Лемма Хензеля - Википедия - Hensels lemma

В математика, Лемма Гензеля, также известный как Лемма Гензеля о поднятии, названный в честь Курт Хенсель, является результатом модульная арифметика, заявив, что если полиномиальное уравнение имеет простой корень по модулю а простое число $п$ , то этот корень соответствует единственному корню того же уравнения по модулю любой более высокой степени $п$ , который можно найти итеративно "подъем "решение по модулю последовательных степеней $п$ . В более общем плане он используется как общее название аналогов для полный коммутативные кольца (включая п-адические поля в частности) Метод Ньютона для решения уравнений. С п-адический анализ в некотором смысле проще, чем реальный анализ, существуют относительно аккуратные критерии, гарантирующие корень многочлена.

Заявление

Существует много эквивалентных утверждений леммы Гензеля. Пожалуй, наиболее распространенное утверждение следующее.

Общее утверждение

Предполагать ${ displaystyle K}$ - поле, полное относительно нормированной дискретной оценка ${ displaystyle v}$ . Предположим, кроме того, что ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {K}}$ кольцо целых чисел ${ displaystyle K}$ (т.е. все элементы ${ displaystyle K}$ с неотрицательной оценкой), пусть ${ displaystyle pi in K}$ быть таким, чтобы ${ Displaystyle v ( pi) = 1}$ и разреши ${ Displaystyle к = { mathcal {O}} _ {K} / pi { mathcal {O}} _ {K}}$ обозначить поле вычетов. Позволять ${ Displaystyle е (Х) в { mathcal {O}} _ {K} [X]}$ быть многочлен с коэффициентами в ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {K}}$ . Если сокращение ${ Displaystyle { overline {f}} (X) в к [X]}$ имеет простой корень (т.е. существует ${ displaystyle k_ {0} in k}$ такой, что ${ displaystyle { overline {f}} (k_ {0}) = 0}$ и ${ displaystyle { overline {f '}} (k_ {0}) neq 0}$ ), то существует единственное ${ Displaystyle а ин { mathcal {O}} _ {K}}$ такой, что ${ Displaystyle f (а) = 0}$ и сокращение ${ displaystyle { overline {a}} = k_ {0}}$ в ${ displaystyle k}$ .^[1]

Альтернативное заявление

Другой способ сформулировать это (в меньшей степени): пусть ${ displaystyle f (x)}$ быть многочлен с целое число (или же п-адические целые) коэффициенты, и пусть м,k натуральные числа такие, что м ≤ k. Если р такое целое число, что

{ Displaystyle е (г) Equiv 0 { bmod {p}} ^ {k} quad { text {and}} quad f '(r) not Equiv 0 { bmod {p}}}

тогда существует целое число s такой, что

{ Displaystyle F (s) Equiv 0 { bmod {p}} ^ {k + m} quad { text {and}} quad r Equiv s { bmod {p}} ^ {k}. }

Кроме того, это s уникален по модулю п^k+м, и может быть вычислено явно как целое число, такое что

{ displaystyle s = r-f (r) cdot a,}

куда ${ displaystyle a}$ целое число, удовлетворяющее

{ displaystyle a Equiv [f '(r)] ^ {- 1} { bmod {p}} ^ {m}.}

Обратите внимание, что ${ Displaystyle е (г) эквив 0 { bmod {p}} ^ {к}}$ так что условие ${ Displaystyle S Equiv г { bmod {p}} ^ {k}}$ встречается. Кроме того, если ${ Displaystyle F '(г) эквив 0 { bmod {p}}}$ , затем 0, 1 или несколько s могут существовать (см. Hensel Lifting ниже).

