Ассоциативная алгебра - Associative algebra

В математика, ассоциативная алгебра является алгебраическая структура с совместимыми операциями сложения, умножения (предполагается, что ассоциативный ), а скалярное умножение по элементам в некоторых поле. Операции сложения и умножения вместе дают А структура звенеть; операции сложения и скалярного умножения вместе дают А структура векторное пространство над K. В этой статье мы также будем использовать термин K-алгебра означать ассоциативную алгебру над полем K. Стандартный первый пример K-алгебра - это кольцо квадратные матрицы над полем K, с обычным матричное умножение.

А коммутативная алгебра ассоциативная алгебра, имеющая коммутативный умножение, или, что то же самое, ассоциативная алгебра, которая также является коммутативное кольцо.

В этой статье предполагается, что ассоциативные алгебры имеют мультипликативную единицу, обозначенную 1; их иногда называют унитальные ассоциативные алгебры в целях разъяснения. В некоторых областях математики это предположение не делается, и мы будем называть такие структуры неединичный ассоциативные алгебры. Мы также будем предполагать, что все кольца унитальны и все гомоморфизмы колец унитальны.

Многие авторы рассматривают более общее понятие ассоциативной алгебры над коммутативное кольцо р, вместо поля: р-алгебра является р-модуль с ассоциативным р-билинейная двоичная операция, которая также содержит мультипликативную идентичность. Для примеров этой концепции, если S любое кольцо с центр C, тогда S ассоциативный C-алгебра.

Определение

Позволять р быть фиксированным коммутативное кольцо (так р может быть поле). An ассоциативный р-алгебра (или проще говоря р-алгебра) является добавкой абелева группа А который имеет структуру как звенеть и р-модуль таким образом, что скалярное умножение удовлетворяет

{displaystyle rcdot (xy) = (rcdot x) y = x (rcdot y)}

для всех р ∈ р и Икс, у ∈ А. Более того, А считается унитальным, т. е. содержит элемент 1 такой, что

{displaystyle 1x = x = x1}

для всех Икс ∈ А. Обратите внимание, что такой элемент 1 обязательно уникален.

Другими словами, А является р-модуль вместе с р-билинейный бинарная операция А × А → А это ассоциативно и имеет идентичность. ^[1] Если отказаться от требования ассоциативности, то получится неассоциативная алгебра.

Если А само по себе коммутативно (как кольцо), то оно называется коммутативный р-алгебра.

Как моноидный объект в категории модулей

Это определение эквивалентно утверждению, что единичная ассоциативная р-алгебра - это моноидный объект в р-Мод (в моноидальная категория из р-модули). По определению кольцо - это моноидный объект в категория абелевых групп; таким образом, понятие ассоциативной алгебры получается заменой категории абелевых групп на категория модулей.

Продвигая эту идею дальше, некоторые авторы представили «обобщенное кольцо» как моноидный объект в некоторой другой категории, которая ведет себя как категория модулей. Действительно, эта переинтерпретация позволяет избежать явной ссылки на элементы алгебры А. Например, ассоциативность можно выразить следующим образом. По универсальному свойству тензорное произведение модулей, умножение ( р-билинейная карта) соответствует уникальному р-линейная карта

{displaystyle m: Aotimes _ {R} A o A}

.

Тогда ассоциативность относится к идентичности:

{displaystyle mcirc ({operatorname {id}} otimes m) = mcirc (motimes operatorname {id}).}

Из гомоморфизмов колец

Ассоциативная алгебра составляет кольцевой гомоморфизм чей образ лежит в центр. Действительно, начиная с кольца А и гомоморфизм колец ${displaystyle eta двоеточие R o A}$ чей образ лежит в центр из А, мы можем сделать А ан р-алгебра, определяя

{displaystyle rcdot x = eta (r) x}

для всех р ∈ р и Икс ∈ А. Если А является р-алгебра, принимая Икс = 1, та же формула, в свою очередь, определяет гомоморфизм колец ${displaystyle eta двоеточие R o A}$ чье изображение лежит в центре.

