Масштабирование Widom - Widom scaling

Масштабирование Widom (после Бенджамин Видом ) является гипотезой в статистическая механика взяв во внимание свободная энергия из магнитная система рядом с его критическая точка что приводит к критические показатели перестают быть независимыми, так что их можно параметризовать двумя значениями. Можно видеть, что гипотеза возникает как естественное следствие процедуры перенормировки спинового блока, когда размер блока выбирается таким же, как длина корреляции.^[1]

Масштабирование Widom - это пример универсальность.

Определения

Критические показатели ${displaystyle alpha, alpha ', eta, gamma, gamma'}$ и ${displaystyle delta}$ определяются в терминах поведения параметров порядка и функций отклика вблизи критической точки следующим образом

${displaystyle M (t, 0) simeq (-t) ^ {eta}}$, за ${displaystyle tuparrow 0}$

${displaystyle M (0, H) simeq | H | ^ {1 / delta} mathrm {sign} (H)}$, за ${displaystyle Hightarrow 0}$

${displaystyle chi _ {T} (t, 0) simeq {egin {cases} (t) ^ {- gamma}, & {extrm {for}} tdownarrow 0 (- t) ^ {- gamma '}, & { extrm {for}} tuparrow 0end {case}}}$

${displaystyle c_ {H} (t, 0) simeq {egin {cases} (t) ^ {- alpha} & {extrm {for}} tdownarrow 0 (- t) ^ {- alpha '} & {extrm {for }} tuparrow 0end {case}}}$

куда

${displaystyle tequiv {frac {T-T_ {c}} {T_ {c}}}}$ измеряет температуру относительно критической точки.

Вблизи критической точки соотношение масштабирования Видома выглядит следующим образом:

${displaystyle H (t) simeq M | M | ^ {delta -1} f (t / | M | ^ {1 / eta})}$.

куда ${displaystyle f}$ имеет расширение

${displaystyle f (t / | M | ^ {1 / eta}) примерно 1+ {m {const}} раз (t / | M | ^ {1 / eta}) ^ {omega} + точки}$,

с ${displaystyle omega}$показатель Вегнера, определяющий подход к масштабированию.

Вывод

Гипотеза скейлинга состоит в том, что вблизи критической точки свободная энергия ${displaystyle f (t, H)}$, в ${displaystyle d}$ размеры, можно записать как сумму медленно меняющейся регулярной части ${displaystyle f_ {r}}$ и особая часть ${displaystyle f_ {s}}$, причем особая часть является масштабной функцией, т. е. однородная функция, так что

${displaystyle f_ {s} (лямбда ^ {p} t, лямбда ^ {q} H) = лямбда ^ {d} f_ {s} (t, H),}$

Затем взяв частная производная относительно ЧАС и форма М (т, Н) дает

${displaystyle лямбда ^ {q} M (лямбда ^ {p} t, лямбда ^ {q} H) = лямбда ^ {d} M (t, H),}$

Параметр ${displaystyle H = 0}$ и ${displaystyle lambda = (- t) ^ {- 1 / p}}$ в предыдущем уравнении дает

${displaystyle M (t, 0) = (- t) ^ {гидроразрыв {d-q} {p}} M (-1,0),}$ за ${displaystyle tuparrow 0}$

Сравнивая это с определением ${displaystyle eta}$ дает свою ценность,

${displaystyle eta = {frac {d-q} {p}} Equiv {frac {u} {2}} (d-2 + eta).}$

Аналогично, положив ${displaystyle t = 0}$ и ${displaystyle lambda = H ^ {- 1 / q}}$ в масштабное соотношение для M дает

${displaystyle delta = {frac {q} {d-q}} Equiv {frac {d + 2-eta} {d-2 + eta}}.}$

Следовательно

${displaystyle {frac {q} {p}} = {frac {u} {2}} (d + 2-eta), ~ {frac {1} {p}} = u.}$

Применяя выражение для изотермическая восприимчивость ${displaystyle chi _ {T}}$ с точки зрения M к соотношению масштабирования дает

${displaystyle lambda ^ {2q} chi _ {T} (lambda ^ {p} t, lambda ^ {q} H) = lambda ^ {d} chi _ {T} (t, H),}$

Параметр H = 0 и ${displaystyle lambda = (t) ^ {- 1 / p}}$ за ${displaystyle tdownarrow 0}$ (соотв. ${displaystyle lambda = (- t) ^ {- 1 / p}}$ за ${displaystyle tuparrow 0}$) дает

${displaystyle gamma = gamma '= {frac {2q-d} {p}},}$

Аналогично для выражения для удельная теплоемкость ${displaystyle c_ {H}}$ с точки зрения M к соотношению масштабирования дает

${displaystyle лямбда ^ {2p} c_ {H} (лямбда ^ {p} t, лямбда ^ {q} H) = лямбда ^ {d} c_ {H} (t, H),}$

Принимая H = 0 и ${displaystyle lambda = (t) ^ {- 1 / p}}$ за ${displaystyle tdownarrow 0}$ (или же ${displaystyle lambda = (- t) ^ {- 1 / p}}$ за ${displaystyle tuparrow 0)}$ дает

${displaystyle alpha = alpha '= 2- {frac {d} {p}} = 2-u d}$

Вследствие масштабирования Видома не все критические показатели независимы, но их можно параметризовать двумя числами. ${displaystyle p, qin mathbb {R}}$ с отношениями, выраженными как

${displaystyle alpha = alpha '= 2-u d,}$

${displaystyle gamma = gamma '= eta (delta -1) = u (2-eta).}$

Соотношения хорошо проверены экспериментально для магнитных систем и жидкостей.

Рекомендации

• Х. Э. Стэнли, Введение в фазовые переходы и критические явления
• Х. Кляйнерт и В. Шульте-Фролинде, Критические свойства φ⁴-Теории, World Scientific (Сингапур, 2001 г.); Мягкая обложка ISBN  981-02-4658-7 (также доступны онлайн )