(g, K) -модуль - (g,K)-module

В математика, а точнее в теория представлений из редуктивные группы Ли, а ${displaystyle ({mathfrak {g}}, K)}$ -модуль - алгебраический объект, впервые введенный Хариш-Чандра,^[1] используется для работы с непрерывными бесконечномерными представлениями с использованием алгебраических методов. Хариш-Чандра показал, что изучение неприводимые унитарные представления действительной редуктивной группы Ли, грамм, можно было бы свести к изучению неприводимых ${displaystyle ({mathfrak {g}}, K)}$ -модули, где ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ это Алгебра Ли из грамм и K это максимальная компактная подгруппа из грамм.^[2]

Определение

Позволять грамм - настоящая группа Ли. Позволять ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ его алгебра Ли, и K максимальная компактная подгруппа с алгеброй Ли ${displaystyle {mathfrak {k}}}$ . А ${displaystyle ({mathfrak {g}}, K)}$ -модуль определяется следующим образом:^[3] это векторное пространство V это одновременно Представление алгебры Ли из ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ и групповое представительство из K (без учета топология из K) удовлетворяющие следующим трем условиям

1. для любого v ∈ V, k ∈ K, и Икс ∈

{displaystyle {mathfrak {g}}}

{displaystyle kcdot (Xcdot v) = (OperatorName {Ad} (k) X) cdot (kcdot v)}

2. для любого v ∈ V, Кв охватывает конечномерный подпространство V на котором действие K непрерывно

3. для любого v ∈ V и Y ∈

{displaystyle {mathfrak {k}}}

{displaystyle left.left ({frac {d} {dt}} exp (tY) cdot vight) ight | _ {t = 0} = Ycdot v.}

Выше точка, ${displaystyle cdot}$ , обозначает как действие ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ на V и что из K. Обозначение Ad (k) обозначает сопряженное действие из грамм на ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ , и Кв это набор векторов ${displaystyle kcdot v}$ в качестве k варьируется по всем K.

Первое условие можно понять так: если грамм это общая линейная группа GL (п, р), тогда ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ это алгебра всех п к п матриц, и сопряженное действие k на Икс является kXk⁻¹; тогда условие 1 можно прочитать как

{displaystyle kXv = kXk ^ {- 1} kv = left (kXk ^ {- 1} ight) kv.}

Другими словами, это требование совместимости действий K на V, ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ на V, и K на ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ . Третье условие также является условием совместимости, на этот раз между действием ${displaystyle {mathfrak {k}}}$ на V рассматривается как сублиевая алгебра ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ и его действие рассматривается как дифференциал действия K на V.

Примечания

^ Страница 73 из Валлах 1988
^ Страница 12 из Доран и Варадараджан 2000
^ Это более общее определение Джеймса Леповски, данное в разделе 3.3.1. Валлах 1988

(g, K) -модуль - (g,K)-module

Определение

Примечания

Рекомендации