Если кольцо коммутативно, то оно равно своему центру, так что коммутативное р-алгебру можно определить просто как коммутативное кольцо А вместе с коммутативным гомоморфизмом колец ${displaystyle eta двоеточие R o A}$ .

Гомоморфизм колец η фигурирующую выше, часто называют структурная карта. В коммутативном случае можно рассматривать категорию, объектами которой являются гомоморфизмы колец р → А; т. е. коммутативный р-алгебры, морфизмы которых являются кольцевыми гомоморфизмами А → А' что под р; т.е. р → А → А' является р → А' (т.е. категория coslice категории коммутативных колец при р.) простой спектр затем функтор Spec определяет антиэквивалентность этой категории категории аффинные схемы по спецификации р.

Как ослабить предположение о коммутативности - предмет некоммутативная алгебраическая геометрия а совсем недавно производная алгебраическая геометрия. Смотрите также: кольцо матриц общего положения.

Гомоморфизмы алгебры

А гомоморфизм между двумя р-алгебры - это р-линейный кольцевой гомоморфизм. Ясно, ${displaystyle varphi: A_ {1} o A_ {2}}$ является гомоморфизм ассоциативной алгебры если

{displaystyle {egin {выровнено} varphi (rcdot x) & = rcdot varphi (x) varphi (x + y) & = varphi (x) + varphi (y) varphi (xy) & = varphi (x) varphi ( y) varphi (1) & = 1end {выровнено}}}

Класс всех р-алгебры вместе с гомоморфизмами алгебр между ними образуют категория, иногда обозначается р-Alg.

В подкатегория коммутативных р-алгебры можно охарактеризовать как категория coslice р/CRing куда CRing это категория коммутативных колец.

Примеры

Самый простой пример - само кольцо; это алгебра над своим центром или любое подкольцо, лежащее в центре. В частности, любое коммутативное кольцо является алгеброй над любым своим подкольцом. Есть множество других примеров как из алгебры, так и из других областей математики.

Алгебра

Любое кольцо А можно рассматривать как Z-алгебра. Единственный гомоморфизм колец из Z к А определяется тем, что он должен послать 1 личности в А. Следовательно, кольца и Z-алгебры - эквивалентные понятия, точно так же, как абелевы группы и Z-модули эквивалентны.
Любое кольцо характеристика п это (Z/пZ) -алгебра аналогичным образом.
Учитывая р-модуль M, то кольцо эндоморфизмов из M, обозначенный End_р(M) является р-алгебра, определив (р· Φ) (Икс) = р· Φ (Икс).
Любое кольцо матрицы с коэффициентами в коммутативном кольце р образует р-алгебра сложения и умножения матриц. Это совпадает с предыдущим примером, когда M конечно порожденная, свободный р-модуль.
Квадрат п-к-п матрицы с записями с поля K образуют ассоциативную алгебру над K. В частности, 2 × 2 вещественные матрицы образуют ассоциативную алгебру, полезную при отображении на плоскости.
В сложные числа образуют двумерную ассоциативную алгебру над действительные числа.
В кватернионы образуют 4-мерную ассоциативную алгебру над вещественными числами (но не алгебру над комплексными числами, поскольку комплексные числа не находятся в центре кватернионов).
В многочлены с действительными коэффициентами образуют ассоциативную алгебру над действительными числами.
Каждый кольцо многочленов р[Икс₁, ..., Икс_п] является коммутативным р-алгебра. Фактически это свободная коммутативная р-алгебра на множестве {Икс₁, ..., Икс_п}.
В свободный р-алгебра на съемочной площадке E представляет собой алгебру "многочленов" с коэффициентами в р и некоммутирующие неопределенные, взятые из множества E.
В тензорная алгебра из р-модуль естественно р-алгебра. То же самое верно и для частных, таких как внешний вид и симметрические алгебры. Категорически говоря, функтор что отображает р-модулем своей тензорной алгебры является левый смежный к функтору, который отправляет р-алгебра к ее основе р-модуль (забывая о мультипликативной структуре).
Следующее кольцо используется в теории λ-кольца. Учитывая коммутативное кольцо А, позволять ${displaystyle G (A) = 1 + tA [! [t]!],}$ множество формальных степенных рядов с постоянным членом 1. Это абелева группа с групповой операцией умножения степенных рядов. Тогда это кольцо с умножением, обозначенное ${displaystyle circ}$ , так что ${displaystyle (1 + at) circ (1 + bt) = 1 + abt,}$ определяется этим условием и аксиомами кольца. Аддитивная идентичность равна 1, а мультипликативная идентичность ${displaystyle 1 + t}$ . потом ${displaystyle A}$ имеет каноническую структуру ${displaystyle G (A)}$ -алгебра, заданная гомоморфизмом колец