Вывод

Мы используем разложение Тейлора ж вокруг р написать:

{ displaystyle f (s) = sum _ {n = 0} ^ {N} c_ {n} (sr) ^ {n}, qquad c_ {n} = f ^ {(n)} (r) / п !.}

Из ${ Displaystyle г Equiv s { bmod {p}} ^ {k},}$ Мы видим, что s − р = tp^k для некоторого целого числа т. Позволять

{ Displaystyle { begin {align} е (s) & = sum _ {n = 0} ^ {N} c_ {n} left (tp ^ {k} right) ^ {n} & = f (r) + tp ^ {k} f '(r) + sum _ {n = 2} ^ {N} c_ {n} t ^ {n} p ^ {kn} & = f (r) + tp ^ {k} f '(r) + p ^ {2k} t ^ {2} g (t) && g (t) in mathbb {Z} [t] & = zp ^ {k} + tp ^ {k} f '(r) + p ^ {2k} t ^ {2} g (t) && f (r) Equiv 0 { bmod {p}} ^ {k} & = (z + tf '(r)) p ^ {k} + p ^ {2k} t ^ {2} g (t) end {align}}}

За ${ displaystyle m leqslant k,}$ у нас есть:

{ Displaystyle { begin {align} е (s) Equiv 0 { bmod {p}} ^ {k + m} & Longleftrightarrow (z + tf '(r)) p ^ {k} Equiv 0 { bmod {p}} ^ {k + m} & Longleftrightarrow z + tf '(r) Equiv 0 { bmod {p}} ^ {m} & Longleftrightarrow tf' (r) Equiv -z { bmod {p}} ^ {m} & Longleftrightarrow t Equiv -z [f '(r)] ^ {- 1} { bmod {p}} ^ {m} && p nmid f '(г) конец {выровнено}}}

Предположение, что ${ displaystyle f '(r)}$ не делится на п гарантирует, что ${ displaystyle f '(r)}$ имеет обратный мод ${ displaystyle p ^ {m}}$ который обязательно уникален. Следовательно, решение для т существует однозначно по модулю ${ displaystyle p ^ {m},}$ и s существует однозначно по модулю ${ displaystyle p ^ {k + m}.}$

Простое заявление

За ${ displaystyle f in mathbb {Z} _ {p} [x]}$ , если есть решение ${ displaystyle a_ {0}}$ из ${ Displaystyle е (а_ {0}) эквив 0 { bmod {p}}}$ и ${ Displaystyle F '(х) эквив 0 { bmod {p}}}$ не имеет решений, то существует единственный лифт ${ displaystyle alpha in mathbb {Z} _ {p}}$ такой, что ${ Displaystyle е ( альфа) = 0}$ . Обратите внимание, что с учетом решения ${ displaystyle alpha in mathbb {Z} _ {p}}$ куда ${ Displaystyle е ( альфа) = 0}$ , его проекция на ${ Displaystyle mathbb {Z} / p}$ дает решение ${ Displaystyle е ( альфа) эквив 0 { bmod {p}}}$ , поэтому лемма Гензеля дает возможность принимать решения ${ displaystyle { bmod {p}}}$ и дать решение в ${ displaystyle mathbb {Z} _ {p}}$ .

Наблюдения

Фробениус

Обратите внимание, что с учетом ${ displaystyle a in mathbb {F} _ {p}}$ то Эндоморфизм Фробениуса ${ Displaystyle (-) mapsto (-) ^ {p}}$ дает многочлен ${ displaystyle x ^ {p} -a}$ который всегда имеет нулевую производную

${ displaystyle { begin {align} { frac {d} {dx}} x ^ {p} -a & = p cdot x ^ {p-1} & Equiv 0 cdot x ^ {p- 1} { bmod {p}} & эквив 0 { bmod {p}} end {выровнено}}}$

следовательно п-ые корни ${ displaystyle a}$ не существуют в ${ displaystyle mathbb {Z} _ {p}}$ . За ${ displaystyle a = 1}$ , Из этого следует ${ displaystyle mathbb {Z} _ {p}}$ не может содержать корень единства ${ displaystyle mu _ {p}}$ .

