Кольцо Нётериана - Noetherian ring

В математика, а точнее в области абстрактная алгебра известный как теория колец, а Кольцо Нётериана это звенеть что удовлетворяет условие возрастающей цепи слева и справа идеалы; то есть для любой возрастающей последовательности левых (или правых) идеалов:

${ Displaystyle I_ {1} substeq cdots substeq I_ {k-1} substeq I_ {k} substeq I_ {k + 1} substeq cdots,}$

существует натуральное число п такой, что:

${ displaystyle I_ {n} = I_ {n + 1} = cdots.}$

Кольца Нётерана названы в честь Эмми Нётер.

Понятие нетерова кольца имеет фундаментальное значение как в коммутативный и некоммутативный теория колец из-за той роли, которую она играет в упрощении идеальной структуры кольца. Например, кольцо целые числа и кольцо многочленов через поле оба нётеровы кольца, и, следовательно, такие теоремы, как Теорема Ласкера – Нётер, то Теорема Крулля о пересечении, и Базисная теорема Гильберта держитесь за них. Кроме того, если кольцо нётерово, то оно удовлетворяет условию состояние нисходящей цепочки на главные идеалы. Это свойство наводит на мысль о глубокой теории размерности нётеровых колец, начиная с понятия Измерение Крулля.

Характеристики

За некоммутативные кольца, необходимо различать три очень похожих понятия:

• Кольцо лево-нётерский если он удовлетворяет условию возрастающей цепи на левых идеалах.
• Кольцо право-нётерский если он удовлетворяет условию возрастающей цепи на правых идеалах.
• Кольцо Нётерян если он одновременно лево-нётерский и правый.

За коммутативные кольца, все три понятия совпадают, но в целом они разные. Есть кольца, которые нётеровы слева, а не справа, и наоборот.

Существуют и другие эквивалентные определения кольца р быть лево-нётерянским:

• Каждый левый идеал я в р является конечно порожденный, т.е. существуют элементы ${ displaystyle a_ {1}, ldots, a_ {n}}$ в я такой, что ${ displaystyle I = Ra_ {1} + cdots + Ra_ {n}}$.^[1]
• Каждый непустой набор левых идеалов р, частично упорядоченный включением, имеет максимальный элемент.^[1]

Аналогичные результаты справедливы для нётеровых справа колец.

Следующее условие также является эквивалентным условием для кольца р быть лево-нётеровым, и это оригинальная формулировка Гильберта:^[2]

• Учитывая последовательность ${ displaystyle f_ {1}, f_ {2}, dots}$ элементов в р, существует целое число ${ displaystyle n}$ так что каждый ${ displaystyle f_ {i}}$ конечная линейная комбинация ${ textstyle f_ {i} = sum _ {j = 1} ^ {n} r_ {j} f_ {j}}$ с коэффициентами ${ displaystyle r_ {j}}$ в р.

Для того чтобы коммутативное кольцо было нётеровым, достаточно, чтобы любой первичный идеал кольца был конечно порождён.^[3]

Характеристики

• Если р является нётеровым кольцом, то кольцо многочленов ${ Displaystyle R [X]}$ Нётериан Базисная теорема Гильберта. По индукции ${ Displaystyle R [X_ {1}, ldots, X_ {n}]}$ является нётеровым кольцом. Также, р[[Икс]], то кольцо серии power является нётеровым кольцом.
• Если р является нётеровым кольцом и я двусторонний идеал, то кольцо частного р/я тоже нётерский. Иными словами, образ любого сюръективного гомоморфизм колец нётерского кольца является нётеровым.
• Всякая конечно порожденная коммутативная алгебра над коммутативным нётеровым кольцом нётерова. (Это следует из двух предыдущих свойств.)
• Кольцо р является нётеровым слева тогда и только тогда, когда каждое конечно порожденное оставили р-модуль это Модуль Нётерана.
• Если коммутативное кольцо допускает верный Над ним нетерова модуля, то кольцо будет нётеровым.^[4]
• (Икин – Нагата ) Если кольцо А подкольцо коммутативного нётерова кольца B такой, что B является конечно порожденным модулем над А, тогда А является нётеровым кольцом.^[5]
• Аналогично, если кольцо А подкольцо коммутативного нётерова кольца B такой, что B является точно плоский над А (или вообще экспонаты А как чистое подкольцо ), тогда А является нётеровым кольцом (рассуждения см. в статье о «точно плоской»).
• Каждый локализация коммутативного нётерова кольца нётерово.
• Следствие Теорема Акизуки-Хопкинса-Левицки это каждый левый Артинианское кольцо остается Нётериан. Другое следствие состоит в том, что артиново слева кольцо нётерово справа тогда и только тогда, когда артиново справа. Аналогичные утверждения с заменой «правого» и «левого» также верны.
• Левое нётеровское кольцо осталось последовательный и левый нётер домен левый Рудный домен.
• (Бас) Кольцо (слева / справа) нетерово тогда и только тогда, когда каждая прямая сумма инъективные (левые / правые) модули инъективно. Каждый левый инъективный модуль над левым нётеровым модулем может быть разложен в прямую сумму неразложимый инъективные модули.^[6]
• В коммутативном нётеровом кольце существует лишь конечное число минимальные простые идеалы. Так же состояние нисходящей цепочки держится на простых идеалах.
• В коммутативной нётеровой области р, каждый элемент можно разложить на неприводимые элементы. Таким образом, если, кроме того, неприводимые элементы основные элементы, тогда р это уникальная область факторизации.

