Кольцо (математика) - Ring (mathematics)

Алгебраическая структура → Теория колец Теория колец
Базовые концепты Кольца • Подкольца • Идеально • Факторное кольцо • Дробный идеал • Общее кольцо частного • Кольцо продукта • Свободное произведение ассоциативных алгебр • Тензорное произведение колец Гомоморфизмы колец • Ядро • Внутренний автоморфизм • Эндоморфизм Фробениуса Алгебраические структуры • Модуль • Ассоциативная алгебра • Градуированное кольцо • Инволютивное кольцо • Категория колец • Начальное кольцо ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ • Терминальное кольцо ${ Displaystyle 0 = mathbb {Z} _ {1}}$ Связанные структуры • Поле • Конечное поле • Неассоциативное кольцо • Кольцо лжи • Кольцо Jordan • Полукруглый • Полуполе
Коммутативная алгебра Коммутативные кольца • Интегральный домен • Целостный закрытый домен • GCD домен • Уникальный домен факторизации • Основная идеальная область • Евклидова область • Поле • Конечное поле • Композиция кольцо • Кольцо полиномов • Формальное кольцо серии power Алгебраическая теория чисел • Поле алгебраических чисел • Кольцо целых чисел • Алгебраическая независимость • Трансцендентная теория чисел • Степень трансцендентности п-адический теория чисел и десятичные дроби • Прямой лимит /Обратный предел • Нулевое кольцо ${ displaystyle mathbb {Z} _ {1}}$ • Целые числа по модулю пп ${ Displaystyle mathbb {Z} / p ^ {n} mathbb {Z}}$ • Прюфер п-звенеть ${ Displaystyle mathbb {Z} (р ^ { infty})}$ • Основание -п круг кольцо ${ displaystyle mathbb {T}}$ • Основание -п целые числа ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ • п-adic рациональные ${ Displaystyle mathbb {Z} [1 / p]}$ • Основание -п действительные числа ${ Displaystyle mathbb {R}}$ • п-адические целые числа ${ displaystyle mathbb {Z} _ {p}}$ • п-адические числа ${ displaystyle mathbb {Q} _ {p}}$ • п-адический соленоид ${ displaystyle mathbb {T} _ {p}}$ Алгебраическая геометрия • Аффинное разнообразие
Некоммутативная алгебра Некоммутативные кольца • Дивизионное кольцо • Полупримитивное кольцо • Простое кольцо • Коммутатор Некоммутативная алгебраическая геометрия Свободная алгебра Алгебра Клиффорда • Геометрическая алгебра Операторная алгебра

В математика, а звенеть является одним из основных алгебраические структуры используется в абстрактная алгебра. Он состоит из набор оснащен двумя бинарные операции которые обобщают арифметические операции из добавление и умножение. Благодаря этому обобщению теоремы из арифметика распространяются на нечисловые объекты, такие как многочлены, серии, матрицы и функции.

Кольцо - это абелева группа со второй бинарной операцией, которая ассоциативный, является распределительный над абелевой групповой операцией и имеет элемент идентичности (это последнее свойство не требуется некоторыми авторами, см. § Примечания к определению ). По расширению от целые числа, абелева групповая операция называется добавление а вторая бинарная операция называется умножение.

Независимо от того, является ли кольцо коммутативным (то есть, изменяет ли результат порядок, в котором два элемента перемножаются), имеет глубокое влияние на его поведение как абстрактного объекта. В результате теория коммутативных колец, широко известная как коммутативная алгебра, является ключевой темой в теория колец. На его развитие большое влияние оказали проблемы и идеи, естественным образом возникающие в алгебраическая теория чисел и алгебраическая геометрия. Примеры коммутативные кольца включают набор целых чисел, снабженный операциями сложения и умножения, набор многочленов, снабженный их сложением и умножением, координатное кольцо из аффинное алгебраическое многообразие, а кольцо целых чисел числового поля. Примеры некоммутативных колец включают кольцо п × п настоящий квадратные матрицы с п ≥ 2, групповые кольца в теория представлений, операторные алгебры в функциональный анализ, кольца дифференциальных операторов в теории дифференциальные операторы, а кольцо когомологий из топологическое пространство в топология.

Осмысление колец началось в 1870-х годах и было завершено в 1920-х годах. Ключевые участники включают Дедекинд, Гильберта, Fraenkel, и Нётер. Кольца были впервые формализованы как обобщение Дедекиндовские домены что происходит в теория чисел, и из кольца многочленов и кольца инвариантов, входящих в алгебраическая геометрия и теория инвариантов. Впоследствии они также оказались полезными в других областях математики, таких как геометрия и математический анализ.

Определение и иллюстрация

В целые числа, наряду с двумя операциями добавление и умножение, образуют прототип кольца.

Самый известный пример кольца - это набор всех целых чисел, ${ Displaystyle mathbb {Z}}$, состоящий из числа

… , −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

Знакомые свойства сложения и умножения целых чисел служат моделью для аксиом для колец.

Определение

А звенеть это набор р оснащен двумя бинарными операциями^[1] + и · удовлетворяющие следующим трем наборам аксиом, называемым кольцевые аксиомы^[2][3][4]

1. р является абелева группа в дополнение, что означает, что:
   • (а + б) + c = а + (б + c) для всех а, б, c в р (то есть + есть ассоциативный ).
   • а + б = б + а для всех а, б в р (то есть + есть коммутативный ).
   • Есть элемент 0 в р такой, что а + 0 = а для всех а в р (то есть 0 - это аддитивная идентичность ).
   • Для каждого а в р существует -а в р такой, что а + (−а) = 0 (то есть -а это Противоположное число из а).
2. р это моноид при умножении, что означает:
   • (а · б) · c = а · (б · c) для всех а, б, c в р (то есть · ассоциативно).
   • Есть элемент 1 в р такой, что а · 1 = а и 1 · а = а для всех а в р (то есть 1 - это мультипликативная идентичность ).^[5]
3. Умножение распределительный в отношении сложения, что означает:
   • а ⋅ (б + c) = (а · б) + (а · c) для всех а, б, c в р (левая дистрибутивность).
   • (б + c) · а = (б · а) + (c · а) для всех а, б, c в р (правильная дистрибутивность).

Примечания к определению

Как объяснено в § История ниже многие авторы следуют альтернативному соглашению, в котором кольцо не определяется как имеющее мультипликативную идентичность. В этой статье принято соглашение, согласно которому, если не указано иное, предполагается, что кольцо имеет такую ​​идентификацию. Авторы, которые следуют этому соглашению, иногда ссылаются на структуру, удовлетворяющую всем аксиомам Кроме требование, что существует мультипликативный элемент идентичности как rng (обычно произносится ступенька) а иногда как псевдокольцо. Например, набор четных целых чисел с обычными + и ⋅ является rng, но не кольцом.

Операции + и ⋅ называются добавление и умножение, соответственно. Символ умножения ⋅ обычно опускается; Например, ху средства Икс ⋅ у.

Хотя добавление кольца коммутативный, кольцевое умножение не обязательно должно быть коммутативным: ab не обязательно равный ба. Кольца, которые также удовлетворяют коммутативности для умножения (например, кольцо целых чисел), называются коммутативные кольца. Книги по коммутативной алгебре или алгебраической геометрии часто принимают соглашение, что звенеть средства коммутативное кольцо, чтобы упростить терминологию.

В кольце наличие мультипликативных инверсий не требуется. Ненуль коммутативное кольцо, в котором каждый ненулевой элемент имеет мультипликативный обратный называется поле.

Аддитивная группа кольца - это базовый набор, оснащенный только операцией сложения. Хотя определение предполагает, что аддитивная группа абелева, это можно вывести из других аксиом кольца.^[6] Доказательство использует "1", поэтому не работает в группе. (В случае rng удаление предположения о коммутативности сложения оставляет его выводимым (из оставшихся предположений rng) для элементов, которые являются продуктами: ab + CD = CD + ab.)

Хотя большинство современных авторов требует, чтобы умножение в кольце было ассоциативным, некоторые этого не делают.^[7] Для этих других каждый алгебра это кольцо.

Основные свойства

Некоторые основные свойства кольца непосредственно следуют из аксиом:

• Аддитивная идентичность, аддитивная инверсия каждого элемента и мультипликативная идентичность уникальны.
• Для любого элемента Икс в кольце р, надо Икс0 = 0 = 0Икс (ноль - это поглощающий элемент относительно умножения) и (–1)Икс = –Икс.
• Если 0 = 1 в кольце р (или, в более общем смысле, 0 - это единичный элемент), тогда р имеет только один элемент и называется нулевое кольцо.
• В биномиальная формула выполняется для любой коммутирующей пары элементов (т. е. любой Икс и у такой, что ху = yx).

