Универсальность дзета-функции - Zeta function universality

Любая отличная от нуля голоморфная функция ж на полосе можно аппроксимировать ζ-функцией.

В математика, то универсальность из дзета-функции замечательная способность Дзета-функция Римана и другие аналогичные функции (например, L-функции Дирихле ) для аппроксимации произвольных отличных от нуля голоморфные функции произвольно хорошо.

Универсальность дзета-функции Римана впервые была доказана Сергей Михайлович Воронин в 1975 г.^[1] и иногда его называют Теорема Воронина об универсальности.

Дзета-функция Римана на полосе 1/2 s) <1; 103 s) < 109.

Официальное заявление

Математически точное утверждение универсальности дзета-функции Римана ζ (s) следует.

Позволять U быть компактный подмножество полосы

${ displaystyle {s in mathbb {C} mid 1/2 <{ mbox {Re}} s <1 }}$

так что дополнять из U является связаны. Позволять ж : U → C быть непрерывная функция на U который голоморфный на интерьер из U и не имеет нулей в U. Тогда для любого ε > 0 существует т ≥ 0 такой, что

${ displaystyle left | zeta (s + it) -f (s) right | < varepsilon}$

(1)

для всех ${ displaystyle s in U}$.

Более того: более низкая плотность набора значений т которые выполняют эту работу, положительна, что выражается следующим неравенством относительно ограничивать низший.

${ displaystyle 0 < liminf _ {T to infty} { frac {1} {T}} , lambda ! left ( left {t in [0, T] ; { bigg |} ; max _ {s in U} left | zeta (s + it) -f (s) right | < varepsilon right } right),}$

куда λ обозначает Мера Лебега на действительные числа.

Обсуждение

Условие того, что дополнение U быть связанным по существу означает, что U не содержит отверстий.

Интуитивный смысл первого утверждения таков: можно перемещать U некоторыми вертикальное смещение Это так что функция ж на U аппроксимируется дзета-функцией на смещенной копии U, с точностью до ε.

Функция ж не разрешено иметь нули на U. Это важное ограничение; если вы начнете с голоморфной функции с изолированным нулем, то любая «ближайшая» голоморфная функция также будет иметь нуль. Согласно Гипотеза Римана, дзета-функция Римана не имеет нулей в рассматриваемой полосе, поэтому она не может аппроксимировать такую ​​функцию. Функция ж(s) = 0 который тождественно равен нулю на U можно приблизительно оценить ζ: сначала мы можем выбрать функцию "поблизости" грамм(s) = ε/2 (который голоморфен и не имеет нулей) и найти такое вертикальное смещение, что ζ приблизительно грамм к точности ε/ 2, и поэтому ж к точности ε.

На прилагаемом рисунке показана дзета-функция на репрезентативной части соответствующей полосы. Цвет точки s кодирует значение ζ(s) следующим образом: оттенок представляет аргумент ζ(s), где красный означает положительные действительные значения, а затем против часовой стрелки через желтый, зеленый, голубой, синий и фиолетовый. Яркие цвета обозначают значения, близкие к 0 (черный = 0), слабые цвета обозначают значения, далекие от 0 (белый = ∞). На рисунке показаны три нуля дзета-функции примерно на 1/2 + 103.7я, 1/2 + 105.5я и 1/2 + 107.2я. Теорема Воронина по существу утверждает, что эта полоса содержит все возможные «аналитические» цветовые узоры, в которых не используются черный или белый.

Примерный смысл утверждения о меньшей плотности таков: если функция ж и ε > 0 задано, существует положительная вероятность того, что случайно выбранное вертикальное смещение Это даст приближение ж к точности ε.

Интерьер U может быть пустым, и в этом случае не требуется ж голоморфен. Например, если взять U чтобы быть отрезком, тогда непрерывная функция ж : U → Cпредставляет собой не что иное, как кривую на комплексной плоскости, и мы видим, что дзета-функция кодирует каждую возможную кривую (то есть любую фигуру, которую можно нарисовать, не поднимая карандаш) с произвольной точностью на рассматриваемой полосе.

Утвержденная теорема применима только к регионам U которые содержатся в полосе. Однако, если мы разрешаем трансляции и масштабирования, мы также можем найти закодированные в дзета-функциях приближенные версии всех ненулевых голоморфных функций, определенных в других областях. В частности, поскольку сама дзета-функция является голоморфной, ее версии закодированы в ней в разных масштабах, что является отличительной чертой фрактал.^[2]

Удивительный характер теоремы можно резюмировать следующим образом: дзета-функция Римана содержит в себе «все возможные варианты поведения» и, таким образом, в определенном смысле «хаотична», но при этом представляет собой идеально гладкую аналитическую функцию с довольно простой и понятной определение.