Корни единства

Хотя ${ displaystyle p}$ -корни из единства не содержатся в ${ displaystyle mathbb {F} _ {p}}$ , есть решения ${ displaystyle x ^ {p} -x = x (x ^ {p-1} -1)}$ . Примечание

${ displaystyle { begin {align} { frac {d} {dx}} x ^ {p} -x & = px ^ {p-1} -1 & Equiv -1 { bmod {p}} конец {выровнено}}}$

никогда не равен нулю, поэтому, если существует решение, оно обязательно поднимается до ${ displaystyle mathbb {Z} _ {p}}$ . Потому что Фробениус дает ${ Displaystyle а ^ {р} = а}$ , все ненулевые элементы ${ Displaystyle mathbb {F} _ {p} ^ { times}}$ решения. Фактически, это единственные корни единства, содержащиеся в ${ displaystyle mathbb {Q} _ {p}}$ .^[2]

Хензель лифтинг

Используя лемму, можно «поднять» корень р полинома ж по модулю п^k к новому корню s по модулю п^k+1 такой, что р ≡ s мод п^k (принимая м= 1; принимая больше м следует по индукции). Фактически, корень по модулю п^k+1 также является корнем по модулю п^k, поэтому корни по модулю п^k+1 являются в точности поднятием корней по модулю п^k. Новый корень s конгруэнтно р по модулю п, поэтому новый корень также удовлетворяет ${ Displaystyle F '(s) Equiv F' (r) not Equiv 0 { bmod {p}}.}$ Так что подъем можно повторить, и начиная с решения р_k из ${ Displaystyle е (х) эквив 0 { bmod {p}} ^ {к}}$ мы можем получить последовательность решений р_k+1, р_k+2, ... того же соответствия для последовательно более высоких степеней п, при условии ${ displaystyle f '(r_ {k}) not Equiv 0 { bmod {p}}}$ для начального корня р_k. Это также показывает, что ж имеет такое же количество корней мод п^k как мод п^k+1, мод п ^k+2, или любой другой высшей степени п, при условии, что корни ж мод п^k все просто.

Что произойдет с этим процессом, если р это не простой корневой мод п? Предполагать

{ Displaystyle f (r) Equiv 0 { bmod {p}} ^ {k} quad { text {and}} quad f '(r) Equiv 0 { bmod {p}}.}

потом ${ Displaystyle S Equiv г { bmod {p}} ^ {k}}$ подразумевает ${ Displaystyle f (s) Equiv f (r) { bmod {p}} ^ {k + 1}.}$ То есть, ${ Displaystyle е (г + тп ^ {к}) эквив е (г) { bmod {р}} ^ {к + 1}}$ для всех целых чисел т. Следовательно, у нас есть два случая:

Если ${ Displaystyle е (г) not эквив 0 { bmod {p}} ^ {к + 1}}$ тогда нет отмены р к корню ж(Икс) по модулю п^k+1.
Если ${ Displaystyle е (г) эквив 0 { bmod {p}} ^ {к + 1}}$ затем каждый подъем р по модулю п^k+1 это корень ж(Икс) по модулю п^k+1.

Пример. Чтобы увидеть оба случая, мы исследуем два разных многочлена с п = 2:

${ Displaystyle е (х) = х ^ {2} +1}$ и р = 1. Тогда ${ Displaystyle е (1) эквив 0 { bmod {2}}}$ и ${ Displaystyle F '(1) Equiv 0 { bmod {2}}.}$ У нас есть ${ Displaystyle е (1) not эквив 0 { bmod {4}}}$ что означает, что никакое поднятие 1 до модуля 4 не является корнем ж(Икс) по модулю 4.

${ Displaystyle г (х) = х ^ {2} -17}$ и р = 1. Тогда ${ Displaystyle г (1) эквив 0 { bmod {2}}}$ и ${ displaystyle g '(1) Equiv 0 { bmod {2}}.}$ Однако, поскольку ${ Displaystyle г (1) эквив 0 { bmod {4}},}$ мы можем поднять наше решение до модуля 4, и оба подъема (т.е. 1, 3) являются решениями. Производная по-прежнему равна 0 по модулю 2, поэтому априори мы не знаем, можем ли мы поднять их по модулю 8, но на самом деле можем, поскольку грамм(1) равно 0 по модулю 8 и грамм(3) равно 0 по модулю 8, что дает решения при 1, 3, 5 и 7 по модулю 8. Поскольку только из них грамм(1) и грамм(7) равны 0 по модулю 16, мы можем поднять только 1 и 7 по модулю 16, что дает 1, 7, 9 и 15 по модулю 16. Из них только 7 и 9 дают грамм(Икс) = 0 по модулю 32, поэтому их можно поднять, получив 7, 9, 23 и 25 по модулю 32. Оказывается, для любого целого числа k ≥ 3, имеется четыре подъема 1 по модулю 2 до корня грамм(Икс) мод 2^k.