Пример: целые числа по модулю 4

Оборудуйте набор ${ displaystyle mathbf {Z} _ {4} = left {{ overline {0}}, { overline {1}}, { overline {2}}, { overline {3}} right }}$ со следующими операциями:

• Сумма ${ displaystyle { overline {x}} + { overline {y}}}$ в Z₄ это остаток, когда целое число Икс + у делится на 4 (как Икс + у всегда меньше 8, этот остаток либо Икс + у или же Икс + у - 4). Например, ${ displaystyle { overline {2}} + { overline {3}} = { overline {1}}}$ и ${ displaystyle { overline {3}} + { overline {3}} = { overline {2}}}$.
• Продукт ${ Displaystyle { overline {x}} cdot { overline {y}}}$ в Z₄ это остаток, когда целое число ху делится на 4. Например, ${ Displaystyle { overline {2}} cdot { overline {3}} = { overline {2}}}$ и ${ Displaystyle { overline {3}} cdot { overline {3}} = { overline {1}}}$.

потом Z₄ кольцо: каждая аксиома следует из соответствующей аксиомы для Z. Если Икс является целым числом, остаток от Икс при делении на 4 может рассматриваться как элемент Z₄, и этот элемент часто обозначают "Икс мод 4 " или же ${ displaystyle { overline {x}}}$, что согласуется с обозначениями для 0, 1, 2, 3. Аддитивная инверсия любого ${ displaystyle { overline {x}}}$ в Z₄ является ${ displaystyle { overline {-x}}}$. Например, ${ displaystyle - { overline {3}} = { overline {-3}} = { overline {1}}.}$

Пример: матрицы 2 на 2

Набор 2х2 матрицы с настоящий номер записи написаны

${ Displaystyle { mathcal {M}} _ {2} ( mathbb {R}) = left { left. { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}} right | a , b, c, d in mathbb {R} right }.}$

С операциями сложения матриц и матричное умножение, это множество удовлетворяет указанным выше аксиомам кольца. Элемент ${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}$ - мультипликативная единица кольца. Если ${ displaystyle A = { begin {pmatrix} 0 & 1 1 & 0 end {pmatrix}}}$ и ${ displaystyle B = { begin {pmatrix} 0 & 1 0 & 0 end {pmatrix}}}$, тогда ${ displaystyle AB = { begin {pmatrix} 0 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}$ пока ${ displaystyle BA = { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 0 end {pmatrix}}}$; этот пример показывает, что кольцо некоммутативно.

В общем, для любого кольца р, коммутативный или нет, и любое неотрицательное целое число п, можно составить кольцо п-к-п матрицы с записями в р: видеть Матричное кольцо.

История

Ричард Дедекинд, один из основателей теория колец.

Дедекинд

Изучение колец возникло из теории кольца многочленов и теория алгебраические целые числа.^[8] В 1871 г. Ричард Дедекинд определил понятие кольца целых чисел числового поля.^[9] В этом контексте он ввел термин «идеальный» (вдохновленный Эрнст Куммер (понятие идеального числа) и «модуль» и изучил их свойства. Но Дедекинд не использовал термин «кольцо» и не определял понятие кольца в общем контексте.

Гильберта

Термин «Zahlring» (кольцо с цифрами) был изобретен Дэвид Гильберт в 1892 г. и опубликовано в 1897 г.^[10] В немецком языке XIX века слово «Ring» могло означать «ассоциация», которое до сих пор используется в английском языке в ограниченном смысле (например, шпионское кольцо).^[11] так что, если бы это была этимология, то это было бы похоже на то, как «группа» вошла в математику, будучи нетехническим словом для «совокупности связанных вещей». По словам Харви Кона, Гильберт использовал этот термин для обозначения кольца, которое имело свойство «возвращаться назад» к элементу самого себя.^[12] В частности, в кольце алгебраических целых чисел все высокие степени алгебраического целого числа могут быть записаны как целая комбинация фиксированного набора нижних степеней, и, таким образом, степени "циклически возвращаются". Например, если а³ − 4а + 1 = 0 тогда а³ = 4а − 1, а⁴ = 4а² − а, а⁵ = −а² + 16а − 4, а⁶ = 16а² − 8а + 1, а⁷ = −8а² + 65а − 16, и так далее; в целом, а^п будет целой линейной комбинацией 1, а, и а².

Френкель и Нётер

Первое аксиоматическое определение кольца было дано Адольф Френкель в 1915 г.,^[13][14] но его аксиомы были строже, чем в современном определении. Например, он требовал каждого неделитель нуля иметь мультипликативный обратный.^[15] В 1921 г. Эмми Нётер дала современное аксиоматическое определение (коммутативного) кольца и разработала основы теории коммутативных колец в своей статье Idealtheorie в Ringbereichen.^[16]

Мультипликативная идентичность: обязательное или необязательное

Френкелю требовалось, чтобы кольцо имело мультипликативную единицу 1,^[17] тогда как Нётер этого не сделала.^[16]

Большинство или все книги по алгебре^[18][19] примерно до 1960 года следовал соглашению Нётер о том, что не требуется 1. Начиная с 1960-х, все чаще можно было увидеть книги, в которых упоминалось о существовании 1 в определении кольца, особенно в продвинутых книгах таких известных авторов, как Артин,^[20] Атья и Макдональд,^[21] Бурбаки,^[22] Эйзенбуд,^[23] и Ланг.^[24] Но есть книги, опубликованные до 2006 года, для которых не требуется 1.^[25][26][27]

Столкнувшись с этой терминологической двусмысленностью, некоторые авторы пытались навязать свои взгляды, в то время как другие пытались принять более точные термины.

В первой категории мы находим, например, Гарднера и Вигандта, которые утверждают, что если требуется, чтобы все кольца имели единицу, то некоторые следствия включают в себя отсутствие бесконечных прямых сумм колец и тот факт, что правильные прямые слагаемые колец не являются подчиненными. Они приходят к выводу, что «во многих, а может быть и в большинстве ветвей теории колец требование существования элемента единства неразумно и, следовательно, неприемлемо».^[28] Poonen приводит контраргумент, что кольца без мультипликативного тождества не являются полностью ассоциативными (произведение любой конечной последовательности элементов кольца, включая пустую последовательность, четко определено, независимо от порядка операций), и пишет: «естественное расширение ассоциативности требует что кольца должны содержать пустой продукт, поэтому естественно требовать, чтобы кольца имели 1 ".^[29]

Во второй категории мы находим авторов, которые используют следующие термины:^[30][31]

• кольца с мультипликативным тождеством: кольцо единства, унитарное кольцо, единичное кольцо, кольцо с единством, кольцо с личностью, или же кольцо с 1
• кольца, не требующие мультипликативной идентичности: rng или же псевдокольцо,^[32] хотя последнее может сбивать с толку, поскольку имеет другие значения.

Основные примеры

Коммутативные кольца

• Примером прототипа является кольцо целых чисел с двумя операциями сложения и умножения.
• Рациональные, действительные и комплексные числа представляют собой коммутативные кольца типа, называемого поля.
• An алгебра над кольцом само по себе кольцо. Это также модули. Некоторые примеры:
  • Любой алгебра над полем.
  • В кольцо многочленов р[Икс] многочленов над кольцом р само по себе кольцо. А бесплатный модуль над р бесконечного измерения.
  • ${ displaystyle mathbf {Z} [c]}$, целые числа с иррациональным числом c примыкал. Свободный модуль бесконечной размерности, если c это трансцендентное число, свободный модуль конечной размерности, если c является целым алгебраическим числом.
  • ${ Displaystyle mathbf {Z} [1 / п]}$, набор фракции знаменатели которых являются степенью п (в том числе отрицательные). Несвободный модуль.
  • ${ displaystyle mathbf {Z} [1/10]}$, набор десятичные дроби.
  • ${ Displaystyle mathbf {Z} left [ left (1 + { sqrt {d}} right) / 2 right]}$, куда d это без квадратов целое число вида 4п + 1. Бесплатный модуль второго ранга. Ср. Квадратичные целые числа.
  • ${ Displaystyle mathbf {Z} [я]}$, то Гауссовские целые числа.
  • ${ displaystyle mathbf {Z} left [ left (1 + { sqrt {-3}} right) / 2 right]}$, то Целые числа Эйзенштейна. Также их обобщение, Кольцо Куммера.
• Множество всех целых алгебраических чисел образует кольцо. Это следует, например, из того факта, что это целостное закрытие кольца целых рациональных чисел в области комплексных чисел. Кольца в трех предыдущих примерах являются подкольцами этого кольца.
• Набор формальный степенной ряд р[[Икс₁, …, Икс_п]] над коммутативным кольцом р это кольцо.
• Если S является набором, то набор мощности из S превращается в кольцо, если мы определим добавление как симметричная разница наборов и умножение быть пересечение. Это соответствует кольцо множеств и является примером Логическое кольцо.
• Набор всех непрерывный ценный функции определенный на вещественной прямой образует коммутативное кольцо. Операции точечно сложение и умножение функций.
• Позволять Икс быть набором и р кольцо. Тогда набор всех функций из Икс к р образует кольцо, которое коммутативно, если р коммутативен. Кольцо непрерывных функций в предыдущем примере является подкольцом этого кольца, если Икс это настоящая линия и р это поле действительных чисел.

