Теорема Винера – Икехары - Wiener–Ikehara theorem

В Теорема Винера – Икехары это Тауберова теорема представлен Шикао Икехара (1931 ). Это следует из Тауберова теорема Винера, и может использоваться для доказательства теорема о простых числах (PNT) (Чандрасекхаран, 1969).

Заявление

Позволять А(Икс) быть неотрицательным, монотонный неубывающая функция Икс, определенный для 0 ≤Икс <∞. Предположим, что

{displaystyle f (s) = int _ {0} ^ {infty} A (x) e ^ {- xs}, dx}

сходится при ℜ (s)> 1 к функции ƒ(s) и что для некоторого неотрицательного числа c,

{displaystyle f (s) - {frac {c} {s-1}}}

имеет расширение как непрерывная функция для ℜ (s) ≥ 1, тогда предел в качестве Икс уходит в бесконечность е^−Икс А(Икс) равно c.

Одно конкретное приложение

Важное теоретико-числовое приложение теоремы: Серия Дирихле формы

{displaystyle sum _ {n = 1} ^ {infty} a (n) n ^ {- s}}

куда а(п) неотрицательно. Если ряд сходится к аналитической функции в

{displaystyle Re (s) geq b}

с простым полюсом вычета c в s = б, тогда

{displaystyle sum _ {nleq X} a (n) sim {frac {c} {b}} X ^ {b}.}

Применяя это к логарифмической производной от Дзета-функция Римана, где коэффициенты ряда Дирихле являются значениями функция фон Мангольдта, можно вывести PNT из того факта, что дзета-функция не имеет нулей на линии

{displaystyle Re (s) = 1.}

Теорема Винера – Икехары - Wiener–Ikehara theorem

Заявление

Одно конкретное приложение

Рекомендации