Лемма Гензеля для п-адические числа

в п-адические числа, где мы можем понять рациональные числа по модулю степеней п при условии, что знаменатель не кратен п, рекурсия из р_k (мод на корни п^k) к р_k+1 (мод на корни п^k+1) можно выразить гораздо более интуитивно. Вместо того, чтобы выбирать т быть (y) целым числом, которое решает сравнение

{ displaystyle tf '(r_ {k}) Equiv - (f (r_ {k}) / p ^ {k}) { bmod {p}} ^ {m},}

позволять т - рациональное число ( п^k здесь нет знаменателя, так как ж(р_k) делится на п^k):

{ displaystyle - (е (r_ {k}) / p ^ {k}) / f '(r_ {k}).}

Затем установите

{ displaystyle r_ {k + 1} = r_ {k} + tp ^ {k} = r_ {k} - { frac {f (r_ {k})} {f '(r_ {k})}}. }

Эта дробь может быть не целым числом, но это п-адическое целое число и последовательность чисел р_k сходится в п-адические целые числа до корня ж(Икс) = 0. Кроме того, отображаемая рекурсивная формула для (нового) числа р_k+1 с точки зрения р_k точно Метод Ньютона для нахождения корней уравнений в действительных числах.

Работая непосредственно в п-adics и используя п-адическое абсолютное значение, существует версия леммы Гензеля, которую можно применить, даже если мы начнем с решения ж(а) ≡ 0 мод п такой, что ${ displaystyle f '(a) Equiv 0 { bmod {p}}.}$ Нам просто нужно убедиться, что номер ${ displaystyle f '(а)}$ не совсем 0. Эта более общая версия выглядит следующим образом: если есть целое число а который удовлетворяет:

{ Displaystyle | е (а) | _ {р} <| е '(а) | _ {р} ^ {2},}

то есть уникальный п-адическое целое число б такой ж(б) = 0 и ${ displaystyle | b-a | _ {p} <| f '(a) | _ {p}.}$ Построение б сводится к тому, чтобы показать, что рекурсия из метода Ньютона с начальным значением а сходится в п-adics и мы позволяем б быть пределом. Уникальность б как корень, соответствующий условию ${ displaystyle | b-a | _ {p} <| f '(a) | _ {p}}$ требуется дополнительная работа.

Приведенная выше формулировка леммы Гензеля (взяв ${ displaystyle m = 1}$ ) является частным случаем этой более общей версии, поскольку условия, ж(а) ≡ 0 мод п и ${ Displaystyle F '(а) not Equiv 0 { bmod {p}}}$ скажи это ${ Displaystyle | е (а) | _ {р} <1}$ и ${ displaystyle | f '(a) | _ {p} = 1.}$

Примеры

Предположим, что п нечетное простое число и а ненулевой квадратичный вычет по модулю п. Тогда из леммы Гензеля следует, что а имеет квадратный корень в кольце п-адические целые числа ${ displaystyle mathbb {Z} _ {p}.}$ Действительно, пусть ${ displaystyle f (x) = x ^ {2} -a.}$ Если р квадратный корень из а по модулю п тогда:

{ Displaystyle е (г) = г ^ {2} -а эквив 0 { bmod {р}} четырехъядерный { текст {и}} четырехъядерный е '(г) = 2р не эквив 0 { bmod {p}},}

где второе условие зависит от того, что п странно. Базовая версия леммы Гензеля говорит нам, что начиная с р₁ = р мы можем рекурсивно построить последовательность целых чисел ${ displaystyle {r_ {k} }}$ такой, что:

{ Displaystyle r_ {к + 1} Equiv r_ {k} { bmod {p}} ^ {k}, quad r_ {k} ^ {2} Equiv a { bmod {p}} ^ {k }.}