Некоммутативные кольца

• Для любого кольца р и любое натуральное число п, набор всей площади п-к-п матрицы с записями из р, образует кольцо с операциями сложения матриц и умножения матриц. За п = 1, это кольцо матриц изоморфно р сам. За п > 1 (и р не нулевое кольцо) это матричное кольцо некоммутативно.
• Если грамм является абелева группа, то эндоморфизмы из грамм сформировать кольцо, кольцо эндоморфизмов Конец(грамм) из грамм. В этом кольце операции сложения и композиции эндоморфизмов. В более общем смысле, если V это левый модуль над кольцом р, то множество всех р-линейные отображения образуют кольцо, также называемое кольцом эндоморфизмов и обозначаемое End_р(V).
• Если грамм это группа и р кольцо, групповое кольцо из грамм над р это бесплатный модуль над р имея грамм в качестве основы. Умножение определяется правилами, по которым элементы грамм ездить с элементами р и размножаются вместе, как в группе грамм.
• Многие кольца, которые появляются при анализе, некоммутативны. Например, большинство Банаховы алгебры некоммутативны.

Без колец

Базовые концепты

Элементы в кольце

Левый делитель нуля кольца ${ displaystyle R}$ это элемент ${ displaystyle a}$ в кольце такое, что существует ненулевой элемент ${ displaystyle b}$ из ${ displaystyle R}$ такой, что ${ displaystyle ab = 0}$.^[33] Аналогично определяется правый делитель нуля.

А нильпотентный элемент это элемент ${ displaystyle a}$ такой, что ${ displaystyle a ^ {n} = 0}$ для некоторых ${ displaystyle n> 0}$. Одним из примеров нильпотентного элемента является нильпотентная матрица. Нильпотентный элемент в ненулевое кольцо обязательно является делителем нуля.

An идемпотент ${ displaystyle e}$ такой элемент, что ${ displaystyle e ^ {2} = e}$. Одним из примеров идемпотентного элемента является проекция в линейной алгебре.

А единица измерения это элемент ${ displaystyle a}$ иметь мультипликативный обратный; в этом случае обратное единственно и обозначается ${ displaystyle a ^ {- 1}}$. Набор звеньев кольца представляет собой группа при кольцевом умножении; эта группа обозначается ${ displaystyle R ^ { times}}$ или же ${ Displaystyle R ^ {*}}$ или же ${ Displaystyle U (R)}$. Например, если р кольцо всех квадратных матриц размера п над полем, то ${ displaystyle R ^ { times}}$ состоит из множества всех обратимых матриц размера п, и называется общая линейная группа.

Подкольцо

Подмножество S из р называется подкольцо если выполняется одно из следующих эквивалентных условий:

• сложение и умножение р ограничивать давать операции S × S → S изготовление S кольцо с тем же мультипликативным тождеством, что и р.
• 1 ∈ S; и для всех Икс,у в S, элементы ху, Икс+у, и -Икс находятся в S.
• S может быть снабжен операциями, делающими его кольцом, так что отображение включения S → р является гомоморфизмом колец.

Например, кольцо Z целых чисел является подкольцом поле действительных чисел, а также подкольцо кольца многочлены Z[Икс] (в обоих случаях, Z содержит 1, которая является мультипликативной единицей больших колец). С другой стороны, подмножество четных целых чисел 2Z не содержит элемент идентичности 1 и, следовательно, не квалифицируется как подкольцо Z; можно было назвать 2Z а subrng, тем не мение.

Пересечение подколец - это подкольцо. Учитывая подмножество E из р, наименьшее подкольцо р содержащий E является пересечением всех подколец р содержащий E, и это называется подкольцо, порожденное E.

Для кольца р, наименьшее подкольцо р называется характеристическое подкольцо из р. Его можно получить, сложив копии 1 и -1 вместе много раз в любой смеси. Возможно, что ${ Displaystyle п cdot 1 = 1 + 1 + ldots +1}$ (п раз) может быть нулевым. Если п наименьшее положительное целое число, такое, что это происходит, то п называется характеристика из р. В некоторых кольцах ${ Displaystyle п cdot 1}$ никогда не равно нулю для любого положительного целого числа п, и говорят, что эти кольца имеют характеристика ноль.

Учитывая кольцо р, позволять ${ displaystyle operatorname {Z} (R)}$ обозначим множество всех элементов Икс в р такой, что Икс коммутирует с каждым элементом в р: ${ displaystyle xy = yx}$ для любого у в р. потом ${ displaystyle operatorname {Z} (R)}$ это подкольцо р; называется центр из р. В более общем плане, учитывая подмножество Икс из р, позволять S быть набором всех элементов в р которые коммутируют с каждым элементом в Икс. потом S это подкольцо р, называется централизатор (или коммутант) Икс. Центр - централизатор всего кольца р. Элементы или подмножества центра называются центральный в р; они (каждый в отдельности) образуют подкольцо центра.

Идеально

Определение идеальный в кольце аналогично нормальная подгруппа в группе. Но на самом деле он играет роль идеализированного обобщения элемента в кольце; отсюда и название «идеальный». Подобно элементам колец, изучение идеалов занимает центральное место в понимании структуры кольца.

Позволять р несущий. Непустое подмножество я из р тогда говорят, что это левый идеал в р если для любого Икс, у в я и р в р, ${ displaystyle x + y}$ и ${ displaystyle rx}$ находятся в я. Если ${ displaystyle RI}$ обозначает промежуток я над р, то есть множество конечных сумм

${ displaystyle r_ {1} x_ {1} + cdots + r_ {n} x_ {n}, quad r_ {i} in R, quad x_ {i} in I,}$

тогда я левый идеал, если ${ displaystyle RI substeq I}$. По аналогии, я как говорят правильный идеал если ${ displaystyle IR substeq I}$. Подмножество я считается двусторонний идеал или просто идеальный если это и левый идеал, и правый идеал. Тогда односторонний или двусторонний идеал является аддитивной подгруппой р. Если E это подмножество р, тогда ${ displaystyle RE}$ левый идеал, называемый левым идеалом, порожденным E; это наименьший левый идеал, содержащий E. Точно так же можно рассматривать правый идеал или двусторонний идеал, порожденный подмножеством р.

Если Икс в р, тогда ${ displaystyle Rx}$ и ${ displaystyle xR}$ - левые идеалы и правые идеалы соответственно; их называют главный левые идеалы и правые идеалы, порожденные Икс. Главный идеал ${ displaystyle RxR}$ записывается как ${ Displaystyle (х)}$. Например, множество всех положительных и отрицательных кратных 2 вместе с 0 образуют идеал целых чисел, и этот идеал порождается целым числом 2. Фактически, каждый идеал кольца целых чисел является главным.

Как и группа, кольцо называется просто если он ненулевой и не имеет собственных ненулевых двусторонних идеалов. Коммутативное простое кольцо - это в точности поле.

Кольца часто изучаются с особыми условиями, налагаемыми на их идеалы. Например, кольцо, в котором нет строго возрастающей бесконечной цепь левых идеалов называется левым Кольцо Нётериана. Кольцо, в котором нет строго убывающей бесконечной цепочки левых идеалов, называется левым. Артинианское кольцо. Несколько удивительно то, что левое артиново кольцо остается нётеровым ( Теорема Хопкинса – Левицки. ). Однако целые числа образуют нётерово кольцо, которое не является артиновым.

Для коммутативных колец идеалы обобщают классическое понятие делимости и разложения целого числа на простые числа в алгебре. Настоящий идеал п из р называется главный идеал если для каких-то элементов ${ displaystyle x, y in R}$ у нас есть это ${ displaystyle xy in P}$ подразумевает либо ${ displaystyle x in P}$ или же ${ displaystyle y in P}$. Эквивалентно, п проста, если для любых идеалов ${ displaystyle I, J}$ у нас есть это ${ displaystyle IJ substeq P}$ подразумевает либо ${ displaystyle I substeq P}$ или же ${ displaystyle J substeq P.}$ Эта последняя формулировка иллюстрирует идею идеалов как обобщений элементов.

Гомоморфизм

А гомоморфизм из кольца (р, +, ·) к кольцу (S, ‡, *) - функция ж из р к S который сохраняет операции кольца; именно такой, что для всех а, б в р имеют место следующие тождества:

• ж(а + б) = ж(а) ‡ ж(б)
• ж(а · б) = ж(а) * ж(б)
• ж(1_р) = 1_S

Если вы работаете с необязательно с унитальными кольцами, то третье условие отбрасывается.

Гомоморфизм колец называется изоморфизм если существует обратный гомоморфизм к ж (то есть гомоморфизм колец, который является обратная функция ). Любой биективный гомоморфизм колец - это изоморфизм колец. Два кольца ${ displaystyle R, S}$ называются изоморфными, если между ними существует изоморфизм, и в этом случае пишут ${ Displaystyle R simeq S}$. Гомоморфизм колец между одним и тем же кольцом называется эндоморфизмом, а изоморфизм одного и того же кольца автоморфизмом.