Примеры

• Любое поле, включая поля рациональное число, действительные числа, и сложные числа, является нётерским. (У поля есть только два идеала - само себя и (0).)
• Любой кольцо главных идеалов, такой как целые числа, является нётеровым, поскольку каждый идеал порождается одним элементом. Это включает в себя области главных идеалов и Евклидовы области.
• А Дедекиндский домен (например., кольца целых чисел ) является нётеровой областью, в которой каждый идеал порождается не более чем двумя элементами.
• В координатное кольцо аффинного многообразия является нётеровым кольцом как следствие теоремы о базисе Гильберта.
• Обертывающая алгебра U конечномерной алгебры Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ является левым и правым нётеровым кольцом; это следует из того, что ассоциированное градуированное кольцо U является частным от ${ displaystyle operatorname {Sym} ({ mathfrak {g}})}$, которое является кольцом многочленов над полем; таким образом, Нётериан.^[7] По той же причине Алгебра Вейля, и более общие кольца дифференциальные операторы, являются нётерскими.^[8]
• Кольцо многочленов от конечного числа переменных над целыми числами или полем нетерово.

Кольца, которые не являются нётерскими, обычно (в некотором смысле) очень большие. Вот несколько примеров нётеровых колец:

• Кольцо многочленов от бесконечного числа переменных, Икс₁, Икс₂, Икс₃и т. д. Последовательность идеалов (Икс₁), (Икс₁, Икс₂), (Икс₁, Икс₂, Икс₃) и т. д. идет по возрастанию и не заканчивается.
• Кольцо всего алгебраические целые числа не нётерский. Например, он содержит бесконечную восходящую цепочку главных идеалов: (2), (2^1/2), (2^1/4), (2^1/8), ...
• Кольцо непрерывных функций от действительных чисел к действительным числам не является нётеровым: пусть я_п быть идеалом всех непрерывных функций ж такой, что ж(Икс) = 0 для всех Икс ≥ п. Последовательность идеалов я₀, я₁, я₂и т. д. - это восходящая цепочка, которая не заканчивается.
• Кольцо стабильные гомотопические группы сфер не нётерский. ^[9]

Однако нётерово кольцо может быть подкольцом нётерова кольца. Поскольку любая область целостности является подкольцом поля, любая область целостности, не являющаяся нётеровой, может служить примером. Чтобы дать менее тривиальный пример,

• Кольцо рациональных функций, порожденное Икс и у/Икс^п над полем k это подкольцо поля k(Икс,у) только в двух переменных.

В самом деле, есть кольца, которые являются правильными нётерскими, но не левыми нётерскими, так что нужно быть осторожным при измерении «размера» кольца таким образом. Например, если L является подгруппой Q² изоморфен Z, позволять р кольцо гомоморфизмов ж из Q² себе удовлетворение ж(L) ⊂ L. Выбирая основу, мы можем описать то же кольцо р в качестве

${ Displaystyle R = left { left. { begin {bmatrix} a & beta 0 & gamma end {bmatrix}} , right vert , a in mathbb {Z}, бета in mathbb {Q}, gamma in mathbb {Q} right }.}$

Это кольцо нётерианское право, но не нётерское левое; подмножество я⊂р состоящий из элементов с а= 0 и γ= 0 - левый идеал, не конечнопорожденный как левый р-модуль.

Если р коммутативное подкольцо нётерова слева кольца S, и S конечно порождена как левая р-модуль, затем р Нётерян.^[10] (В частном случае, когда S коммутативен, это известно как Теорема Икина.) Однако это неверно, если р не коммутативен: кольцо р предыдущего абзаца - это подкольцо левого нётерова кольца S = Hom (Q²,Q²), и S конечно порождена как левая р-модуль, но р не оставил Нётериана.

А уникальная область факторизации не обязательно нётеровское кольцо. Он удовлетворяет более слабому условию: условие возрастающей цепи на главных идеалах. Кольцо многочленов от бесконечного числа переменных является примером нётеровой уникальной области факторизации.

А оценочное кольцо не является нётеровым, если не является основной идеальной областью. Он дает пример кольца, которое естественно возникает в алгебраической геометрии, но не является нётеровым.

Ключевые теоремы

Многие важные теоремы теории колец (особенно теория коммутативные кольца ) полагаются на предположения нётеровы кольца.

