Прилиевая алгебра - Википедия - Pre-Lie algebra

В математика, а предлиевая алгебра является алгебраическая структура на векторное пространство который описывает некоторые свойства объектов, например укоренившиеся деревья и векторные поля на аффинное пространство.

Понятие предлиевой алгебры было введено Мюррей Герстенхабер в своей работе над деформации алгебр.

Прилиевские алгебры рассматривались под некоторыми другими названиями, среди которых можно назвать левосимметрические алгебры, правосимметрические алгебры или алгебры Винберга.

Определение

Прилиевая алгебра ${ displaystyle (V, треугольникleft)}$ это векторное пространство ${ displaystyle V}$ с билинейной картой ${ Displaystyle треугольникleft: V время от V до V}$, удовлетворяющая соотношению${ Displaystyle (х треугольник слева у) треугольник левый z-х треугольник левый (у треугольник левый z) = (х треугольный левый z) треугольный левый у-х треугольный левый (z треугольный левый у).$

Это тождество можно рассматривать как инвариантность ассоциатор ${ Displaystyle (х, у, z) = (х треугольникleft y) треугольникleft Z-х треугольникleft (у треугольникleft z)}$ при обмене двух переменных ${ displaystyle y}$ и ${ displaystyle z}$.

Каждый ассоциативная алгебра следовательно, также является предлиевой алгеброй, поскольку ассоциатор тождественно равен нулю. Несмотря на то, что это более слабое, чем ассоциативность, определяющее соотношение предлиевой алгебры по-прежнему означает, что коммутатор ${ Displaystyle х треугольник слева у-у треугольник левый х}$ является скобкой Ли. В частности, тождество Якоби для коммутатора следует из цикла ${ displaystyle x, y, z}$ в определяющем соотношении для алгебр пред Ли, приведенном выше.

Примеры

Векторные поля на аффинном пространстве

Позволять ${ Displaystyle U подмножество mathbb {R} ^ {n}}$ быть открытым соседством ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$, параметризованный переменными ${ displaystyle x_ {1}, cdots, x_ {n}}$. Данные векторные поля ${ displaystyle u = u_ {i} partial _ {x_ {i}}}$, ${ displaystyle v = v_ {j} partial _ {x_ {j}}}$ мы определяем ${ Displaystyle и треугольникleft v = v_ {j} { frac { partial u_ {i}} { partial x_ {j}}} partial x_ {i}}$.

Разница между ${ Displaystyle (и треугольникleft v) треугольникleft w}$ и ${ Displaystyle и треугольникleft (v треугольникleft w)}$, является${ Displaystyle (и треугольникleft v) треугольниклефт Ву треугольниклефт (v треугольниклефт ш) = v_ {j} w_ {k} { frac { partial ^ {2} u_ {i}} { partial x_ {j } partial x_ {k}}} partial _ {x_ {i}}}$который симметричен по ${ displaystyle v}$ и ${ displaystyle w}$. Таким образом ${ Displaystyle треугольникleft}$ определяет структуру предлиевой алгебры.

Учитывая многообразие ${ displaystyle M}$ и гомеоморфизмы ${ displaystyle phi, phi '}$ из ${ Displaystyle U, U ' подмножество mathbb {R} ^ {n}}$ к перекрывающимся открытым районам ${ displaystyle M}$, каждая из них определяет структуру предлиевой алгебры ${ Displaystyle треугольникleft, треугольникleft '}$ на векторных полях, определенных на перекрытии. Пока ${ Displaystyle треугольникleft}$ не нужно соглашаться с ${ Displaystyle треугольникleft '}$, их коммутаторы согласны: ${ Displaystyle и треугольникleft v-v треугольникleft и = и треугольникleft 'v-v треугольникleft' u = [v, u]}$, скобка Ли ${ displaystyle v}$ и ${ displaystyle u}$.

Деревья с корнями

Позволять ${ displaystyle mathbb {T}}$ быть свободное векторное пространство охватывают все деревья с корнями.

Можно ввести билинейное произведение ${ displaystyle curvearrowleft}$ на ${ displaystyle mathbb {T}}$ следующее. Позволять ${ Displaystyle тау _ {1}}$ и ${ displaystyle tau _ {2}}$ быть двумя корневыми деревьями.

${ displaystyle tau _ {1} curvearrowleft tau _ {2} = sum _ {s in mathrm {Vertices} ( tau _ {1})} tau _ {1} circ _ {s } tau _ {2}}$

куда ${ displaystyle tau _ {1} circ _ {s} tau _ {2}}$ корневое дерево, полученное добавлением к несвязному объединению ${ Displaystyle тау _ {1}}$ и ${ displaystyle tau _ {2}}$ ребро, идущее из вершины ${ displaystyle s}$ из ${ Displaystyle тау _ {1}}$ в корневую вершину ${ displaystyle tau _ {2}}$.

потом ${ Displaystyle ( mathbb {T}, curvearrowleft)}$ это свободный предлиевая алгебра с одним образующим. В более общем смысле, свободная предлиевая алгебра на любом наборе образующих строится таким же образом из деревьев, каждая вершина которых помечена одним из образующих.

Рекомендации

• Chapoton, F .; Ливерне, М. (2001), "Алгебры до Ли и операда корневых деревьев", Уведомления о международных математических исследованиях, 8 (8): 395–408, Дои:10.1155 / S1073792801000198, МИСТЕР  1827084.
• Щесны, М. (2010), Прилиевские алгебры и категории инцидентности цветных корневых деревьев, 1007, п. 4784, г. arXiv:1007.4784, Bibcode:2010arXiv1007.4784S.