Примеры:

• Функция, отображающая каждое целое число Икс к его остатку по модулю 4 (число из {0, 1, 2, 3}) является гомоморфизмом из кольца Z к кольцу частных Z/4Z («фактор-кольцо» определено ниже).
• Если ${ displaystyle u}$ является единичным элементом кольца р, тогда ${ Displaystyle R к R, х mapsto uxu ^ {- 1}}$ - гомоморфизм колец, называемый внутренний автоморфизм из р.
• Позволять р - коммутативное кольцо простой характеристики п. потом ${ Displaystyle х mapsto х ^ {p}}$ является кольцевым эндоморфизмом р называется Гомоморфизм Фробениуса.
• В Группа Галуа расширения поля ${ displaystyle L / K}$ - множество всех автоморфизмов L чьи ограничения на K являются идентичностью.
• Для любого кольца р, существует единственный кольцевой гомоморфизм Z → р и единственный гомоморфизм колец р → 0.
• An эпиморфизм (т. е. сокращаемый справа морфизм) колец не обязательно должен быть сюръективным. Например, уникальная карта ${ Displaystyle mathbb {Z} to mathbb {Q}}$ это эпиморфизм.
• Гомоморфизм алгебр из k-алгебра к алгебра эндоморфизмов векторного пространства над k называется представление алгебры.

Для гомоморфизма колец ${ displaystyle f: R to S}$, набор всех элементов, отображаемых в 0 с помощью ж называется ядро из ж. Ядро - двусторонний идеал р. Образ ж, с другой стороны, не всегда идеал, но всегда является подкольцом S.

Чтобы дать кольцевой гомоморфизм из коммутативного кольца р на кольцо А с изображением, содержащимся в центре А это то же самое, что дать структуру алгебра над р к А (что, в частности, дает структуру А-модуль).

Факторное кольцо

В кольцо частного кольца аналогично понятию факторгруппа группы. Более формально, учитывая кольцо (р, +, · ) и двусторонний идеальный я из (р, +, · ), кольцо частного (или же факторное кольцо) R / I это набор смежные классы из я (с уважением к аддитивная группа из (р, +, · ), т.е. смежные классы по (р, +)) вместе с операциями:

(а + я) + (б + я) = (а + б) + я и

(а + я)(б + я) = (ab) + я.

для всех а, б в р.

Как и в случае фактор-группы, существует каноническое отображение ${ displaystyle p: R to R / I}$ данный ${ displaystyle x mapsto x + I}$. Он сюръективен и удовлетворяет универсальному свойству: если ${ displaystyle f: R to S}$ гомоморфизм колец такой, что ${ displaystyle f (I) = 0}$, то существует единственный ${ displaystyle { overline {f}}: R / I to S}$такой, что ${ displaystyle f = { overline {f}} circ p}$. В частности, принимая я как ядро, видно, что факторкольцо ${ displaystyle R / operatorname {ker} f}$ изоморфен образу ж; факт, известный как первый теорема об изоморфизме. Последний факт означает, что на самом деле любой сюръективный гомоморфизм колец удовлетворяет универсальному свойству, так как образ такого отображения является факторкольцом.

Модуль

Концепция модуль над кольцом обобщает понятие векторное пространство (через поле ) путем обобщения умножения векторов на элементы поля (скалярное умножение ) к умножению на элементы кольца. Точнее учитывая кольцо р с 1, р-модуль M является абелева группа оснащен операция р × M → M (связывая элемент M к каждой паре элемента р и элемент M), удовлетворяющий определенным аксиомы. Эта операция обычно обозначается мультипликативно и называется умножением. Аксиомы модулей следующие: для всех а, б в р и все Икс, у в M, у нас есть:

• M является абелевой группой при добавлении.
• ${ Displaystyle а (х + у) = топор + ау}$
• ${ displaystyle (a + b) x = ax + bx}$
• ${ displaystyle 1x = x}$
• ${ Displaystyle (ab) х = а (bx)}$

Когда кольцо некоммутативный эти аксиомы определяют левые модули; правильные модули определяются аналогично, написав ха вместо топор. Это не только смена обозначений, поскольку последняя аксиома правых модулей (то есть Икс(ab) = (ха)б) становится (ab)Икс = б(топор), если левое умножение (на элементы кольца) используется для правого модуля.

Базовыми примерами модулей являются идеалы, в том числе и само кольцо.

Хотя теория модулей определяется аналогичным образом, теория модулей намного сложнее, чем теория векторного пространства, главным образом потому, что, в отличие от векторных пространств, модули не характеризуются (с точностью до изоморфизма) одним инвариантом ( размерность векторного пространства ). В частности, не все модули имеют основа.

Из аксиом модулей следует, что (−1)Икс = −Икс, где первый минус обозначает Противоположное число в кольце и второй минус аддитив, обратный в модуле. Использование этого и обозначение повторного сложения умножением на положительное целое число позволяет идентифицировать абелевы группы с модулями над кольцом целых чисел.

Любой гомоморфизм колец индуцирует структуру модуля: если ж : р → S - гомоморфизм колец, то S левый модуль над р умножением: RS = ж(р)s. Если р коммутативен или если ж(р) содержится в центр из S, кольцо S называется р-алгебра. В частности, каждое кольцо является алгеброй над целыми числами.

Конструкции

Прямой продукт

Позволять р и S быть кольцами. Затем товар р × S может быть оснащена следующей естественной кольцевой конструкцией:

• (р₁, s₁) + (р₂, s₂) = (р₁ + р₂, s₁ + s₂)
• (р₁, s₁) ⋅ (р₂, s₂) = (р₁ ⋅ р₂, s₁ ⋅ s₂)

для всех р₁, р₂ в р и s₁, s₂ в S. Кольцо р × S с указанными выше операциями сложения и умножения и мультипликативным тождеством ${ displaystyle (1,1)}$ называется прямой продукт из р с S. Та же конструкция работает и для произвольного семейства колец: если ${ displaystyle R_ {i}}$ кольца, индексированные набором я, тогда ${ Displaystyle prod _ {я in I} R_ {я}}$ кольцо с покомпонентным сложением и умножением.

Позволять р коммутативное кольцо и ${ displaystyle { mathfrak {a}} _ {1}, cdots, { mathfrak {a}} _ {n}}$ быть такими идеалами, что ${ Displaystyle { mathfrak {а}} _ {я} + { mathfrak {а}} _ {j} = (1)}$ в любое время ${ displaystyle i neq j}$. Затем Китайская теорема об остатках говорит, что существует канонический изоморфизм колец:

${ displaystyle R / { textstyle bigcap _ {i = 1} ^ {n} {{ mathfrak {a}} _ {i}}} simeq prod _ {i = 1} ^ {n} {R / { mathfrak {a}} _ {i}}, qquad x ; operatorname {mod} ; { textstyle bigcap _ {i = 1} ^ {n} {{ mathfrak {a}} _ {i}}} mapsto (x ; operatorname {mod} ; { mathfrak {a}} _ {1}, ldots, x ; operatorname {mod} ; { mathfrak {a}} _ {n})}$.

«Конечный» прямой продукт также можно рассматривать как прямую сумму идеалов.^[34] А именно пусть ${ Displaystyle R_ {я}, 1 Leq я Leq п}$ быть кольцами, ${ Displaystyle R_ {я} к R = prod R_ {i}}$ включения с изображениями ${ Displaystyle { mathfrak {а}} _ {я}}$ (особенно ${ Displaystyle { mathfrak {а}} _ {я}}$ кольца, но не подколец). потом ${ Displaystyle { mathfrak {а}} _ {я}}$ идеалы р и

${ Displaystyle R = { mathfrak {a}} _ {1} oplus cdots oplus { mathfrak {a}} _ {n}, quad { mathfrak {a}} _ {i} { mathfrak {a}} _ {j} = 0, i neq j, quad { mathfrak {a}} _ {i} ^ {2} substeq { mathfrak {a}} _ {i}}$

как прямую сумму абелевых групп (поскольку для абелевых групп конечные произведения - это то же самое, что и прямые суммы). Ясно, что прямая сумма таких идеалов также определяет произведение колец, изоморфное р. Эквивалентно вышесказанное можно сделать через центральные идемпотенты. Предполагать р имеет указанное выше разложение. Тогда мы можем написать

${ displaystyle 1 = e_ {1} + cdots + e_ {n}, quad e_ {i} in { mathfrak {a}} _ {i}.}$

По условиям на ${ Displaystyle { mathfrak {а}} _ {я}}$, есть это ${ displaystyle e_ {i}}$ центральные идемпотенты и ${ displaystyle e_ {i} e_ {j} = 0, i neq j}$ (ортогональные). Опять же, можно перевернуть конструкцию. А именно, если дано разбиение единицы на ортогональные центральные идемпотенты, то пусть ${ displaystyle { mathfrak {a}} _ {i} = Re_ {i}}$, которые являются двусторонними идеалами. Если каждый ${ displaystyle e_ {i}}$ не является суммой ортогональных центральных идемпотентов,^[35] то их прямая сумма изоморфна р.

Важным применением бесконечного прямого произведения является построение проективный предел колец (см. ниже). Другое приложение - это ограниченный продукт семейства колец (ср. кольцо адель ).