{displaystyle {egin {cases} G (A) o A 1 + sum _ {i> 0} a_ {i} t ^ {i} mapsto a_ {1} end {cases}}}

С другой стороны, если А является λ-кольцом, то существует гомоморфизм колец

{displaystyle {egin {case} A o G (A) amapsto 1 + sum _ {i> 0} lambda ^ {i} (a) t ^ {i} end {case}}}

давая

{displaystyle G (A)}

структура А-алгебра.

Теория представлений

В универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли - это ассоциативная алгебра, которую можно использовать для изучения данной алгебры Ли.
Если грамм это группа и р коммутативное кольцо, множество всех функций из грамм к р с конечной опорой образуют р-алгебра со сверткой как умножение. Это называется групповая алгебра из грамм. Конструкция является отправной точкой для приложения к изучению (дискретных) групп.
Если грамм является алгебраическая группа (например, полупростой комплексная группа Ли ), то координатное кольцо из грамм это Алгебра Хопфа А соответствующий грамм. Многие структуры грамм перевести на те из А.

Анализ

Учитывая любые Банахово пространство Икс, то непрерывный линейные операторы А : Икс → Икс сформировать ассоциативную алгебру (используя композицию операторов как умножение); это Банахова алгебра.
Учитывая любые топологическое пространство Икс, непрерывные действительные или комплексные функции на Икс сформировать реальную или сложную ассоциативную алгебру; здесь функции складываются и умножаются точечно.
Набор семимартингалы определены на фильтрованное вероятностное пространство (Ω,F, (F_т)_т ≥ 0, P) образует кольцо под стохастическая интеграция.
В Алгебра Вейля
An Адзумая алгебра

Геометрия и комбинаторика

В Алгебры Клиффорда, которые полезны в геометрия и физика.
Алгебры инцидентности из локально конечный частично упорядоченные наборы ассоциативные алгебры, рассматриваемые в комбинаторика.

Конструкции

Подалгебры: Подалгебра в р-алгебра А это подмножество А что является одновременно подкольцо и подмодуль из А. То есть он должен быть замкнут при сложении, кольцевом умножении, скалярном умножении и должен содержать единичный элемент А.
Факторные алгебры: Позволять А быть р-алгебра. Любая теоретико-кольцевая идеальный я в А автоматически р-модуль с р · Икс = (р1_А)Икс. Это дает кольцо частного А / я структура р-модуль и, собственно, р-алгебра. Отсюда следует, что любой кольцевой гомоморфный образ А также является р-алгебра.
Прямые продукты: Непосредственный продукт семьи р-алгебры - теоретико-кольцевое прямое произведение. Это становится р-алгебра с очевидным скалярным умножением.
Бесплатные товары: Можно сформировать бесплатный продукт из р-алгебры аналогично свободному произведению групп. Бесплатный продукт - это сопродукт в категории р-алгебры.
Тензорные продукты: Тензорное произведение двух р-алгебры также р-алгебра естественным образом. Видеть тензорное произведение алгебр Больше подробностей. Учитывая коммутативное кольцо р и любое кольцо А то тензорное произведение р ⊗_Z А можно придать структуру р-алгебра, определяя р · (s ⊗ а) = (RS ⊗ а). Функтор, отправляющий А к р ⊗_Z А является левый смежный к функтору, который отправляет р-алгебра к ее нижележащему кольцу (забыв о структуре модуля) Смотрите также: Смена колец.