Доказательство эскиза

Набросок доказательства, представленного в (Воронин, Карацуба, 1992)^[3] Рассмотрим только случай, когда U диск с центром в 3/4:

${ Displaystyle U = {s in mathbb {C}: | s-3/4 |$

и мы будем утверждать, что любая ненулевая голоморфная функция, определенная на U можно аппроксимировать ζ-функция по вертикальному переносу данного набора.

Переходя к логарифм, достаточно показать, что для любой голоморфной функции грамм : U → C и каждый ε > 0 существует реальное число т такой, что

${ displaystyle left | ln zeta (s + it) -g (s) right | < varepsilon quad { text {для всех}} quad s in U.}$

Мы сначала приблизим грамм(s) с логарифмом некоторых конечных произведений, напоминающих произведение Эйлера для ζ-функция:

${ displaystyle zeta (s) = prod _ {p in mathbb {P}} left (1 - { frac {1} {p ^ {s}}} right) ^ {- 1}, }$

куда п обозначает множество всех простых чисел.

Если ${ Displaystyle theta = ( theta _ {p}) _ {p in mathbb {P}}}$ представляет собой последовательность действительных чисел, по одному на каждое простое число п, и M конечное множество простых чисел, положим

${ displaystyle zeta _ {M} (s, theta) = prod _ {p in M} left (1 - { frac {e ^ {- 2 pi i theta _ {p}}}) {p ^ {s}}} right) ^ {- 1}.}$

Рассмотрим конкретную последовательность

${ displaystyle { hat { theta}} = left ({ frac {1} {4}}, { frac {2} {4}}, { frac {3} {4}}, { frac {4} {4}}, { frac {5} {4}}, ldots right)}$

и утверждаю, что грамм(s) можно аппроксимировать функцией вида ${ displaystyle ln ( zeta _ {M} (s, { hat { theta}}))}$ для подходящего набора M простых чисел. Доказательство этого утверждения использует Пространство Бергмана, ложно названный Харди космос в (Воронин, Карацуба, 1992),^[3] в ЧАС голоморфных функций, определенных на U, а Гильбертово пространство. Мы установили

${ displaystyle u_ {k} (s) = ln left (1 - { frac {e ^ {- pi ik / 2}} {p_ {k} ^ {s}}} right)}$

куда п_k обозначает k-е простое число. Затем можно показать, что серия

${ Displaystyle сумма _ {к = 1} ^ { infty} и_ {к}}$

является условно сходящийся в ЧАС, т.е. для каждого элемента v из ЧАС существует перестановка ряда, сходящаяся в ЧАС к v. Этот аргумент использует теорему, которая обобщает Теорема рядов Римана в гильбертово пространство. Из-за связи нормы в ЧАС и максимальное абсолютное значение функции, мы можем затем аппроксимировать нашу данную функцию грамм(s) с начальным сегментом этой переставленной серии, как требуется.

По версии Теорема Кронекера, применительно к действительным числам ${ displaystyle { frac { ln 2} {2 pi}}, { frac { ln 3} {2 pi}}, { frac { ln 5} {2 pi}}, ldots , { frac { ln p_ {N}} {2 pi}}}$ (которые линейно независимый над рациональными числами) можно найти реальные значения т так что ${ displaystyle ln ( zeta _ {M} (s, { hat { theta}}))}$ приблизительно ${ displaystyle ln ( zeta _ {M} (s + it, 0))}$. Далее, для некоторых из этих значений т, ${ displaystyle ln ( zeta _ {M} (s + it, 0))}$ приблизительно ${ Displaystyle пер ( zeta (s + it))}$, заканчивая доказательство.

Теорема сформулирована без доказательства в § 11.11 (Titchmarsh and Heath-Brown, 1986).^[4]второе издание монографии Титчмарша 1951 года; и более слабый результат дан в теор. 11.9. Хотя теорема Воронина там не доказана, из нее можно сделать два следствия:

1) Пусть ${ Displaystyle { tfrac {1} {2}} < sigma <1}$ быть исправленным. Тогда кривая

${ Displaystyle гамма (T) = ( zeta ( sigma + it), zeta '( sigma + it), dots, zeta ^ {(n-1)} ( sigma + it))}$

плотно в ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}.}$

2) Пусть ${ displaystyle Phi}$ - произвольная непрерывная функция, и пусть ${ displaystyle h_ {1}, h_ {2}, dots, h_ {n}}$ быть настоящими константами.