Кольцо полиномов

Учитывая символ т (называется переменной) и коммутативным кольцом р, множество полиномов

${ Displaystyle R [t] = left {a_ {n} t ^ {n} + a_ {n-1} t ^ {n-1} + dots + a_ {1} t + a_ {0} середина n geq 0, a_ {j} in R right }}$

образует коммутативное кольцо с обычным сложением и умножением, содержащее р как подкольцо. Это называется кольцо многочленов над р. В более общем плане набор ${ Displaystyle R left [t_ {1}, ldots, t_ {n} right]}$ всех многочленов от переменных ${ displaystyle t_ {1}, ldots, t_ {n}}$ образует коммутативное кольцо, содержащее ${ Displaystyle R влево [т_ {я} вправо]}$ в качестве подколец.

Если р является область целостности, тогда ${ displaystyle R [t]}$ также является областью целостности; его поле дробей - это поле рациональные функции. Если р является нётеровым кольцом, то ${ displaystyle R [t]}$ является нётеровым кольцом. Если р - уникальная область факторизации, то ${ displaystyle R [t]}$ - это уникальная область факторизации. Ну наконец то, р является полем тогда и только тогда, когда ${ displaystyle R [t]}$ является главной идеальной областью.

Позволять ${ Displaystyle R substeq S}$ - коммутативные кольца. Учитывая элемент Икс из Sможно рассматривать гомоморфизм колец

${ Displaystyle R [T] к S, quad f mapsto f (x)}$

(это замена ). Если S = р[т] и Икс = т, тогда ж(т) = ж. По этой причине многочлен ж часто также обозначается ${ displaystyle f (t)}$. Изображение карты ${ displaystyle f mapsto f (x)}$ обозначается ${ Displaystyle R [х]}$; это то же самое, что и подкольцо S создано р и Икс.

Пример: ${ Displaystyle к влево [т ^ {2}, т ^ {3} вправо]}$ обозначает образ гомоморфизма

${ displaystyle k [x, y] к k [t], , f mapsto f left (t ^ {2}, t ^ {3} right).}$

Другими словами, это подалгебра ${ Displaystyle к [т]}$ создано т² и т³.

Пример: пусть ж - многочлен от одной переменной, то есть элемент кольца многочленов р. потом ${ Displaystyle f (х + ч)}$ это элемент в ${ displaystyle R [h]}$ и ${ Displaystyle f (х + ч) -f (х)}$ делится на час в этом кольце. Результат замены нуля на час в ${ Displaystyle (е (х + ч) -f (х)) / ч}$ является ${ displaystyle f '(x)}$, производная от ж в Икс.

Подстановка - частный случай универсального свойства кольца многочленов. Свойство гласит: учитывая гомоморфизм колец ${ displaystyle phi: R to S}$ и элемент Икс в S существует единственный гомоморфизм колец ${ displaystyle { overline { phi}}: R [t] to S}$ такой, что ${ Displaystyle { overline { phi}} (т) = х}$ и ${ displaystyle { overline { phi}}}$ ограничивается ${ displaystyle phi}$.^[36] Например, выбирая основу, симметрическая алгебра удовлетворяет универсальному свойству и, следовательно, является кольцом многочленов.

В качестве примера пусть S - кольцо всех функций из р себе; сложение и умножение принадлежат функциям. Позволять Икс - тождественная функция. Каждый р в р определяет постоянную функцию, порождающую гомоморфизм ${ displaystyle R to S}$. Универсальное свойство говорит, что эта карта распространяется однозначно на

${ displaystyle R [t] к S, quad f mapsto { overline {f}}}$

(т сопоставляется с Икс) куда ${ displaystyle { overline {f}}}$ это полиномиальная функция определяется ж. Полученное отображение инъективно тогда и только тогда, когда р бесконечно.

Для непостоянного монического многочлена ж в ${ displaystyle R [t]}$, существует кольцо S содержащий р такой, что ж является продуктом линейных факторов в ${ Displaystyle S [т]}$.^[37]

Позволять k - алгебраически замкнутое поле. В Nullstellensatz Гильберта (теорема нулей) утверждает, что существует естественное взаимно однозначное соответствие между множеством всех простых идеалов в ${ Displaystyle к влево [т_ {1}, ldots, т_ {п} вправо]}$ и множество замкнутых подмногообразий в ${ Displaystyle к ^ {п}}$. В частности, многие локальные проблемы алгебраической геометрии могут быть решены путем изучения образующих идеала в кольце многочленов. (ср. Основа Грёбнера.)

Есть и другие родственные конструкции. А кольцо формальной мощности ${ Displaystyle Р [! [т] !]}$ состоит из формальных степенных рядов

${ displaystyle sum _ {0} ^ { infty} a_ {i} t ^ {i}, quad a_ {i} in R}$

вместе с умножением и сложением, имитирующими сходящиеся ряды. Это содержит ${ displaystyle R [t]}$ как подкольцо. Кольцо формальных степенных рядов не обладает универсальным свойством кольца многочленов; серия может не сходиться после замены. Важным преимуществом кольца формальных степенных рядов перед кольцом многочленов является то, что оно местный (по факту, полный ).

Кольцо матриц и кольцо эндоморфизмов

Позволять р кольцо (не обязательно коммутативное). Набор всех квадратных матриц размера п с записями в р образует кольцо с поэтапным сложением и обычным матричным умножением. Это называется матричное кольцо и обозначается M_п(р). Имея право р-модуль ${ displaystyle U}$, набор всех р-линейные карты из U образует кольцо со сложением, которое имеет функцию, и умножением, которое имеет состав функций; оно называется кольцом эндоморфизмов U и обозначается ${ displaystyle operatorname {End} _ {R} (U)}$.

Как и в линейной алгебре, кольцо матриц можно канонически интерпретировать как кольцо эндоморфизмов: ${ displaystyle operatorname {End} _ {R} (R ^ {n}) simeq operatorname {M} _ {n} (R)}$. Это частный случай следующего факта: если ${ displaystyle f: oplus _ {1} ^ {n} U to oplus _ {1} ^ {n} U}$ является р-линейная карта, то ж можно записать в виде матрицы с элементами ${ displaystyle f_ {ij}}$ в ${ displaystyle S = operatorname {End} _ {R} (U)}$, что приводит к изоморфизму колец:

${ displaystyle operatorname {End} _ {R} ( oplus _ {1} ^ {n} U) to operatorname {M} _ {n} (S), quad f mapsto (f_ {ij} ).}$

Любой гомоморфизм колец р → S побуждает M_п(р) → M_п(S).^[38]

Лемма Шура говорит, что если U это простое право р-модуль, затем ${ displaystyle operatorname {End} _ {R} (U)}$ это делительное кольцо.^[39] Если ${ displaystyle displaystyle U = bigoplus _ {i = 1} ^ {r} U_ {i} ^ { oplus m_ {i}}}$ прямая сумма м_я-копии простых р-модули ${ displaystyle U_ {i}}$, тогда

${ displaystyle operatorname {End} _ {R} (U) simeq prod _ {i = 1} ^ {r} operatorname {M} _ {m_ {i}} ( operatorname {End} _ {R } (U_ {i}))}$.

В Теорема Артина – Веддерберна заявляет любой полупростое кольцо (см. ниже) имеет такую ​​форму.

Кольцо р и кольцо матриц M_п(р) над ним Эквивалент Мориты: the категория правых модулей р эквивалентна категории правых модулей над M_п(р).^[38] В частности, двусторонние идеалы в р взаимно однозначно соответствуют двусторонним идеалам в M_п(р).

Пределы и копределы колец

Позволять р_я последовательность колец такая, что р_я это подкольцо р_я+1 для всех я. Тогда союз (или фильтрованный копредел ) из р_я кольцо ${ displaystyle varinjlim R_ {i}}$ определяется следующим образом: это несвязное объединение всех р_япо модулю отношения эквивалентности ${ Displaystyle х сим у}$ если и только если ${ displaystyle x = y}$ в р_я для достаточно большого я.

Примеры копределов:

• Кольцо многочленов от бесконечного числа переменных: ${ displaystyle R [t_ {1}, t_ {2}, cdots] = varinjlim R [t_ {1}, t_ {2}, cdots, t_ {m}].}$
• В алгебраическое замыкание из конечные поля такой же характеристики ${displaystyle {overline {mathbf {F} }}_{p}=varinjlim mathbf {F} _{p^{m}}.}$
• Поле formal Laurent series над полем k: ${displaystyle k(!(t)!)=varinjlim t^{-m}k[![t]!]}$ (it is the field of fractions of the formal power series ring ${displaystyle k[![t]!]}$.)
• В функциональное поле алгебраического многообразия над полем k является ${displaystyle varinjlim k[U]}$ where the limit runs over all the coordinate rings ${displaystyle k[U]}$ of nonempty open subsets U (more succinctly it is the стебель of the structure sheaf at the generic point.)

Any commutative ring is the colimit of finitely generated subrings.