Сепарабельная алгебра

Позволять А - алгебра над коммутативным кольцом р. Тогда алгебра А это право^[2] модуль над ${displaystyle A ^ {e}: = A ^ {op} otimes _ {R} A}$ с действием ${displaystyle xcdot (aotimes b) = axb}$ . Тогда по определению А говорят отделяемый если карта умножения ${displaystyle Aotimes _ {R} A o A ,, xotimes ymapsto xy}$ раскалывается как ${displaystyle A ^ {e}}$ -линейная карта,^[3] куда ${displaystyle Aotimes A}$ является ${displaystyle A ^ {e}}$ -модуль от ${displaystyle (xotimes y) cdot (aotimes b) = axotimes yb}$ . Эквивалентно,^[4] ${displaystyle A}$ отделимо, если это проективный модуль над ${displaystyle A ^ {e}}$ ; Таким образом ${displaystyle A ^ {e}}$ -проективное измерение А, иногда называемый двумерность из А, измеряет нарушение разделимости.

Конечномерная алгебра

Позволять А - конечномерная алгебра над полем k. потом А является Артинианское кольцо.

Коммутативный падеж

В качестве А артиново, если оно коммутативно, то это конечное произведение артиновых локальных колец, поля вычетов которых являются алгебрами над базовым полем k. Теперь редуцированное артиново локальное кольцо является полем, и поэтому следующие утверждения эквивалентны^[5]

${displaystyle A}$ отделима.
${displaystyle Aotimes {overline {k}}}$ сокращается, где ${displaystyle {overline {k}}}$ какое-то алгебраическое замыкание k.
${displaystyle Aotimes {overline {k}} = {overline {k}} ^ {n}}$ для некоторых п.
${displaystyle dim _ {k} A}$ это количество ${displaystyle k}$ -алгебр гомоморфизмы ${displaystyle A o {overline {k}}}$ .

Некоммутативный случай

Поскольку простое артиновское кольцо является (полным) матричным кольцом над телом, если А простая алгебра, то А является (полной) матричной алгеброй над алгеброй с делением D над k; т.е. ${displaystyle A = M_ {n} (D)}$ . В более общем смысле, если А является полупростой алгеброй, то это конечное произведение матричных алгебр (над различными делениями k-алгебры), факт, известный как Теорема Артина – Веддерберна.

Дело в том, что А Артиниан упрощает понятие радикала Джекобсона; для артинового кольца радикал Джекобсона кольца А является пересечением всех (двусторонних) максимальных идеалов (напротив, в общем случае радикал Джекобсона - это пересечение всех левых максимальных идеалов или пересечение всех правых максимальных идеалов).

В Основная теорема Веддерберна состояния:^[6] для конечномерной алгебры А с нильпотентным идеалом я, если проективная размерность ${displaystyle A / I}$ как ${displaystyle (A / I) ^ {e}}$ -модуль не более одного, тогда естественная сюръекция ${displaystyle p: A o A / I}$ раскалывает; т.е. ${displaystyle A}$ содержит подалгебру ${displaystyle B}$ такой, что ${displaystyle p | _ {B}: B {overset {sim} {o}} A / I}$ является изоморфизмом. Принимая я чтобы быть радикалом Джекобсона, теорема, в частности, утверждает, что радикал Джекобсона дополняется полупростой алгеброй. Теорема является аналогом Теорема Леви за Алгебры Ли.

