Алгебра Ли - Lie algebra
Группы Ли |
---|
|
В математика, а Алгебра Ли (произносится /ля/ «Ли») является векторное пространство вместе с операция называется Кронштейн лжи, переменная билинейная карта , что удовлетворяет Личность Якоби.[а] Векторное пространство вместе с этой операцией является неассоциативная алгебра, что означает, что скобка Ли не обязательно ассоциативный.
Алгебры Ли тесно связаны с Группы Ли, которые группы которые также гладкие многообразия: любая группа Ли порождает алгебру Ли, которая является ее касательным пространством в единице. Наоборот, любой конечномерной алгебре Ли над действительными или комплексными числами существует соответствующая связаны Группа Ли единственная с точностью до конечных покрытий (Третья теорема Ли ). Этот переписка позволяет изучить структуру и классификация групп Ли в терминах алгебр Ли.
В физике группы Ли появляются как группы симметрии физических систем, а их алгебры Ли (касательные векторы, близкие к единице) могут рассматриваться как движения бесконечно малой симметрии. Таким образом, алгебры Ли и их представления широко используются в физике, особенно в квантовая механика и физика элементарных частиц.
Элементарный пример - пространство трехмерных векторов с операцией скобок, определяемой перекрестное произведение Это кососимметрично, поскольку , и вместо ассоциативности он удовлетворяет тождеству Якоби:
Это алгебра Ли группы Ли вращения пространства, и каждый вектор можно представить как бесконечно малое вращение вокруг оси v, со скоростью, равной величине v. Скобка Ли является мерой некоммутативности между двумя вращениями: поскольку вращение коммутирует само с собой, мы имеем свойство альтернированности .
История
Алгебры Ли были введены для изучения концепции бесконечно малые преобразования к Мариус Софус Ли в 1870-х гг.,[1] и независимо обнаружен Вильгельм Киллинг[2] в 1880-х гг. Название Алгебра Ли был дан Герман Вейль в 1930-е годы; в старых текстах термин бесконечно малая группа используется.
Определения
Определение алгебры Ли
Алгебра Ли - это векторное пространство над некоторыми поле F вместе с бинарная операция называется скобкой Ли, удовлетворяющей следующим аксиомам:[b]
- для всех скаляров а, б в F и все элементы Икс, у, z в .
- для всех Икс в .
- для всех Икс, у, z в .
Использование билинейности для расширения скобки Ли и с помощью альтернативности показывает, что для всех элементов Икс, у в , показывая, что билинейность и альтернативность вместе означают
- для всех элементов Икс, у в . Если поле характеристика не равно 2, то антикоммутативность влечет альтернативность.[3]
Алгебру Ли принято обозначать строчной буквой фрактур письмо, такое как . Если алгебра Ли связана с Группа Ли, то алгебра обозначается фрактурной версией группы: например, алгебра Ли группы SU (п) является .
Генераторы и измерение
Элементы алгебры Ли говорят генерировать это, если наименьшая подалгебра, содержащая эти элементы, является сам. В измерение алгебры Ли является ее размерностью как векторного пространства над F. Мощность минимального порождающего множества алгебры Ли всегда меньше или равна ее размерности.
Увидеть классификация вещественных алгебр Ли малой размерности для других небольших примеров.
Подалгебры, идеалы и гомоморфизмы
Скобка Ли не требуется ассоциативный, означающий, что не обязательно равняться . Однако это гибкий. Тем не менее, большая часть терминологии ассоциативного кольца и алгебры обычно применяется к алгебрам Ли. А Подалгебра Ли подпространство которая замкнута относительно скобки Ли. An идеальный - подалгебра, удовлетворяющая более сильному условию:[4]
Алгебра Ли гомоморфизм является линейным отображением, совместимым с соответствующими скобками Ли:
Что касается ассоциативных колец, то идеалы - это в точности ядра гомоморфизмов; учитывая алгебру Ли и идеал в нем строится факторная алгебра или же фактор-алгебра , а первая теорема об изоморфизме справедливо для алгебр Ли.
Поскольку скобка Ли - это своего рода бесконечно малый коммутатор соответствующей группы Ли, мы говорим, что два элемента ездить если их скобка исчезнет: .
В централизатор подалгебра подмножества набор элементов, коммутирующих с S: то есть, . Централизатор сам по себе центр . Аналогично для подпространства S, то нормализатор подалгебра S является .[5] Эквивалентно, если S подалгебра Ли, самая большая подалгебра такая, что это идеал .
Примеры
За , коммутатор двух элементов