А projective limit (или filtered limit ) of rings is defined as follows. Suppose we're given a family of rings ${ displaystyle R_ {i}}$, я running over positive integers, say, and ring homomorphisms ${displaystyle R_{j} o R_{i},jgeq i}$ такой, что ${displaystyle R_{i} o R_{i}}$ are all the identities and ${displaystyle R_{k} o R_{j} o R_{i}}$ является ${displaystyle R_{k} o R_{i}}$ в любое время ${displaystyle kgeq jgeq i}$. потом ${displaystyle varprojlim R_{i}}$ is the subring of ${displaystyle prod R_{i}}$ состоящий из ${displaystyle (x_{n})}$ такой, что ${ displaystyle x_ {j}}$ сопоставляется с ${ displaystyle x_ {i}}$ под ${displaystyle R_{j} o R_{i},jgeq i}$.

For an example of a projective limit, see § Completion.

Локализация

В локализация generalizes the construction of the поле дробей of an integral domain to an arbitrary ring and modules. Given a (not necessarily commutative) ring р и подмножество S из р, there exists a ring ${displaystyle R[S^{-1}]}$ together with the ring homomorphism ${displaystyle R o Rleft[S^{-1} ight]}$ that "inverts" S; that is, the homomorphism maps elements in S to unit elements in ${displaystyle Rleft[S^{-1} ight]}$, and, moreover, any ring homomorphism from р that "inverts" S uniquely factors through ${displaystyle Rleft[S^{-1} ight]}$.^[40] Кольцо ${displaystyle Rleft[S^{-1} ight]}$ называется локализация из р относительно S. Например, если р is a commutative ring and ж an element in р, then the localization ${displaystyle Rleft[f^{-1} ight]}$ consists of elements of the form ${displaystyle r/f^{n},,rin R,,ngeq 0}$ (to be precise, ${displaystyle Rleft[f^{-1} ight]=R[t]/(tf-1).}$)^[41]

The localization is frequently applied to a commutative ring р with respect to the complement of a prime ideal (or a union of prime ideals) in р. In that case ${displaystyle S=R-{mathfrak {p}}}$, one often writes ${displaystyle R_{mathfrak {p}}}$ за ${displaystyle Rleft[S^{-1} ight]}$. ${displaystyle R_{mathfrak {p}}}$ тогда местное кольцо с максимальный идеал ${displaystyle {mathfrak {p}}R_{mathfrak {p}}}$. This is the reason for the terminology "localization". The field of fractions of an integral domain р is the localization of р at the prime ideal zero. Если ${displaystyle {mathfrak {p}}}$ is a prime ideal of a commutative ring р, then the field of fractions of ${displaystyle R/{mathfrak {p}}}$ is the same as the residue field of the local ring ${displaystyle R_{mathfrak {p}}}$ and is denoted by ${displaystyle k({mathfrak {p}})}$.

Если M левый р-module, then the localization of M относительно S дается change of rings ${displaystyle Mleft[S^{-1} ight]=Rleft[S^{-1} ight]otimes _{R}M}$.

The most important properties of localization are the following: when р is a commutative ring and S a multiplicatively closed subset

• ${displaystyle {mathfrak {p}}mapsto {mathfrak {p}}left[S^{-1} ight]}$ is a bijection between the set of all prime ideals in р disjoint from S and the set of all prime ideals in ${displaystyle Rleft[S^{-1} ight]}$.^[42]
• ${displaystyle Rleft[S^{-1} ight]=varinjlim Rleft[f^{-1} ight]}$, ж running over elements in S with partial ordering given by divisibility.^[43]
• The localization is exact:

  ${displaystyle 0 o M'left[S^{-1} ight] o Mleft[S^{-1} ight] o M''left[S^{-1} ight] o 0}$ is exact over ${displaystyle Rleft[S^{-1} ight]}$ в любое время ${displaystyle 0 o M' o M o M'' o 0}$ is exact over р.

• Наоборот, если ${displaystyle 0 o M'_{mathfrak {m}} o M_{mathfrak {m}} o M''_{mathfrak {m}} o 0}$ is exact for any maximal ideal ${displaystyle {mathfrak {m}}}$, тогда ${displaystyle 0 o M' o M o M'' o 0}$ точно.
• A remark: localization is no help in proving a global existence. One instance of this is that if two modules are isomorphic at all prime ideals, it does not follow that they are isomorphic. (One way to explain this is that the localization allows one to view a module as a sheaf over prime ideals and a sheaf is inherently a local notion.)

В теория категорий, а localization of a category amounts to making some morphisms isomorphisms. An element in a commutative ring р may be thought of as an endomorphism of any р-модуль. Thus, categorically, a localization of р with respect to a subset S из р это функтор из разряда р-modules to itself that sends elements of S viewed as endomorphisms to automorphisms and is universal with respect to this property. (Конечно, р then maps to ${displaystyle Rleft[S^{-1} ight]}$ и р-modules map to ${displaystyle Rleft[S^{-1} ight]}$-модули.)

Завершение

Позволять р коммутативное кольцо, и пусть я быть идеалом р. завершение из р в я is the projective limit ${displaystyle {hat {R}}=varprojlim R/I^{n}}$; it is a commutative ring. The canonical homomorphisms from р to the quotients ${displaystyle R/I^{n}}$ induce a homomorphism ${displaystyle R o {hat {R}}}$. The latter homomorphism is injective if р is a Noetherian integral domain and я is a proper ideal, or if р is a Noetherian local ring with maximal ideal я, к Krull's intersection theorem.^[44] The construction is especially useful when я is a maximal ideal.

The basic example is the completion Z_п из Z at the principal ideal (п) generated by a prime number п; it is called the ring of п-адические целые числа. The completion can in this case be constructed also from the п-adic absolute value на Q. В п-adic absolute value on Q это карта ${ Displaystyle х mapsto | х |}$ из Q к р данный ${displaystyle |n|_{p}=p^{-v_{p}(n)}}$ куда ${displaystyle v_{p}(n)}$ denotes the exponent of п in the prime factorization of a nonzero integer п into prime numbers (we also put ${displaystyle |0|_{p}=0}$ и ${displaystyle |m/n|_{p}=|m|_{p}/|n|_{p}}$). It defines a distance function on Q и завершение Q как метрическое пространство обозначается Q_п. It is again a field since the field operations extend to the completion. The subring of Q_п consisting of elements Икс с ${displaystyle |x|_{p}leq 1}$ изоморфен Z_п.

Similarly, the formal power series ring ${displaystyle R[{[t]}]}$ is the completion of ${displaystyle R[t]}$ в ${displaystyle (t)}$ (смотрите также Hensel's lemma )

A complete ring has much simpler structure than a commutative ring. This owns to the Теорема Коэна о структуре, which says, roughly, that a complete local ring tends to look like a formal power series ring or a quotient of it. On the other hand, the interaction between the целостное закрытие and completion has been among the most important aspects that distinguish modern commutative ring theory from the classical one developed by the likes of Noether. Pathological examples found by Nagata led to the reexamination of the roles of Noetherian rings and motivated, among other things, the definition of excellent ring.

Rings with generators and relations

The most general way to construct a ring is by specifying generators and relations. Позволять F быть бесплатное кольцо (that is, free algebra over the integers) with the set Икс of symbols, that is, F consists of polynomials with integral coefficients in noncommuting variables that are elements of Икс. A free ring satisfies the universal property: any function from the set Икс to a ring р факторы через F так что ${displaystyle F o R}$ is the unique ring homomorphism. Just as in the group case, every ring can be represented as a quotient of a free ring.^[45]

Now, we can impose relations among symbols in Икс by taking a quotient. Явно, если E это подмножество F, then the quotient ring of F by the ideal generated by E is called the ring with generators Икс и отношения E. If we used a ring, say, А as a base ring instead of Z, then the resulting ring will be over А. Например, если ${displaystyle E={xy-yxmid x,yin X}}$, then the resulting ring will be the usual polynomial ring with coefficients in А in variables that are elements of Икс (It is also the same thing as the симметрическая алгебра над А with symbols Икс.)

In the category-theoretic terms, the formation ${displaystyle Smapsto { ext{the free ring generated by the set }}S}$ is the left adjoint functor of the забывчивый функтор от категория колец к Набор (and it is often called the free ring functor.)

Позволять А, B be algebras over a commutative ring р. Then the tensor product of р-модули ${displaystyle Aotimes _{R}B}$ это р-модуль. We can turn it to a ring by extending linearly ${displaystyle (xotimes u)(yotimes v)=xyotimes uv}$. Смотрите также: tensor product of algebras, change of rings.

Special kinds of rings

Домены

А ненулевой ring with no nonzero zero-divisors называется домен. A commutative domain is called an область целостности. The most important integral domains are principal ideals domains, PID for short, and fields. A principal ideal domain is an integral domain in which every ideal is principal. An important class of integral domains that contain a PID is a уникальная область факторизации (UFD), an integral domain in which every nonunit element is a product of основные элементы (an element is prime if it generates a главный идеал.) The fundamental question in алгебраическая теория чисел is on the extent to which the ring of (generalized) integers в числовое поле, where an "ideal" admits prime factorization, fails to be a PID.