Решетки и заказы

Позволять р - нётерова область целостности с полем дробей K (например, они могут быть ${displaystyle mathbb {Z}, mathbb {Q}}$ ). А решетка L в конечномерном K-векторное пространство V является конечно порожденным р-подмодуль V что охватывает V; другими словами, ${displaystyle Lotimes _ {R} K = V}$ .

Позволять ${displaystyle A_ {K}}$ быть конечномерным K-алгебра. An порядок в ${displaystyle A_ {K}}$ является р-подалгебра, являющаяся решеткой. В общем, порядков намного меньше, чем решеток; например., ${displaystyle {1 over 2} mathbb {Z}}$ решетка в ${displaystyle mathbb {Q}}$ но не порядок (поскольку это не алгебра).^[7]

А максимальный порядок - это порядок, который является максимальным среди всех заказов.

Связанные понятия

Коалгебры

Ассоциативная алгебра над K дается K-векторное пространство А наделен билинейной картой А × А → А имеющий два входа (мультипликатор и множимое) и один выход (продукт), а также морфизм K → А определение скалярных кратных мультипликативной идентичности. Если билинейная карта А × А → А интерпретируется как линейное отображение (т. е. морфизм в категории K-векторные пространства) А ⊗ А → А (посредством универсальное свойство тензорного произведения ), то мы можем рассматривать ассоциативную алгебру над K как K-векторное пространство А наделен двумя морфизмами (один вида А ⊗ А → А и одна из форм K → А), удовлетворяющие некоторым условиям, сводящимся к аксиомам алгебры. Эти два морфизма можно дуализировать, используя категориальная двойственность перевернув все стрелки на коммутативные диаграммы которые описывают алгебру аксиомы; это определяет структуру коалгебра.

Существует также абстрактное понятие F-коалгебра, куда F это функтор. Это отдаленно связано с понятием коалгебры, обсуждавшимся выше.

Представления

А представление алгебры А является гомоморфизмом алгебр ρ : А → Конец (V) из А в алгебру эндоморфизмов некоторого векторного пространства (или модуля) V. Собственность ρ гомоморфизм алгебр означает, что ρ сохраняет мультипликативную операцию (то есть ρ(ху) = ρ(Икс)ρ(у) для всех Икс и у в А), и что ρ отправляет единицу А в единицу End (V) (т. е. тождественному эндоморфизму V).

Если А и B две алгебры, и ρ : А → Конец (V) и τ : B → Конец (W) - два представления, то существует (каноническое) представление А ${displaystyle otimes}$ B → Конец (V ${displaystyle otimes}$ W) алгебры тензорного произведения А ${displaystyle otimes}$ B в векторном пространстве V ${displaystyle otimes}$ W. Однако естественного способа определения тензорное произведение двух представлений единой ассоциативной алгебры таким образом, чтобы результат оставался представлением той же самой алгебры (а не ее тензорного произведения с самим собой) без каких-либо дополнительных условий. Здесь по тензорное произведение представлений, подразумевается обычный смысл: результатом должно быть линейное представление той же алгебры в векторном пространстве произведения. Создание такой дополнительной структуры обычно приводит к идее Алгебра Хопфа или Алгебра Ли, как показано ниже.

