Конечный морфизм - Finite morphism

В алгебраическая геометрия, морфизм ж: ИксY из схемы это конечный морфизм если Y имеет открытая крышка к аффинные схемы

так что для каждого я,

является открытой аффинной подсхемой Spec Ая, а ограничение ж к Uя, что индуцирует кольцевой гомоморфизм

делает Ая а конечно порожденный модуль над Bя.[1] Еще говорят, что Икс является конечный над Y.

Фактически, ж конечно тогда и только тогда, когда для каждый открытая аффинная открытая подсхема V = Спецификация B в Y, прообраз V в Икс является аффинным, имеет вид Spec А, с А конечно порожденный B-модуль.[2]

Например, для любого поле k, является конечным морфизмом, поскольку в качестве -модули. Геометрически это очевидно конечно, так как это разветвленное n-листное покрытие аффинной прямой, которое вырождается в нуле. Напротив, включение А1 - 0 в А1 не конечно. (Действительно, Многочлен Лорана звенеть k[у, у−1] не конечно порожден как модуль над k[у].) Это ограничивает нашу геометрическую интуицию сюръективными семействами с конечными слоями.

Свойства конечных морфизмов

  • Композиция двух конечных морфизмов конечна.
  • Любой изменение базы конечного морфизма ж: ИксY конечно. То есть, если грамм: Z → Y - любой морфизм схем, то полученный морфизм Икс ×Y ZZ конечно. Это соответствует следующему алгебраическому утверждению: если А и C являются (коммутативными) B-алгебры и А конечно порождается как B-модуль, затем тензорное произведение АB C конечно порожден как C-модуль. В самом деле, в качестве образующих можно взять элементы ая ⊗ 1, где ая являются данными генераторами А как B-модуль.
  • Закрытые погружения конечны, поскольку они локально задаются АА/я, куда я это идеальный соответствующей замкнутой подсхеме.
  • Конечные морфизмы замкнуты, следовательно (из-за их устойчивости относительно замены базы) правильный.[3] Это следует из подниматься Теорема Коэна-Зайденберга в коммутативной алгебре.
  • Конечные морфизмы имеют конечные слои (т. Е. квазиконечный ).[4] Это следует из того, что для поля k, каждое конечное k-алгебра - это Артинианское кольцо. Связанное с этим утверждение состоит в том, что для конечного сюръективного морфизма ж: ИксY, Икс и Y имеют то же самое измерение.
  • К Делинь, морфизм схем конечен тогда и только тогда, когда он собственный и квазиконечный.[5] Это было показано Гротендик если морфизм ж: ИксY является локально конечного представления, что следует из других предположений, если Y является Нётерян.[6]
  • Конечные морфизмы проективны и аффинный.[7]

Морфизмы конечного типа

Для гомоморфизма АB коммутативных колец, B называется А-алгебра конечный тип если B это конечно порожденный как А-алгебра. Это намного сильнее для B быть конечный А-алгебра, что означает, что B конечно порожден как А-модуль. Например, для любого коммутативного кольца А и натуральное число п, кольцо многочленов А[Икс1, ..., Иксп] является А-алгебра конечного типа, но не конечная А-модуль, если А = 0 или п = 0. Другой пример морфизма конечного типа, который не является конечным, - это .

Аналогичное понятие в терминах схем: морфизм ж: ИксY схем из конечный тип если Y имеет покрытие аффинными открытыми подсхемами Vя = Спецификация Ая такой, что ж−1(Vя) имеет конечное покрытие аффинными открытыми подсхемами Uij = Спецификация Bij с Bij ан Ая-алгебра конечного типа. Еще говорят, что Икс имеет конечный тип над Y.

Например, для любого натурального числа п и поле k, аффинный п-пространственный и проективный п-пространство над k имеют конечный тип над k (то есть по Spec k), а они не конечны над k пока не п = 0. В общем, любое квазипроективная схема над k имеет конечный тип над k.

В Лемма Нётер о нормализации в геометрических терминах говорит, что каждая аффинная схема Икс конечного типа над полем k имеет конечный сюръективный морфизм в аффинное пространство Ап над k, куда п это размер Икс. Точно так же каждый проективная схема Икс над полем имеет конечный сюръективный морфизм проективное пространство пп, куда п это размер Икс.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Hartshorne (1977), раздел II.3.
  2. ^ Stacks Project, тег 01WG.
  3. ^ Stacks Project, тег 01WG.
  4. ^ Stacks Project, тег 01WG.
  5. ^ Гротендик, EGA IV, часть 4, Corollaire 18.12.4.
  6. ^ Гротендик, EGA IV, Часть 3, Теорема 8.11.1.
  7. ^ Stacks Project, тег 01WG.

Рекомендации

внешняя ссылка