Эта последовательность сходится к некоторому п-адическое целое число б что удовлетворяет б² = а. Фактически, б уникальный квадратный корень из а в ${ displaystyle mathbb {Z} _ {p}}$ соответствует р₁ по модулю п. Наоборот, если а идеальный квадрат в ${ displaystyle mathbb {Z} _ {p}}$ и не делится на п то это ненулевой квадратичный вычет по модулю п. Обратите внимание, что квадратичный закон взаимности позволяет легко проверить, а - ненулевой квадратичный вычет по модулю п, таким образом, мы получаем практический способ определить, какие п-адические числа (для п странно) иметь п-адический квадратный корень, и его можно расширить, чтобы охватить случай п = 2 с использованием более общей версии леммы Гензеля (ниже приводится пример с 2-адическими квадратными корнями из 17).

Чтобы сделать обсуждение выше более ясным, давайте найдем «квадратный корень из 2» (решение ${ displaystyle x ^ {2} -2 = 0}$ ) в 7-адических числах. По модулю 7 одно решение - 3 (мы также можем взять 4), поэтому мы полагаем ${ displaystyle r_ {1} = 3}$ . Тогда лемма Гензеля позволяет нам найти ${ displaystyle r_ {2}}$ следующее:

{ displaystyle { begin {align} f (r_ {1}) & = 3 ^ {2} -2 = 7 f (r_ {1}) / p ^ {1} & = 7/7 = 1 f '(r_ {1}) & = 2r_ {1} = 6 end {align}}}

На основании чего выражение

{ displaystyle tf '(r_ {1}) Equiv - (f (r_ {1}) / p ^ {k}) { bmod {p}},}

превращается в:

{ Displaystyle т CDOT 6 эквив -1 { bmod {7}}}

что подразумевает ${ displaystyle t = 1.}$ Сейчас же:

{ displaystyle r_ {2} = r_ {1} + tp ^ {1} = 3 + 1 cdot 7 = 10 = 13_ {7}.}

И конечно же, ${ displaystyle 10 ^ {2} Equiv 2 { bmod {7}} ^ {2}.}$ (Если бы мы использовали рекурсию метода Ньютона непосредственно в 7-адиках, то ${ displaystyle r_ {2} = r_ {1} -f (r_ {1}) / f '(r_ {1}) = 3-7 / 6 = 11/6,}$ и ${ Displaystyle 11/6 Equiv 10 { bmod {7}} ^ {2}.}$ )

Мы можем продолжить и найти ${ displaystyle r_ {3} = 108 = 3 + 7 + 2 cdot 7 ^ {2} = 213_ {7}}$ . Каждый раз, когда мы проводим расчет (то есть для каждого последующего значения k), добавляется еще одна цифра с основанием 7 для следующей более высокой степени 7. В 7-адических целых числах эта последовательность сходится, и пределом является квадратный корень из 2 в ${ displaystyle mathbb {Z} _ {7}}$ который имеет начальное 7-адическое разложение

{ displaystyle 3 + 7 + 2 cdot 7 ^ {2} +6 cdot 7 ^ {3} + 7 ^ {4} +2 cdot 7 ^ {5} + 7 ^ {6} +2 cdot 7 ^ {7} +4 cdot 7 ^ {8} + cdots.}

Если бы мы начали с первоначального выбора ${ displaystyle r_ {1} = 4}$ то лемма Гензеля даст квадратный корень из 2 в ${ displaystyle mathbb {Z} _ {7}}$ который соответствует 4 (mod 7) вместо 3 (mod 7), и на самом деле этот второй квадратный корень будет отрицательным из первого квадратного корня (что согласуется с 4 = −3 mod 7).