потом ${ displaystyle zeta (s)}$ не может удовлетворять дифференциально-разностному уравнению

${ Displaystyle Phi { zeta (s + h_ {1}), zeta '(s + h_ {1}), dots, zeta ^ {(n_ {1})} (s + h_ {1 }), zeta (s + h_ {2}), zeta '(s + h_ {2}), dots, zeta ^ {(n_ {2})} (s + h_ {2}), точки } = 0}$

пока не ${ displaystyle Phi}$ тождественно пропадает.

Эффективная универсальность

Некоторые недавние работы были сосредоточены на эффективный универсальность. В условиях, изложенных в начале статьи, существуют значения т удовлетворяющие неравенству (1). эффективный Теорема универсальности устанавливает верхнюю границу наименьшего такого т.

Например, в 2003 году Гарунштис доказал, что если ${ displaystyle f (s)}$ аналитичен в ${ displaystyle | s | leq .05}$ с${ displaystyle max _ { left | s right | leq .05} left | f (s) right | leq 1}$, то для любого ε из ${ displaystyle 0 < epsilon <1/2}$, существует номер ${ displaystyle t}$ в ${ Displaystyle 0 Leq T Leq ехр ({ ехр ({10 / эпсилон ^ {13}})})}$ такой, что

${ displaystyle max _ { left | s right | leq .0001} left | log zeta (s + { frac {3} {4}} + it) -f (s) right | < epsilon}$.

Например, если ${ displaystyle epsilon = 1/10}$, то оценка для т является ${ Displaystyle т Leq ехр ({ ехр ({10 / эпсилон ^ {13}})}) = ехр ({ ехр ({10 ^ {14}})})}$.

Можно также получить оценки на меру этих т значения через ε:

${ displaystyle liminf _ {T to infty} { frac {1} {T}} , lambda ! left ( left {t in [0, T]: max _ { left | s right | leq .0001} left | log zeta (s + { frac {3} {4}} + it) -f (s) right | < epsilon right } right ) geq { frac {1} { exp ({ epsilon ^ {- 13}})}}}$.

Например, если ${ displaystyle epsilon = 1/10}$, то правая часть равна ${ Displaystyle 1 / ехр ({10 ^ {13}})}$.Видеть.^{[5]:п. 210}

Универсальность других дзета-функций

Проделана работа, показывающая, что универсальность распространяется на Дзета-функции Сельберга^[6]

В L-функции Дирихле показать не только универсальность, но и определенную совместная универсальность которые позволяют аппроксимировать любой набор функций одним и тем же значением (значениями) т в разных L-функции, где каждая функция, которая должна быть аппроксимирована, сочетается с другим L-функция.^{[7][8]:Раздел 4}

Аналогичное свойство универсальности показано для Дзета-функция Лерха ${ Displaystyle L ( лямбда, альфа, s)}$, по крайней мере, когда параметр α это трансцендентное число.^{[8]:Раздел 5}Было также показано, что разделы дзета-функции Лерха имеют форму совместной универсальности.^{[8]:Раздел 6}

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Карацуба, Анатолий А .; Воронин, С. М. (2011). Дзета-функция Римана. выставки де Грюйтера по математике. Берлин: де Грюйтер. ISBN  978-3110131703.
• Лауринчикас, Антанас (1996). Предельные теоремы для дзета-функции Римана. Математика и ее приложения. 352. Берлин: Springer. Дои:10.1007/978-94-017-2091-5. ISBN  978-90-481-4647-5.
• Штойдинг, Йорн (2007). Распределение значений L-функций. Конспект лекций по математике. 1877. Берлин: Springer. п.19. arXiv:1711.06671. Дои:10.1007/978-3-540-44822-8. ISBN  978-3-540-26526-9.
• Титчмарш, Эдвард Чарльз; Хит-Браун, Дэвид Родни («Роджер») (1986). Теория дзета-функции Римана (2-е изд.). Оксфорд: Oxford U. P. ISBN  0-19-853369-1.

внешняя ссылка

• Теорема Воронина об универсальности, Мэтью Р. Уоткинс
• Рентгеновский снимок дзета-функции Визуально ориентированное исследование того, где дзета является реальной или чисто воображаемой. Дает некоторое представление о том, насколько это сложно в критической полосе.