Артинианское кольцо - Artinian ring

В абстрактная алгебра, Артинианское кольцо (иногда Кольцо Artin) это кольцо что удовлетворяет состояние нисходящей цепочки на идеалы; то есть не существует бесконечной нисходящей последовательности идеалов. Артинианские кольца названы в честь Эмиль Артин, который первым обнаружил, что условие убывающей цепи для идеалов одновременно обобщает конечные кольца и конечномерные кольца векторные пространства над поля. Определение артиновых колец можно переформулировать, заменив условие убывающей цепи на эквивалентное понятие: минимальное условие.

Кольцо покинул Артиниан если он удовлетворяет условию убывающей цепи на левых идеалах, правый Артиниан если он удовлетворяет условию убывающей цепи на правых идеалах, и Артиниан или двусторонний Артиниан если и левый, и правый артинианский. Для коммутативные кольца левое и правое определения совпадают, но в целом они отличаются друг от друга.

В Теорема Артина – Веддерберна характеризует все просто Артиновские кольца как кольцо матриц через делительное кольцо. Отсюда следует, что простое кольцо артиново слева тогда и только тогда, когда оно артиново справа.

То же определение и терминология могут быть применены к модули, с заменой идеалов на подмодули.

Хотя условие нисходящей цепи кажется двойным по сравнению с условие возрастающей цепи, в кольцах это фактически более сильное условие. В частности, следствие Теорема Акизуки – Хопкинса – Левицки. состоит в том, что левое (соответственно правое) артиново кольцо автоматически является левым (соответственно правым) Кольцо Нётериана. Это не верно для общих модулей; то есть Артинианский модуль не обязательно быть Модуль Нётерана.

Примеры

• An область целостности артиново тогда и только тогда, когда это поле.
• Кольцо с конечным числом, скажем, левых идеалов остается артиновым слева. В частности, конечное кольцо (например., ${ Displaystyle mathbb {Z} / п mathbb {Z}}$) является левым и правым артиновым.
• Позволять k быть полем. потом ${ Displaystyle к [т] / (т ^ {п})}$ артиново для любого натурального числа п.
• Так же, ${ Displaystyle к [х, y] / (х ^ {2}, y ^ {3}, ху ^ {2}) = к oplus k cdot x oplus k cdot y oplus k cdot xy oplus k cdot y ^ {2}}$ - артиново кольцо с максимальным идеалом ${ Displaystyle (х, у)}$
• Если я является ненулевым идеалом Дедекиндский домен А, тогда ${ displaystyle A / I}$ это главный Артиновское кольцо.^[1]
• Для каждого ${ Displaystyle п geq 1}$, полное матричное кольцо ${ Displaystyle M_ {п} (R)}$ над артиновым слева (соответственно нётеровым слева) кольцом р лево-артиново (соответственно лево-нётерское).^[2]

Кольцо целых чисел ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ является нётеровым кольцом, но не артиново.

Модули над артиновыми кольцами

Позволять M - левый модуль над артиновым слева кольцом. Тогда следующие эквивалентны (Теорема Хопкинса ): (i) M конечно порожден, (ii) M имеет конечная длина (т.е. имеет серия композиций ), (iii) M нетеровский, (iv) M Артиниан.^[3]

Коммутативные артиновы кольца

Позволять А коммутативное нётерово кольцо с единицей. Тогда следующие эквивалентны.

• А Артиниан.
• А является конечным произведением коммутативных артиновых локальных колец.^[4]
• А / ноль (А) это полупростое кольцо, где nil (А) это нильрадикал из А.^{[нужна цитата ]}
• Каждый конечно порожденный модуль над А имеет конечную длину. (см. выше)
• А имеет Измерение Крулля нуль.^[5] (В частности, нильрадикал является радикалом Джекобсона, поскольку простые идеалы максимальны.)
• ${ displaystyle operatorname {Spec} A}$ конечно и дискретно.
• ${ displaystyle operatorname {Spec} A}$ дискретно.^[6]

Позволять k быть полем и А конечно порожденный k-алгебра. потом А артиново тогда и только тогда, когда А конечно порожден как k-модуль.

Артиново локальное кольцо полно. Фактор и локализация артинового кольца артинова.

Кольцо Simple Artinian

Простое артиновское кольцо А кольцо матриц над телом. Действительно,^[7] позволять я - минимальный (ненулевой) правый идеал А. Тогда, поскольку ${ displaystyle AI}$ двусторонний идеал, ${ displaystyle AI = A}$ поскольку А просто. Таким образом, мы можем выбрать ${ displaystyle a_ {i} in A}$ так что ${ displaystyle 1 in a_ {1} I + cdots + a_ {k} I}$. Предполагать k минимальна по этому свойству. Рассмотрим карту правого А-модули:

${ displaystyle { begin {cases} I ^ { oplus k} to A, (y_ {1}, dots, y_ {k}) mapsto a_ {1} y_ {1} + cdots + a_ {k} y_ {k} end {cases}}}$

Это сюръективно. Если это не инъективно, то, скажем, ${ displaystyle a_ {1} y_ {1} = a_ {2} y_ {2} + cdots + a_ {k} y_ {k}}$ с ненулевым ${ displaystyle y_ {1}}$. Тогда в силу минимальности я, у нас есть: ${ displaystyle y_ {1} A = I}$. Следует:

${ displaystyle a_ {1} I = a_ {1} y_ {1} A subset a_ {2} I + cdots + a_ {k} I}$,

что противоречит минимальности k. Следовательно, ${ Displaystyle I ^ { oplus k} simeq A}$ и поэтому ${ displaystyle A simeq operatorname {End} _ {A} (A) simeq M_ {k} ( operatorname {End} _ {A} (I))}$.

Смотрите также

• Алгебра Артина
• Артинианский идеал
• Последовательный модуль
• Полусовершенное кольцо
• Кольцо Горенштейна
• Кольцо Нётериана

Заметки

использованная литература

• Ауслендер, Морис; Рейтен, Идун; Смало, Сверре О. (1995), Теория представлений алгебр Артина, Кембриджские исследования в области высшей математики, 36, Издательство Кембриджского университета, Дои:10.1017 / CBO9780511623608, ISBN  978-0-521-41134-9, Г-Н  1314422
• Бурбаки, Альжебр
• Чарльз Хопкинс. Кольца с условием минимальности левых идеалов. Анна. математики. (2) 40, (1939). 712–730.
• Атья, Майкл Фрэнсис; Макдональд, И. (1969), Введение в коммутативную алгебру, Westview Press, ISBN  978-0-201-40751-8
• Кон, Пол Мориц (2003). Базовая алгебра: группы, кольца и поля. Springer. ISBN  978-1-85233-587-8.