Рентгеновская отражательная способность - X-ray reflectivity

Рентгеновская отражательная способность (иногда известный как Зеркальное отражение рентгеновских лучей, Рентгеновская рефлектометрия, или же XRR) - это поверхностно-чувствительный аналитический метод, используемый в химия, физика, и материаловедение охарактеризовать поверхности, тонкие пленки и многослойность.^[1][2][3][4] Это форма рефлектометрия на основе использования Рентгеновские лучи и относится к методам нейтронная рефлектометрия и эллипсометрия.

Схема зеркального отражения рентгеновских лучей

Основной принцип отражательной способности рентгеновских лучей состоит в том, чтобы отражать луч рентгеновских лучей от плоской поверхности и затем измерять интенсивность рентгеновских лучей, отраженных в зеркальном направлении (угол отражения равен углу падения). Если граница раздела не является идеально четкой и гладкой, то отраженная интенсивность будет отклоняться от той, которая предсказывается законом Отражательная способность Френеля. Затем отклонения могут быть проанализированы для получения профиля плотности границы раздела, перпендикулярного поверхности.

История

Впервые этот метод был применен к рентгеновским лучам Лайман Дж. Парратт в 1954 г.^[5] Первоначальная работа Парратта была посвящена исследованию поверхности стекла с медным покрытием, но с тех пор этот метод был расширен на широкий спектр границ раздела между твердыми и жидкостями.

Приближение

Когда граница раздела не идеально резкая, но имеет средний профиль электронной плотности, определяемый формулой ${displaystyle ho _ {e} (z)}$, то коэффициент отражения рентгеновских лучей можно аппроксимировать следующим образом:^[2]:83

${displaystyle R (Q) / R_ {F} (Q) = left | {frac {1} {ho _ {infty}}} {int limits _ {- infty} ^ {infty} {e ^ {iQz} left ( {frac {dho _ {e}} {dz}} ight) dz}} ight | ^ {2}}$

Здесь ${displaystyle R (Q)}$ отражательная способность, ${displaystyle Q = 4pi sin (heta) / lambda}$, ${displaystyle lambda}$ - длина волны рентгеновского излучения (обычно меди К-альфа пик при 0,154056 нм), ${displaystyle ho _ {infty}}$ это плотность глубоко внутри материала и ${displaystyle heta}$ - угол падения. Ниже критического угла ${displaystyle Q$ (происходит от Закон Снеллиуса ) Отражается 100% падающего излучения, ${displaystyle R = 1}$. За ${displaystyle Qgg Q_ {c}}$, ${displaystyle Rsim Q ^ {- 4}}$. Обычно затем можно использовать эту формулу для сравнения параметризованных моделей профиля средней плотности в z-направлении с измеренной отражательной способностью рентгеновских лучей, а затем изменять параметры до тех пор, пока теоретический профиль не совпадет с измерением.

Колебания

Для многослойных пленок коэффициент отражения рентгеновских лучей может показывать колебания с Q (угол / длина волны), аналогично Эффект Фабри-Перо, здесь называется Киссиг бахрома.^[6] Период этих колебаний может быть использован для определения толщины слоев, межслоевых шероховатостей, электронной плотности и их контрасты, и сложный показатели преломления (которые зависят от атомный номер и атомарный форм-фактор ), например, используя Матричный формализм Абелеса или рекурсивный формализм Парратта следующим образом:

${displaystyle X_ {j} = {frac {R_ {j}} {T_ {j}}} = {frac {r_ {j, j + 1} + X_ {j + 1} e ^ {2ik_ {j + 1, z} d_ {j}}} {1 + r_ {j, j + 1} X_ {j + 1} e ^ {2ik_ {j + 1, z} d_ {j}}}} e ^ {- 2ik_ {j , z} d_ {j}}}$

где X_j - отношение амплитуд отраженных и прошедших слоев j и j + 1, d_j - толщина слоя j, а r_{j, j + 1} это Коэффициент Френеля для слоев j и j + 1

${displaystyle r_ {j, j + 1} = {frac {k_ {j, z} -k_ {j + 1, z}} {k_ {j, z} + k_ {j + 1, z}}}}$

где k_{j, z} z-компонента волновое число. Для зеркального отражения, когда углы падения и отражения равны, Q, использованное ранее, в два раза больше k_z потому что ${displaystyle Q = k_ {инцидент} + k_ {отражение}}$. С условиями R_{N + 1} = 0 и T₁ = 1 для системы с N-интерфейсом (т.е. ничего не возвращается изнутри полубесконечной подложки и падающей волны единичной амплитуды), все X_j можно рассчитать последовательно. Шероховатость также можно учесть, добавив коэффициент

${displaystyle r_ {j, j + 1, грубый} = r_ {j, j + 1, ideal} e ^ {- 2k_ {j, z} k_ {j + 1, z} sigma _ {j} ^ {2} }}$

куда ${displaystyle sigma}$ стандартное отклонение (или шероховатость).