Among theorems concerning a PID, the most important one is the структурная теорема для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов. The theorem may be illustrated by the following application to linear algebra.^[46] Позволять V be a finite-dimensional vector space over a field k и ${displaystyle f:V o V}$ a linear map with minimal polynomial q. Тогда, поскольку ${displaystyle k[t]}$ is a unique factorization domain, q factors into powers of distinct irreducible polynomials (that is, prime elements):

${displaystyle q=p_{1}^{e_{1}}ldots p_{s}^{e_{s}}.}$

Сдача ${displaystyle tcdot v=f(v)}$, we make V а k[т]-module. The structure theorem then says V is a direct sum of циклические модули, each of which is isomorphic to the module of the form ${displaystyle k[t]/left(p_{i}^{k_{j}} ight)}$. Сейчас если ${displaystyle p_{i}(t)=t-lambda _{i}}$, then such a cyclic module (for ${ displaystyle p_ {i}}$) has a basis in which the restriction of ж представлен Jordan matrix. Thus, if, say, k is algebraically closed, then all ${ displaystyle p_ {i}}$'s are of the form ${displaystyle t-lambda _{i}}$ and the above decomposition corresponds to the Иорданская каноническая форма из ж.

In algebraic geometry, UFDs arise because of smoothness. More precisely, a point in a variety (over a perfect field) is smooth if the local ring at the point is a обычное местное кольцо. A regular local ring is a UFD.^[47]

The following is a chain of class inclusions that describes the relationship between rings, domains and fields:

Коммутативные кольца ⊃ целостные области ⊃ integrally closed domains ⊃ уникальные домены факторизации ⊃ области главных идеалов ⊃ Евклидовы области ⊃ поля

Division ring

А делительное кольцо is a ring such that every non-zero element is a unit. A commutative division ring is a поле. A prominent example of a division ring that is not a field is the ring of кватернионы. Any centralizer in a division ring is also a division ring. In particular, the center of a division ring is a field. It turned out that every конечный domain (in particular finite division ring) is a field; in particular commutative (the Wedderburn's little theorem ).

Every module over a division ring is a free module (has a basis); consequently, much of linear algebra can be carried out over a division ring instead of a field.

The study of conjugacy classes figures prominently in the classical theory of division rings. Cartan famously asked the following question: given a division ring D and a proper sub-division-ring S that is not contained in the center, does each inner automorphism of D restrict to an automorphism of S? The answer is negative: this is the Cartan–Brauer–Hua theorem.

А cyclic algebra, представлен L. E. Dickson, is a generalization of a кватернионная алгебра.

Semisimple rings

A ring is called a полупростое кольцо если это semisimple as a left module (or right module) over itself, that is, a direct sum of simple modules. A ring is called a полупримитивное кольцо если это Радикал Якобсона равно нулю. (The Jacobson radical is the intersection of all maximal left ideals.) A ring is semisimple if and only if it is artinian and is semiprimitive.

An algebra over a field k is artinian if and only if it has finite dimension. Thus, a semisimple algebra over a field is necessarily finite-dimensional, while a simple algebra may have infinite dimension, for example, the ring of differential operators.

Any module over a semisimple ring is semisimple. (Доказательство: любой свободный модуль над полупростым кольцом, очевидно, полупрост, и любой модуль является фактором свободного модуля.)

Примеры полупростых колец:

• Кольцо матриц над телом полупросто (фактически просто).
• Групповое кольцо ${ Displaystyle к [G]}$ конечной группы грамм над полем k полупрост, если характеристика k не делит порядок грамм. (Теорема Машке )
• В Алгебра Вейля (над полем) - простое кольцо; он не полупрост, поскольку имеет бесконечное измерение и, следовательно, не артистичен.
• Алгебры Клиффорда полупросты.

Полупростота тесно связана с отделимостью. An алгебра А над полем k как говорят отделяемый если расширение базы ${ displaystyle A otimes _ {k} F}$ полупросто для любого расширение поля ${ displaystyle F / k}$. Если А оказывается полем, тогда это эквивалентно обычному определению в теории поля (см. отделяемое расширение.)

Центральная простая алгебра и группа Брауэра

Для поля k, а k-алгебра является центральной, если ее центр k и просто, если это простое кольцо. Поскольку центр простой k-алгебра - это поле, любое простое k-алгебра - это простая центральная алгебра над своим центром. В этом разделе предполагается, что центральная простая алгебра имеет конечную размерность. Также мы в основном исправляем базовое поле; таким образом, алгебра относится к k-алгебра. Матричное кольцо размера п над кольцом р будем обозначать ${ displaystyle R_ {n}}$.

В Теорема Сколема – Нётер утверждает, что любой автоморфизм центральной простой алгебры является внутренним.

Две центральные простые алгебры А и B как говорят похожий если есть целые числа п и м такой, что ${ Displaystyle A otimes _ {k} k_ {n} около B otimes _ {k} k_ {m}}$.^[48] С ${ displaystyle k_ {n} otimes _ {k} k_ {m} simeq k_ {nm}}$, подобие является отношением эквивалентности. Классы подобия ${ displaystyle [A]}$ с умножением ${ displaystyle [A] [B] = left [A otimes _ {k} B right]}$ образуют абелеву группу, называемую Группа Брауэра из k и обозначается ${ displaystyle operatorname {Br} (k)}$. Посредством Теорема Артина – Веддерберна, центральная простая алгебра - это кольцо матриц тела; таким образом, каждый класс подобия представлен уникальным делительным кольцом.

Например, ${ displaystyle operatorname {Br} (k)}$ тривиально, если k является конечным полем или алгебраически замкнутым полем (в более общем смысле квазиалгебраически замкнутое поле; ср. Теорема Цена ). ${ Displaystyle OperatorName {Br} ( mathbb {R})}$ имеет порядок 2 (частный случай теорема Фробениуса ). Наконец, если k неархимед местное поле (Например, ${ displaystyle mathbb {Q} _ {p}}$), тогда ${ Displaystyle OperatorName {Br} (к) = mathbb {Q} / mathbb {Z}}$ сквозь инвариантное отображение.

Сейчас если F является расширением поля k, то базовое расширение ${ displaystyle - otimes _ {k} F}$ побуждает ${ displaystyle operatorname {Br} (k) to operatorname {Br} (F)}$. Его ядро ​​обозначается ${ displaystyle operatorname {Br} (F / k)}$. Это состоит из ${ displaystyle [A]}$ такой, что ${ displaystyle A otimes _ {k} F}$ кольцо матриц над F (то есть, А разделен на F.) Если расширение конечно и Галуа, то ${ displaystyle operatorname {Br} (F / k)}$ канонически изоморфна ${ displaystyle H ^ {2} left ( operatorname {Gal} (F / k), k ^ {*} right)}$.^[49]

Адзумая алгебры обобщить понятие центральных простых алгебр на коммутативное локальное кольцо.

Оценочное кольцо

Если K это поле, оценка v является групповым гомоморфизмом из мультипликативной группы K^* полностью упорядоченной абелевой группе грамм такое, что для любого ж, грамм в K с ж + грамм ненулевой, v(ж + грамм) ≥ min {v(ж), v(грамм)}. В оценочное кольцо из v это подкольцо K состоящий из нуля и всех ненулевых ж такой, что v(ж) ≥ 0.

Примеры:

Смотрите также: Кольцо новикова и однорядное кольцо.

Кольца с дополнительной структурой

Кольцо можно рассматривать как абелева группа (с помощью операции сложения) с дополнительной структурой: а именно, кольцевым умножением. Таким же образом существуют другие математические объекты, которые можно рассматривать как кольца с дополнительной структурой. Например:

• An ассоциативная алгебра кольцо, которое также является векторное пространство над полем K такой, что скалярное умножение совместимо с умножением кольца. Например, набор п-к-п матрицы над действительным полем р имеет размер п² как реальное векторное пространство.
• Кольцо р это топологическое кольцо если его набор элементов р дается топология что делает карту сложения ( ${ displaystyle +: R times R to R ,}$) и карту умножения ( ${ displaystyle cdot: R times R to R ,}$) быть обоими непрерывный как карты между топологическими пространствами (где Икс × Икс наследует топология продукта или любой другой товар в этой категории). Например, п-к-п матрицы над действительными числами могут быть заданы либо Евклидова топология, или Топология Зарисского, и в любом случае получилось бы топологическое кольцо.
• А λ-кольцо коммутативное кольцо р вместе с операциями λ^п: р → р которые похожи п-й внешние силы:

${ Displaystyle лямбда ^ {п} (х + у) = сумма _ {0} ^ {п} лямбда ^ {я} (х) лямбда ^ {п-я} (у)}$.

Например, Z является λ-кольцом с ${ Displaystyle лямбда ^ {п} (х) = { binom {х} {п}}}$, то биномиальные коэффициенты. Это понятие играет центральное правило в алгебраическом подходе к Теорема Римана – Роха.

• А полностью заказанное кольцо кольцо с общий заказ который совместим с кольцевыми операциями.

Некоторые примеры повсеместного распространения колец

Много разных видов математические объекты можно плодотворно проанализировать с точки зрения некоторых связанное кольцо.

