента чистой плотности тока будет равна нулю, тогда как z-компоненты, которые пропорциональны ${displaystyle v_ {0} ^ {2}}$, добавлю. Таким образом, чистое возмущение плотности тока равно

${displaystyle mathbf {J_ {1}} = -2n_ {b0} e ^ {2} E_ {1} {frac {1} {imomega}} (1+ {frac {k ^ {2} v_ {b0} ^ { 2}} {омега ^ {2}}}) mathbf {шляпа {z}}}$

Теперь дисперсионное соотношение можно найти из уравнений Максвелла:

${displaystyle abla imes mathbf {E_ {1}} = iomega mathbf {B_ {1}}}$

${displaystyle abla imes mathbf {B_ {1}} = mu _ {0} mathbf {J_ {1}} -iomega epsilon _ {0} mu _ {0} mathbf {E_ {1}}}$

${displaystyle Rightarrow abla imes abla imes mathbf {E_ {1}} = -abla ^ {2} mathbf {E_ {1}} + abla (abla cdot mathbf {E_ {1}}) = k ^ {2} mathbf {E_ {1}} + imathbf {k} (imathbf {k} cdot mathbf {E_ {1}}) = k ^ {2} mathbf {E_ {1}} = iomega abla imes mathbf {B_ {1}} = {frac {iomega} {c ^ {2} epsilon _ {0}}} mathbf {J_ {1}} + {frac {omega ^ {2}} {c ^ {2}}} mathbf {E_ {1}}}$

куда ${displaystyle c = {frac {1} {sqrt {epsilon _ {0} mu _ {0}}}}}$ это скорость света в свободном пространстве. Определив эффективную плазменную частоту ${displaystyle omega _ {p} ^ {2} = {frac {2n_ {b0} e ^ {2}} {epsilon _ {0} m}}}$, приведенное выше уравнение приводит к

${displaystyle k ^ {2} - {frac {omega ^ {2}} {c ^ {2}}} = - {frac {omega _ {p} ^ {2}} {c ^ {2}}} (1 + {frac {k ^ {2} v_ {0} ^ {2}} {omega ^ {2}}}) Rightarrow omega ^ {4} -omega ^ {2} (omega _ {p} ^ {2} + k ^ {2} c ^ {2}) - омега _ {p} ^ {2} k ^ {2} v_ {0} ^ {2} = 0}$

Это биквадратичное уравнение легко решить и получить дисперсионное соотношение

${displaystyle omega ^ {2} = {frac {1} {2}} (omega _ {p} ^ {2} + k ^ {2} c ^ {2} pm {sqrt {(omega _ {p} ^ { 2} + k ^ {2} c ^ {2}) ^ {2} + 4omega _ {p} ^ {2} k ^ {2} v_ {0} ^ {2}}})}$

В поисках нестабильности мы ищем ${displaystyle Im (omega) eq 0}$ (${displaystyle k}$ считается действительным). Следовательно, мы должны выбрать дисперсионное соотношение / режим, соответствующий знаку минус в приведенном выше уравнении.

Чтобы получить более полное представление о нестабильности, полезно использовать наше нерелятивистское предположение. ${displaystyle v_ {0} << c}$ чтобы упростить выражение квадратного корня, отметив, что

${displaystyle {sqrt {(omega _ {p} ^ {2} + k ^ {2} c ^ {2}) ^ {2} + 4omega _ {p} ^ {2} k ^ {2} v_ {0} ^ {2}}} = (омега _ {p} ^ {2} + k ^ {2} c ^ {2}) (1+ {frac {4omega _ {p} ^ {2} k ^ {2} v_ {0} ^ {2}} {(омега _ {p} ^ {2} + k ^ {2} c ^ {2}) ^ {2}}}) ^ {1/2} приблизительно (омега _ {p } ^ {2} + k ^ {2} c ^ {2}) (1+ {frac {2omega _ {p} ^ {2} k ^ {2} v_ {0} ^ {2}} {(omega _ {p} ^ {2} + k ^ {2} c ^ {2}) ^ {2}}})}$

Получающееся в результате дисперсионное соотношение намного проще

${displaystyle omega ^ {2} = {frac {-omega _ {p} ^ {2} k ^ {2} v_ {0} ^ {2}} {omega _ {p} ^ {2} + k ^ {2) } c ^ {2}}} <0}$

${displaystyle omega}$ чисто мнимое. Письмо ${displaystyle omega = igamma}$

${displaystyle gamma = {frac {omega _ {p} kv_ {0}} {(omega _ {p} ^ {2} + k ^ {2} c ^ {2}) ^ {1/2}}} = омега _ {p} {frac {v_ {0}} {c}} {frac {1} {(1+ {frac {omega _ {p} ^ {2}} {k ^ {2} c ^ {2}}) }) ^ {1/2}}}}$

Мы видим, что ${displaystyle Im (омега)> 0}$, что действительно соответствует нестабильности.

Электромагнитные поля тогда имеют вид

${displaystyle mathbf {E_ {1}} = Amathbf {hat {z}} e ^ {gamma t} e ^ {ikx}}$

${displaystyle mathbf {B_ {1}} = mathbf {hat {y}} {frac {k} {omega}} E_ {1} = mathbf {hat {y}} {frac {k} {igamma}} Ae ^ { гамма t} e ^ {ikx}}$

Следовательно, электрическое и магнитное поля равны ${displaystyle 90 ^ {o}}$ не в фазе, и отметив, что

${displaystyle {frac {| B_ {1} |} {| E_ {1} |}} = {frac {k} {gamma}} propto {frac {c} {v_ {0}}} >> 1}$

Итак, мы видим, что это главным образом магнитное возмущение, хотя электрическое возмущение ненулевое. Рост магнитного поля приводит к характерной филаментационной структуре неустойчивости Вейбеля. Насыщение произойдет, когда скорость роста ${displaystyle gamma}$ порядка электронной циклотронной частоты

${displaystyle gamma sim omega _ {p} {frac {v_ {0}} {c}} sim omega _ {c} Rightarrow Bsim {frac {m} {e}} omega _ {p} {frac {v_ {0} } {c}}}$

Рекомендации

• Вейбель, Эрих С. ​​(1959-02-01). «Спонтанно растущие поперечные волны в плазме из-за анизотропного распределения скоростей». Письма с физическими проверками. Американское физическое общество (APS). 2 (3): 83–84. Дои:10.1103 / Physrevlett.2.83. ISSN  0031-9007.
• Фрид, Бертон Д. (1959). «Механизм неустойчивости поперечных плазменных волн». Физика жидкостей. Издательство AIP. 2 (3): 337. Дои:10.1063/1.1705933. ISSN  0031-9171.
• Лекция [1]

Смотрите также

• Хромо-Вейбелевская нестабильность