Толщина тонкой пленки и критический угол также могут быть аппроксимированы линейной аппроксимацией квадрата угла падения пиков. ${displaystyle heta ^ {2}}$ в рад² против безразмерного квадрата пикового числа ${displaystyle N ^ {2}}$ следующее:

${displaystyle heta ^ {2} = ({frac {lambda} {2d}}) ^ {2} N ^ {2} + heta _ {c} ^ {2}}$.

Подгонка кривой

Измерения отражательной способности рентгеновских лучей анализируются путем подгонки к измеренным данным смоделированной кривой, рассчитанной с использованием рекурсивного формализма Парратта в сочетании с приблизительной формулой интерфейса. Подгоночные параметры обычно представляют собой толщину слоя, плотности (от которых показатель преломления ${displaystyle n}$ и в конечном итоге z-компонента волнового вектора ${displaystyle k_ {j, z}}$ рассчитано) и межфазных шероховатостей. Измерения обычно нормализуются, так что максимальная отражательная способность равна 1, но коэффициент нормализации также может быть включен в подгонку. Дополнительными параметрами подгонки могут быть уровень фонового излучения и ограниченный размер образца, из-за которого след луча при малых углах может превышать размер образца, что снижает отражательную способность.

Было предпринято несколько попыток подбора алгоритмов для отражения рентгеновских лучей, некоторые из которых находят локальный оптимум вместо глобального оптимума. В Метод Левенберга-Марквардта находит локальный оптимум. Из-за того, что кривая имеет много интерференционных полос, она определяет неверную толщину слоя, если только первоначальное предположение не является исключительно хорошим. Без производных симплексный метод также находит локальный оптимум. Чтобы найти глобальный оптимум, требуются алгоритмы глобальной оптимизации, такие как моделирование отжига. К сожалению, имитацию отжига трудно распараллелить на современных многоядерных компьютерах. Учитывая достаточно времени, имитация отжига можно показать, что он находит глобальный оптимум с вероятностью, приближающейся к 1,^[7] но такое доказательство сходимости не означает, что требуемое время достаточно мало. В 1998 г.^[8] было обнаружено, что генетические алгоритмы являются надежными и быстрыми методами подбора коэффициента отражения рентгеновских лучей. Таким образом, генетические алгоритмы были приняты программным обеспечением практически всех производителей рентгеновских дифрактометров, а также программным обеспечением подгонки с открытым исходным кодом.

Для подбора кривой требуется функция, обычно называемая функцией приспособленности, функцией стоимости, функцией ошибки аппроксимации или добротностью (FOM). Он измеряет разницу между измеренной кривой и смоделированной кривой, поэтому более низкие значения лучше. При подгонке измерение и наилучшее моделирование обычно представляются в логарифмическом пространстве.

С математической точки зрения ${displaystyle chi ^ {2}}$ функция ошибки аппроксимации математически корректно учитывает эффекты распределенного по Пуассону шума при подсчете фотонов:

${displaystyle F = sum _ {i} {frac {(x_ {simul, i} -x_ {mes, i}) ^ {2}} {x_ {mes, i}}}}$.

Однако это ${displaystyle chi ^ {2}}$ функция может придавать слишком большое значение областям с высокой интенсивностью. Если важны области высокой интенсивности (например, при нахождении плотности массы по критическому углу), это может не быть проблемой, но подгонка может визуально не совпадать с измерением в диапазонах низкой интенсивности и высоких углов.

Другой популярной функцией ошибки аппроксимации является функция 2-нормы в логарифмическом пространстве. Это определяется следующим образом:

${displaystyle F = {sqrt {sum _ {i} (log x_ {simul, i} -log x_ {mes, i}) ^ {2}}}}$.

Излишне говорить, что в уравнении точки данных с нулевым измеренным количеством фотонов должны быть удалены. Эту 2-норму в логарифмическом пространстве можно обобщить до p-нормы в логарифмическом пространстве. Недостатком этой 2-нормы в логарифмическом пространстве является то, что она может придавать слишком большой вес областям, где высок относительный шум счета фотонов.

Программное обеспечение с открытым исходным кодом

Производители дифрактометров обычно предоставляют коммерческое программное обеспечение для измерения коэффициента отражения рентгеновских лучей. Однако также доступно несколько пакетов программного обеспечения с открытым исходным кодом: GenX^[9] является широко используемым программным обеспечением для построения кривой рентгеновской отражательной способности с открытым исходным кодом. Он реализован на языке программирования Python и поэтому работает как в Windows, так и в Linux. Мотофит^[10] работает в среде IGOR Pro и поэтому не может использоваться в операционных системах с открытым исходным кодом, таких как Linux. Микронова XRR^[11] работает под управлением Java и поэтому доступен в любой операционной системе, в которой доступна Java.^[12] это автономное программное обеспечение, предназначенное для моделирования и анализа отражения рентгеновских лучей и нейтронов от многослойных слоев. REFLEX - удобная бесплатная программа, работающая под платформами Windows и Linux.

Рекомендации