Кольцо когомологий топологического пространства

Любому топологическое пространство Икс можно связать его интеграл кольцо когомологий

${ displaystyle H ^ {*} (X, mathbb {Z}) = bigoplus _ {i = 0} ^ { infty} H ^ {i} (X, mathbb {Z}),}$

а градуированное кольцо. Это также группы гомологии ${ Displaystyle Н_ {я} (Х, mathbb {Z})}$ пространства, и действительно они были определены первыми, как полезный инструмент для различения определенных пар топологических пространств, таких как сферы и тори, для чего методы точечная топология не подходят. Группы когомологий позже были определены в терминах групп гомологии способом, который примерно аналогичен двойственному к векторное пространство. Знать каждую отдельную группу интегральных гомологий по существу то же самое, что знать каждую отдельную группу интегральных когомологий, поскольку теорема об универсальном коэффициенте. Однако преимущество групп когомологий состоит в том, что существует натуральный продукт, что аналогично наблюдению, что можно поточечно умножить a k-полилинейная форма и л-моллинейная форма для получения (k + л) -молилинейная форма.

Кольцевая структура в когомологиях служит основой для характеристические классы из пучки волокон, теория пересечений на многообразиях и алгебраические многообразия, Исчисление Шуберта и многое другое.

Кольцо Бернсайда группы

Любому группа связано его Кольцо Burnside который использует кольцо для описания различных способов, которыми группа может действовать на конечном множестве. Аддитивная группа кольца Бернсайда - это свободная абелева группа основу которого составляют транзитивные действия группы, а добавление - несвязное объединение действия. Выражение действия в терминах основы - это разложение действия на его переходные составляющие. Умножение легко выражается через представительное кольцо: умножение в кольце Бернсайда формируется путем записи тензорного произведения двух модулей перестановок в виде модуля перестановок. Кольцевая структура позволяет формально отделить одно действие от другого. Поскольку кольцо Бернсайда содержится как подкольцо конечного индекса кольца представлений, можно легко перейти от одного к другому, расширив коэффициенты с целых до рациональных чисел.

Кольцо представлений группового кольца

Любому групповое кольцо или же Алгебра Хопфа связано его представительное кольцо или «Зеленое кольцо». Аддитивная группа кольца представлений - это свободная абелева группа, в основе которой лежат неразложимые модули, а сложение которой соответствует прямой сумме. Выражение модуля в терминах базиса - это поиск неразложимой декомпозиции модуля. Умножение - это тензорное произведение. Когда алгебра полупроста, кольцо представления - это просто кольцо характеров из теория характера, что более или менее Группа Гротендик учитывая кольцевую структуру.

Функциональное поле неприводимого алгебраического многообразия

К любому несводимому алгебраическое многообразие связано его функциональное поле. Точки алгебраического многообразия соответствуют оценочные кольца содержится в поле функции и содержит координатное кольцо. Изучение алгебраическая геометрия интенсивно использует коммутативная алгебра изучать геометрические понятия с точки зрения теоретико-кольцевых свойств. Бирациональная геометрия изучает карты между подкольцами функционального поля.

Граневое кольцо симплициального комплекса

Каждый симплициальный комплекс имеет связанное лицо кольцо, также называемое его Кольцо Стэнли – Рейснера. Это кольцо отражает многие комбинаторные свойства симплициального комплекса, поэтому оно представляет особый интерес для алгебраическая комбинаторика. В частности, алгебраическая геометрия кольца Стэнли – Рейснера использовалась для характеристики количества граней в каждом измерении симплициальные многогранники.

Теоретико-категориальное описание

Каждое кольцо можно рассматривать как моноид в Ab, то категория абелевых групп (задуманный как моноидальная категория под тензорное произведение ${ Displaystyle { mathbb {Z}}}$-модули ). Моноидное действие кольца р на абелевой группе - это просто р-модуль. По сути, р-модуль является обобщением понятия векторное пространство - где вместо векторного пространства над полем имеется «векторное пространство над кольцом».

Позволять (А, +) абелева группа и End (А) быть его кольцо эндоморфизмов (см. выше). Обратите внимание, что, по сути, End (А) - множество всех морфизмов А, где если ж в конце (А), и грамм в конце (А) следующие правила могут быть использованы для вычисления ж + грамм и ж · грамм:

• (ж + грамм)(Икс) = ж(Икс) + грамм(Икс)
• (ж · грамм)(Икс) = ж(грамм(Икс))

где + как в ж(Икс) + грамм(Икс) является добавлением в А, а композиция функций обозначена справа налево. Следовательно, связанный в любую абелеву группу - кольцо. Наоборот, для любого кольца (р, +, · ), (р, +) - абелева группа. Кроме того, для каждого р в р, правое (или левое) умножение на р порождает морфизм (р, +), по правой (или левой) дистрибутивности. Позволять А = (р, +). Рассмотрим эти эндоморфизмы из А, который "множит на множитель" правое (или левое) умножение р. Другими словами, пусть End_р(А) - множество всех морфизмов м из А, обладающий свойством, что м(р · Икс) = р · м(Икс). Было видно, что каждый р в р рождает морфизм А: умножение справа на р. На самом деле это правда, что эта ассоциация любого элемента р, к морфизму А, как функция от р до конца_р(А), является изоморфизмом колец. В этом смысле, следовательно, любое кольцо можно рассматривать как кольцо эндоморфизмов некоторого абелевого Икс-группа по Икс-группа, подразумевается группа с Икс быть его набор операторов ).^[50] По сути, наиболее общая форма кольца - это группа эндоморфизмов некоторого абелевого Икс-группа.

Любое кольцо можно рассматривать как предаддитивная категория с одним объектом. Поэтому естественно рассматривать произвольные предаддитивные категории как обобщения колец. И действительно, многие определения и теоремы, первоначально данные для колец, могут быть переведены в этот более общий контекст. Аддитивные функторы между предаддитивными категориями обобщают понятие гомоморфизма колец, а идеалы в аддитивных категориях могут быть определены как множества морфизмы замкнуты по сложению и по композиции с произвольными морфизмами.

Обобщение

Алгебраисты определили структуры более общие, чем кольца, ослабив или отбросив некоторые аксиомы колец.

Rng

А rng то же самое, что и кольцо, за исключением того, что существование мультипликативного тождества не предполагается.^[51]

Неассоциативное кольцо

А неассоциативное кольцо является алгебраической структурой, удовлетворяющей всем аксиомам кольца, кроме ассоциативности и существования мультипликативного тождества. Ярким примером является Алгебра Ли. Существует некоторая структурная теория таких алгебр, обобщающая аналогичные результаты для алгебр Ли и ассоциативных алгебр.^{[нужна цитата ]}

Полукруглый

А полукольцо (иногда буровая установка) получается ослаблением предположения, что (р, +) является абелевой группой в предположении, что (р, +) - коммутативный моноид, и добавляя аксиому, что 0 · а = а · 0 = 0 для всех а в р (поскольку это уже не следует из других аксиом).

Примеры:

• неотрицательные целые числа ${ Displaystyle {0,1,2, ldots }}$ с обычным сложением и умножением;
• то тропическое полукольцо.

Другие кольцевидные объекты

Кольцевой объект в категории

Позволять C быть категорией с конечным товары. Обозначим через pt a конечный объект из C (пустой товар). А кольцо объект в C это объект р оснащенный морфизмами ${ displaystyle R times R ; { stackrel {a} { to}} , R}$ (добавление), ${ Displaystyle R раз R ; { stackrel {m} { to}} , R}$ (умножение), ${ displaystyle operatorname {pt} { stackrel {0} { to}} , R}$ (аддитивная идентичность), ${ Displaystyle R ; { stackrel {я} { to}} , R}$ (аддитивная обратная), и ${ displaystyle operatorname {pt} { stackrel {1} ​​{ to}} , R}$ (мультипликативное тождество), удовлетворяющее обычным аксиомам кольца. Эквивалентно кольцевой объект - это объект р оснащенный факторизацией его функтора точек ${ displaystyle h_ {R} = operatorname {Hom} (-, R): C ^ { operatorname {op}} to mathbf {Sets}}$ через категорию колец: ${ displaystyle C ^ { operatorname {op}} to mathbf {Rings} { stackrel { textrm {Forgotful}} { longrightarrow}} mathbf {Sets}}$.

Схема кольца

В алгебраической геометрии a схема кольца над базой схема S является кольцевым объектом из категории S-схемы. Одним из примеров является кольцевая схема W_п над Спецификация Z, что для любого коммутативного кольца А возвращает кольцо W_п(А) из п-изотипические векторы Витта длины п над А.^[52]

Спектр кольца

В алгебраическая топология, а кольцевой спектр это спектр Икс вместе с умножением ${ Displaystyle му двоеточие X клин от X до X}$ и единичная карта ${ displaystyle S to X}$ от сферический спектр S, такие, что кольцевые диаграммы аксиом коммутируют с точностью до гомотопии. На практике принято определять спектр кольца как моноидный объект в хорошей категории спектров, такой как категория симметричные спектры.

Смотрите также

Особые виды колец:

Примечания

Цитаты

Рекомендации

Общие ссылки