Мотивация для алгебры Хопфа

Рассмотрим, например, два представления ${displaystyle sigma: Aightarrow mathrm {End} (V)}$ и ${displaystyle au: Aightarrow mathrm {End} (W)}$ . Можно попытаться сформировать тензорное представление произведения ${displaystyle ho: xmapsto sigma (x) otimes au (x)}$ в соответствии с тем, как он действует в векторном пространстве продукта, так что

{displaystyle ho (x) (votimes w) = (sigma (x) (v)) otimes (au (x) (w)).}

Однако такая карта не будет линейной, поскольку

{displaystyle ho (kx) = sigma (kx) otimes au (kx) = ksigma (x) otimes k au (x) = k ^ {2} (sigma (x) otimes au (x)) = k ^ {2} хо (х)}

за k ∈ K. Можно спасти эту попытку и восстановить линейность, наложив дополнительную структуру, определив гомоморфизм алгебр Δ: А → А ⊗ А, и определив представление тензорного произведения как

{displaystyle ho = (sigma otimes au) circ Delta.}

Такой гомоморфизм ∆ называется коумножение если он удовлетворяет определенным аксиомам. Полученная структура называется биалгебра. Чтобы соответствовать определениям ассоциативной алгебры, коалгебра должна быть коассоциативной, и, если алгебра унитальна, то коалгебра также должна быть ко-унитальной. А Алгебра Хопфа представляет собой биалгебру с дополнительной частью структуры (так называемый антипод), которая позволяет определить не только тензорное произведение двух представлений, но и модуль Hom двух представлений (опять же, аналогично тому, как это делается в представлении теория групп).

Мотивация для алгебры Ли

Можно попробовать поумнее определить тензорное произведение. Рассмотрим, например,

{displaystyle xmapsto ho (x) = sigma (x) otimes {mbox {Id}} _ {W} + {mbox {Id}} _ {V} otimes au (x)}

так что действие в пространстве тензорного произведения задается формулой

{displaystyle ho (x) (votimes w) = (sigma (x) v) otimes w + votimes (au (x) w)}

.

Эта карта явно линейна по Икс, и поэтому у него нет проблемы с предыдущим определением. Однако при этом не удается сохранить умножение:

{displaystyle ho (xy) = sigma (x) sigma (y) otimes {mbox {Id}} _ {W} + {mbox {Id}} _ {V} otimes au (x) au (y)}

.

Но, в общем, это не равно

{displaystyle ho (x) ho (y) = sigma (x) sigma (y) otimes {mbox {Id}} _ {W} + sigma (x) otimes au (y) + sigma (y) otimes au (x) + {mbox {Id}} _ {V} otimes au (x) au (y)}

.

Это показывает, что такое определение тензорного произведения слишком наивно; очевидное исправление состоит в том, чтобы определить его так, чтобы он был антисимметричным, чтобы два средних члена сокращались. Это приводит к концепции Алгебра Ли.

Неунитальные алгебры

Некоторые авторы используют термин «ассоциативная алгебра» для обозначения структур, которые не обязательно имеют мультипликативную идентичность, и, следовательно, рассматривают гомоморфизмы, которые не обязательно являются унитальными.

Одним из примеров неунитальной ассоциативной алгебры является набор всех функций ж: р → р чей предел в качестве Икс почти бесконечность равна нулю.

Другой пример - векторное пространство непрерывных периодических функций вместе с продукт свертки.

Смотрите также

Абстрактная алгебра
Алгебраическая структура
Алгебра над полем
Пучок алгебр, своего рода алгебру над окольцованное пространство

Примечания

^ Техническое примечание: мультипликативное тождество является данным (существует забывчивый функтор из категории ассоциативных алгебр с единицей в категорию, возможно, неунитальных ассоциативных алгебр), а ассоциативность - это свойство. Из-за уникальности мультипликативного тождества «унитарность» часто рассматривается как свойство.
^ От редакции: как оказалось, ${displaystyle A ^ {e}}$ в интересных случаях представляет собой полное кольцо матриц, и более принято позволять матрицам действовать справа.
^ Кон 2003, § 4.7.
^ Чтобы увидеть эквивалентность, обратите внимание на раздел ${displaystyle Aotimes _ {R} A o A}$ может использоваться для построения участка сюръекции.
^ Уотерхаус 1979, § 6.2.
^ Кон 2003, Теорема 4.7.5.
^ Артин 1999, Гл. IV, § 1.