Пучок алгебр - Википедия - Sheaf of algebras

В алгебраической геометрии a пучок алгебр на окольцованное пространство Икс это пучок коммутативных колец на Икс это тоже пучок ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$ -модули. это квазикогерентный если это так как модуль.

Когда Икс это схема, как кольцо, можно взять глобальная спецификация квазикогерентного пучка алгебр: это приводит к контравариантному функтору ${ displaystyle operatorname {Spec} _ {X}}$ из категории квазикогерентных (пучков) ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$ -алгебры на Икс к категории схем, которые аффинный над Икс (определено ниже). Более того, это эквивалентность: квазиобратное выражение задается отправкой аффинного морфизма ${ displaystyle f: от Y до X}$ к ${ displaystyle f _ {*} { mathcal {O}} _ {Y}.}$ ^[1]

Аффинный морфизм

А морфизм схем ${ displaystyle f: от X до Y}$ называется аффинный если ${ displaystyle Y}$ имеет открытую аффинную обложку ${ displaystyle U_ {i}}$ такой, что ${ displaystyle f ^ {- 1} (U_ {i})}$ аффинны.^[2] Например, конечный морфизм аффинно. Аффинный морфизм квазикомпактный и отделенный; в частности, прямой образ квазикогерентного пучка вдоль аффинного морфизма квазикогерентен.

Замена базы аффинного морфизма аффинна.^[3]

Позволять ${ displaystyle f: от X до Y}$ быть аффинным морфизмом между схемами и ${ displaystyle E}$ а локально окольцованное пространство вместе с картой ${ displaystyle g: E to Y}$ . Тогда естественная карта между множествами:

{ displaystyle operatorname {Mor} _ {Y} (E, X) to operatorname {Hom} _ {{ mathcal {O}} _ {Y} - { text {alg}}} (f _ {* } { mathcal {O}} _ {X}, g _ {*} { mathcal {O}} _ {E})}

биективен.^[4]

Примеры

Позволять ${ displaystyle f: { widetilde {X}} to X}$ - нормализация алгебраического многообразия Икс. Тогда, поскольку ж конечно, ${ displaystyle f _ {*} { mathcal {O}} _ { widetilde {X}}}$ квазикогерентен и ${ displaystyle operatorname {Spec} _ {X} (f _ {*} { mathcal {O}} _ { widetilde {X}}) = { widetilde {X}}}$ .
Позволять ${ displaystyle E}$ - локально свободный пучок конечного ранга на схеме Икс. потом ${ displaystyle operatorname {Sym} (E ^ {*})}$ является квазикогерентным ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$ -алгебра и ${ displaystyle operatorname {Spec} _ {X} ( operatorname {Sym} (E ^ {*})) to X}$ ассоциированное векторное расслоение над Икс (называется общим пространством ${ displaystyle E}$ .)
В более общем смысле, если F является связным пучком на Икс, то еще есть ${ displaystyle operatorname {Spec} _ {X} ( operatorname {Sym} (F)) to X}$ , обычно называемый абелевой оболочкой F; видеть Конус (алгебраическая геометрия) # Примеры.

Формирование прямых образов

Учитывая окольцованное пространство S, есть категория ${ displaystyle C_ {S}}$ пар ${ Displaystyle (е, М)}$ состоящий из окольцованного морфизма пространства ${ displaystyle f: X to S}$ и ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$ -модуль ${ displaystyle M}$ . Тогда формирование прямых образов определяет контравариантный функтор из ${ displaystyle C_ {S}}$ в категорию пар, состоящих из ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {S}}$ -алгебра А и А-модуль M который отправляет каждую пару ${ Displaystyle (е, М)}$ к паре ${ displaystyle (f _ {*} { mathcal {O}}, f _ {*} M)}$ .

Теперь предположим S схема, а затем пусть ${ displaystyle operatorname {Aff} _ {S} subset C_ {S}}$ - подкатегория, состоящая из пар ${ Displaystyle (е: X к S, M)}$ такой, что ${ displaystyle f}$ является аффинным морфизмом между схемами и ${ displaystyle M}$ квазикогерентный пучок на ${ displaystyle X}$ . Тогда указанный выше функтор определяет эквивалентность между ${ displaystyle operatorname {Aff} _ {S}}$ и категория пар ${ Displaystyle (А, М)}$ состоящий из ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {S}}$ -алгебра А и квазикогерентный ${ displaystyle A}$ -модуль ${ displaystyle M}$ .^[5]

Вышеупомянутую эквивалентность можно использовать (среди прочего) для выполнения следующей конструкции. Как и раньше, учитывая схему S, позволять А быть квазикогерентным ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {S}}$ -алгебра, а затем взять ее глобальную спецификацию: ${ displaystyle f: X = operatorname {Spec} _ {S} (A) to S}$ . Тогда для каждого квазикогерентного А-модуль M, существует соответствующая квазикогерентная ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$ -модуль ${ displaystyle { widetilde {M}}}$ такой, что ${ displaystyle f _ {*} { widetilde {M}} simeq M,}$ называется связкой, связанной с M. Другими словами, ${ displaystyle f _ {*}}$ определяет эквивалентность категории квазикогерентных ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$ -модули и квазикогерентные ${ displaystyle A}$ -модули.

Смотрите также

внешняя ссылка

https://ncatlab.org/nlab/show/affine+morphism

[1] EGA 1971, Гл. I, Теорема 9.1.4.

[2] EGA 1971, Гл. I, определение 9.1.1.

[3] Stacks Project, тег 01S5.

[4] EGA 1971, Гл. I, предложение 9.1.5.

[5] EGA 1971, Гл. I, Теорема 9.2.1.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]