В качестве примера, когда исходная версия леммы Гензеля неверна, но более общая, пусть ${ displaystyle f (x) = x ^ {2} -17}$ и ${ displaystyle a = 1.}$ потом ${ displaystyle f (a) = - 16}$ и ${ displaystyle f '(а) = 2,}$ так

{ Displaystyle | е (а) | _ {2} <| е '(а) | _ {2} ^ {2},}

откуда следует, что существует единственное 2-адическое целое число б удовлетворение

{ displaystyle b ^ {2} = 17 quad { text {and}} quad | ba | _ {2} <| f '(a) | _ {2} = { frac {1} {2} },}

т.е. б ≡ 1 mod 4. В 2-адических целых числах есть два квадратных корня из 17, различающиеся знаком, и хотя они конгруэнтны по модулю 2, они не конгруэнтны по модулю 4. Это согласуется с общей версией леммы Гензеля, которая дает только уникальный 2-адический квадратный корень из 17, который конгруэнтен 1 по модулю 4, а не по модулю 2. Если бы мы начали с начального приближенного корня а = 3, то мы могли бы снова применить более общую лемму Гензеля, чтобы найти единственный 2-адический квадратный корень из 17, который конгруэнтен 3 по модулю 4. Это другой 2-адический квадратный корень из 17.

С точки зрения подъема корней ${ displaystyle x ^ {2} -17}$ от модуля 2^k до 2^k+1, подъемы, начиная с корня 1 по модулю 2, следующие:

1 мод 2 -> 1, 3 мод 4

1 мод 4 -> 1, 5 мод 8 и 3 мод 4 ---> 3, 7 мод 8

1 mod 8 -> 1, 9 mod 16 и 7 mod 8 ---> 7, 15 mod 16, а 3 mod 8 и 5 mod 8 не поднимаются до корней mod 16

9 mod 16 -> 9, 25 mod 32 и 7 mod 16 -> 7, 23 mod 16, а 1 mod 16 и 15 mod 16 не поднимают до корней mod 32.

Для каждого k минимум 3, есть четыре корни Икс² - 17 мод 2^k, но если мы посмотрим на их 2-адические разложения, то увидим, что попарно они сходятся к два 2-адические пределы. Например, четыре корня по модулю 32 разбиваются на две пары корней, каждая из которых выглядит одинаково по модулю 16:

9 = 1 + 2³ и 25 = 1 + 2³ + 2⁴.

7 = 1 + 2 + 2² и 23 = 1 + 2 + 2² + 2⁴.

2-адические квадратные корни из 17 имеют разложения

{ displaystyle 1 + 2 ^ {3} + 2 ^ {5} + 2 ^ {6} + 2 ^ {7} + 2 ^ {9} + 2 ^ {10} + cdots}

{ displaystyle 1 + 2 + 2 ^ {2} + 2 ^ {4} + 2 ^ {8} + 2 ^ {11} + cdots}

Другой пример, в котором мы можем использовать более общую версию леммы Гензеля, но не базовую, - это доказательство того, что любое 3-адическое целое число c ≡ 1 mod 9 - это куб в ${ displaystyle mathbb {Z} _ {3}.}$ Позволять ${ displaystyle f (x) = x ^ {3} -c}$ и возьмем начальное приближение а = 1. Основная лемма Гензеля не может быть использована для поиска корней ж(Икс) поскольку ${ Displaystyle F '(г) эквив 0 { bmod {3}}}$ для каждого р. Чтобы применить общую версию леммы Гензеля, мы хотим ${ Displaystyle | е (1) | _ {3} <| f '(1) | _ {3} ^ {2},}$ что значит ${ Displaystyle c Equiv 1 { bmod {2}} 7.}$ То есть, если c ≡ 1 mod 27, то общая лемма Гензеля говорит нам ж(Икс) имеет 3-адический корень, поэтому c является 3-адическим кубом. Однако мы хотели получить этот результат при более слабом условии, что c ≡ 1 мод 9. Если c ≡ 1 мод 9, затем c ≡ 1, 10 или 19 mod 27. Мы можем применить общую лемму Гензеля трижды в зависимости от значения c мод 27: если c ≡ 1 мод 27, затем используйте а = 1, если c ≡ 10 mod 27, затем используйте а = 4 (так как 4 является корнем ж(Икс) mod 27), а если c ≡ 19 мод 27, затем используйте а = 7. (Неверно, что каждый c ≡ 1 mod 3 - это 3-адический куб, например, 4 не является 3-адическим кубом, так как это не куб mod 9.)

