В теории специальные функции, Превращение Уиппла за Функции Лежандра, названный в честь Фрэнсис Джон Уэлш Уиппл, возникают из общего выражения, касающегося связанные функции Лежандра. Эти формулы были представлены ранее с точки зрения сферические гармоники, теперь, когда мы рассматриваем уравнения в терминах тороидальные координаты возникают совершенно новые симметрии функций Лежандра.
Для ассоциированных функций Лежандра первого и второго рода
и
Эти выражения действительны для всех параметров 
и 
. Сдвигая комплексную степень и порядок соответствующим образом, мы получаем формулы Уиппла для общей комплексной перестановки индексов общих ассоциированных функций Лежандра первого и второго рода. Они даны
![P_ {u-frac12} ^ mu (z) = frac {sqrt {2} Gamma (mu-u + frac12)} {pi ^ {3/2} (z ^ 2-1) ^ {1/4}} iggl [
pisinmupi P_ {mu-frac12} ^ u iggl (frac {z} {sqrt {z ^ 2-1}} iggr) + cospi (u + mu) e ^ {- iupi} Q_ {mu-frac12} ^ u iggl ( гидроразрыв {z} {sqrt {z ^ 2-1}} iggr) iggr]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/429958c99a3334c71012ceda88a6bef38923e8e5)
и
![Q_ {u-frac12} ^ mu (z) = frac {e ^ {imupi} Гамма (mu-u + frac12) (pi / 2) ^ {1/2}} {(z ^ 2-1) ^ {1 / 4}} iggl [
P_ {mu-frac12} ^ u iggl (frac {z} {sqrt {z ^ 2-1}} iggr) -frac {2} {pi} e ^ {- iupi} sinupi Q_ {mu-frac12} ^ u iggl (frac {z} {sqrt {z ^ 2-1}} iggr) iggr].](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af0fa5d84cbd9e918c441871a158bd46df1574a4)
Обратите внимание, что эти формулы хорошо работают для всех значений степени и порядка, за исключением тех, которые имеют целочисленные значения. Однако, если мы рассмотрим эти формулы для тороидальных гармоник, то есть где степень полуцелая, порядок целочисленный, а аргумент положительный и больше единицы, получим
и
.
Это формулы Уиппла для тороидальных гармоник. Они показывают важное свойство тороидальных гармоник при изменении индекса (целые числа, связанные с порядком и степенью).
внешняя ссылка
Рекомендации