Коммутативный падеж

• Над коммутативным нётеровым кольцом каждый идеал имеет первичное разложение, что означает, что его можно записать как пересечение конечного числа примарных идеалов (чьи радикалы все различны), где идеал Q называется начальный если это правильный и когда ху ∈ Q, либо Икс ∈ Q или же у^п ∈ Q для некоторого положительного целого числа п. Например, если элемент ${ displaystyle f = p_ {1} ^ {n_ {1}} cdots p_ {r} ^ {n_ {r}}}$ является произведением степеней различных простых элементов, то ${ displaystyle (f) = (p_ {1} ^ {n_ {1}}) cap cdots cap (p_ {r} ^ {n_ {r}})}$ и, таким образом, первичное разложение является прямым обобщением факторизации на простые множители целых чисел и многочленов.^[11]
• Нётерово кольцо определяется в терминах восходящих цепочек идеалов. В Лемма Артина – Риса., с другой стороны, дает некоторую информацию о нисходящей цепочке идеалов, задаваемых силами идеалов ${ Displaystyle I supseteq I ^ {2} supseteq I ^ {3} supseteq cdots}$. Это технический инструмент, который используется для доказательства других ключевых теорем, таких как Теорема Крулля о пересечении.
• В теория размерности коммутативных колец плохо себя ведет над нётеровыми кольцами; самая фундаментальная теорема, Теорема Крулля о главном идеале, уже опирается на «нётерское» предположение. В действительности здесь «нётерского» допущения часто бывает недостаточно, и (нётерян) универсальные контактные кольца вместо них часто используются те, которые удовлетворяют определенному теоретико-размерному предположению. Кольца Нётерана, появляющиеся в приложениях, в основном являются универсальной цепочкой.

Некоммутативный случай

Эта секция нуждается в расширении. Вы можете помочь добавляя к этому. (Декабрь 2019 г.)

• Теорема Голди

Влияние на инъективные модули

Учитывая кольцо, существует тесная связь между поведением инъективные модули над кольцом и независимо от того, является ли оно нётеровым или нет. А именно дали кольцо р, следующие эквиваленты:

• р - нётерово левое кольцо.
• (Бас) Каждая прямая сумма инъективного левого р-модули инъективен.^[6]
• Каждая инъекция слева р-модуль представляет собой прямую сумму неразложимый инъективные модули.^[12]
• (Фейт-Уокер) Существует количественное числительное ${ displaystyle { mathfrak {c}}}$ такой, что каждый инъективный левый модуль над р прямая сумма ${ displaystyle { mathfrak {c}}}$-генерированные модули (модуль ${ displaystyle { mathfrak {c}}}$-генерируется, если у него есть генераторная установка мощности не более ${ displaystyle { mathfrak {c}}}$).^[13]
• Есть левый р-модуль ЧАС так что каждый остался р-модуль встраивается в прямую сумму копий ЧАС.^[14]

Кольцо эндоморфизмов неразложимого инъективного модуля локально^[15] и поэтому Теорема Адзумая говорит, что над нётеровым слева кольцом каждое неразложимое разложение инъективного модуля эквивалентно друг другу (вариант Теорема Крулля – Шмидта ).

Смотрите также

• Теорема Крулля – Акизуки
• Схема Нётера
• Артинианское кольцо

Примечания

Рекомендации

• Андерсон, Фрэнк У .; Фуллер, Кент Р. (1992), Кольца и категории модулей, Тексты для выпускников по математике, 13 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. X + 376, Дои:10.1007/978-1-4612-4418-9, ISBN  0-387-97845-3, МИСТЕР  1245487
• Николя Бурбаки, Коммутативная алгебра
• Эйзенбуд, Дэвид (1995). Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии. Тексты для выпускников по математике. 150. Springer-Verlag. Дои:10.1007/978-1-4612-5350-1. ISBN  0-387-94268-8.
• Форманек, Эдвард; Джатегаонкар, Арун Винаяк (1974). «Подколца нётеровых колец». Труды Американского математического общества. 46 (2): 181–186. Дои:10.2307/2039890.
• Хотта, Риоши; Такеучи, Киёси; Танисаки, Тосиюки (2008), D-модули, извращенные пучки и теория представлений, Успехи в математике, 236, Биркхойзер, Дои:10.1007/978-0-8176-4523-6, ISBN  978-0-8176-4363-8, МИСТЕР  2357361, Zbl  1292.00026
• Лам, Цит Юэн (2001). Первый курс некоммутативных колец. Тексты для выпускников по математике. 131 (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. п. 19. Дои:10.1007/978-1-4419-8616-0. ISBN  0387951830. МИСТЕР  1838439.
• Глава X Ланг, Серж (1993), Алгебра (Третье изд.), Ридинг, Массачусетс: Addison-Wesley, ISBN  978-0-201-55540-0, Zbl  0848.13001
• Мацумура, Хидеюки (1989), Коммутативная теория колец, Кембриджские исследования в области высшей математики (2-е изд.), Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-36764-6

внешняя ссылка

• "Нётерское кольцо", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]