Теорема сравнения Зиманса - Википедия - Zeemans comparison theorem

В гомологическая алгебра, Теорема сравнения Зеемана, представлен Zeeman (1957 ), дает условия для морфизм из спектральные последовательности быть изоморфизмом.

Заявление

Теорема сравнения — Позволять ${ displaystyle E_ {p, q} ^ {r}, {} ^ { prime} E_ {p, q} ^ {r}}$ - спектральные последовательности первого квадранта плоские модули над коммутативным кольцом и ${ displaystyle f: E ^ {r} to {} ^ { prime} E ^ {r}}$ морфизм между ними. Тогда из любых двух из следующих утверждений следует третье:

${ displaystyle f: E_ {2} ^ {p, 0} to {} ^ { prime} E_ {2} ^ {p, 0}}$ является изоморфизмом для любого п.
${ displaystyle f: E_ {2} ^ {0, q} to {} ^ { prime} E_ {2} ^ {0, q}}$ является изоморфизмом для любого q.
${ displaystyle f: E _ { infty} ^ {p, q} to {} ^ { prime} E _ { infty} ^ {p, q}}$ является изоморфизмом для любого п, q.

Наглядный пример

В качестве иллюстрации мы сделаем набросок доказательства Теорема Бореля, что означает, что кольцо когомологий классифицирующего пространства является кольцом многочленов.^[1]

Прежде всего, с грамм как группа Ли и с ${ displaystyle mathbb {Q}}$ в качестве кольца коэффициентов имеем спектральную последовательность Серра ${ displaystyle E_ {2} ^ {p, q}}$ для расслоения ${ Displaystyle G в EG в BG}$ . У нас есть: ${ Displaystyle E _ { infty} simeq mathbb {Q}}$ поскольку НАПРИМЕР стягивается. У нас также есть теорема Хопфа заявив, что ${ displaystyle H ^ {*} (G; mathbb {Q}) simeq Lambda (u_ {1}, dots, u_ {n})}$ , внешняя алгебра, порожденная конечным числом однородных элементов.

Далее мы позволяем ${ Displaystyle E (я)}$ - спектральная последовательность, вторая страница которой ${ displaystyle E (i) _ {2} = Lambda (x_ {i}) otimes mathbb {Q} [y_ {i}]}$ и чьи нетривиальные дифференциалы на р-я страница дается ${ displaystyle d (x_ {i}) = y_ {i}}$ и дифференцированное правило Лейбница. Позволять ${ displaystyle {} ^ { prime} E_ {r} = otimes _ {i} E_ {r} (i)}$ . Поскольку когомологии коммутируют с тензорными произведениями, когда мы работаем над полем, ${ displaystyle {} ^ { prime} E_ {r}}$ снова спектральная последовательность такая, что ${ displaystyle {} ^ { prime} E _ { infty} simeq mathbb {Q} otimes dots otimes mathbb {Q} simeq mathbb {Q}}$ . Тогда мы позволим

{ displaystyle f: {} ^ { prime} E_ {r} to E_ {r}, , x_ {i} mapsto u_ {i}.}

Отметим, что по определению ж дает изоморфизм ${ displaystyle {} ^ { prime} E_ {r} ^ {0, q} simeq E_ {r} ^ {0, q} = H ^ {q} (G; mathbb {Q}).}$ Важным моментом является то, что ж это "кольцевой гомоморфизм "; это основано на технических условиях, которые ${ displaystyle u_ {i}}$ являются «трансгрессивными» (см. подробное обсуждение этого вопроса у Хэтчера). После рассмотрения этого технического момента мы делаем вывод: ${ Displaystyle E_ {2} ^ {p, 0} simeq {} ^ { prime} E_ {2} ^ {p, 0}}$ как кольцо по теореме сравнения; то есть, ${ displaystyle E_ {2} ^ {p, 0} = H ^ {p} (BG; mathbb {Q}) simeq mathbb {Q} [y_ {1}, dots, y_ {n}]. }$

Рекомендации

^ Хэтчер, Теорема 1.34

Макклири, Джон (2001), Руководство пользователя по спектральным последовательностям, Кембриджские исследования по высшей математике, 58 (2-е изд.), Издательство Кембриджского университета, Дои:10.2277/0521567599, ISBN 978-0-521-56759-6, МИСТЕР 1793722
Ройтберг, Джозеф; Хилтон, Питер (1976), «О теореме сравнения Зеемана для гомологий квазинильпотентных расслоений» (PDF), Ежеквартальный журнал математики. Оксфорд. Вторая серия, 27 (108): 433–444, Дои:10.1093 / qmath / 27.4.433, ISSN 0033-5606, МИСТЕР 0431151
Зееман, Эрик Кристофер (1957), «Доказательство теоремы сравнения для спектральных последовательностей», Proc. Cambridge Philos. Soc., 53: 57–62, Дои:10.1017 / S0305004100031984, МИСТЕР 0084769

Этот абстрактная алгебра -связанная статья является заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.

[1] Хэтчер, Теорема 1.34

[1]