Аналогичным образом, после некоторой предварительной работы, лемма Гензеля может быть использована, чтобы показать, что для любого странный простое число п, любой п-адическое целое число c конгруэнтно 1 по модулю п² это п-я степень в ${ displaystyle mathbb {Z} _ {p}.}$ (Это неверно для п = 2.)

Обобщения

Предполагать А это коммутативное кольцо, полный в отношении идеальный ${ displaystyle { mathfrak {m}},}$ и разреши ${ Displaystyle е (х) в А [х].}$ а ∈ А называется «приблизительным корнем» ж, если

{ displaystyle f (a) Equiv 0 { bmod {f}} '(a) ^ {2} { mathfrak {m}}.}

Если ж имеет приблизительный корень, тогда он имеет точный корень б ∈ А "рядом с" а; то есть,

{ displaystyle f (b) = 0 quad { text {and}} quad b Equiv a { bmod { mathfrak {m}}}.}

Кроме того, если ${ displaystyle f '(а)}$ не является делителем нуля, то б уникален.

Этот результат можно обобщить на несколько переменных следующим образом:

Теорема. Предполагать А - коммутативное кольцо, полное относительно идеала

{ displaystyle { mathfrak {m}} subset A.}

Позволять

{ displaystyle f_ {1}, ldots, f_ {n} in A [x_ {1}, ldots, x_ {n}]}

быть системой п многочлены от п переменные над А. Вид

{ displaystyle mathbf {f} = (f_ {1}, ldots, f_ {n}),}

как отображение из А^п себе, и пусть

{ Displaystyle J _ { mathbf {f}} ( mathbf {x})}

обозначить его Матрица якобиана. Предполагать а = (а₁, ..., а_п) ∈ А^п приближенное решение ж = 0 в том смысле, что

{ Displaystyle е_ {я} ( mathbf {а}) эквив 0 { bmod {(}} det J _ { mathbf {f}} (а)) ^ {2} { mathfrak {m}}, qquad 1 leqslant i leqslant n.}

Тогда есть некоторые б = (б₁, ..., б_п) ∈ А^п удовлетворение ж(б) = 0, т.е.

{ displaystyle f_ {i} ( mathbf {b}) = 0, qquad 1 leqslant i leqslant n.}

Кроме того, это решение «близко» к а в том смысле, что

{ displaystyle b_ {i} Equiv a_ {i} { bmod { det}} J _ { mathbf {f}} (a) { mathfrak {m}}, qquad 1 leqslant i leqslant n. }

В частном случае, если ${ Displaystyle е_ {я} ( mathbf {а}) эквив 0 { bmod { mathfrak {m}}}}$ для всех я и ${ Displaystyle Det J _ { mathbf {f}} ( mathbf {a})}$ единица в А тогда есть решение ж(б) = 0 с ${ Displaystyle b_ {я} эквив а_ {я} { bmod { mathfrak {м}}}}$ для всех я.

Когда п = 1, а = а является элементом А и ${ displaystyle J _ { mathbf {f}} ( mathbf {a}) = J_ {f} (a) = f '(a).}$ Условия этой леммы Гензеля о многих переменных сводятся к условиям, сформулированным в лемме Гензеля об одной переменной.

Связанные понятия

Полнота кольца не является необходимым условием для того, чтобы кольцо обладало гензелевым свойством: Горо Адзумая в 1950 г. определил коммутативный местное кольцо удовлетворяющие гензелевости для максимальный идеал м быть Гензельское кольцо.

Масаёши Нагата в 1950-х годах доказал, что для любого коммутативного локального кольца А с максимальным идеалом м всегда существует самое маленькое кольцо А^час содержащий А такой, что А^час гензелев по отношению к мА^час. Этот А^час называется Хенселизация из А. Если А является нётерский, А^час также будет нётерским, и А^час явно алгебраический, поскольку он построен как предел этальные кварталы. Это означает, что А^час обычно намного меньше, чем завершение Â сохраняя при этом гензелевскую собственность и оставаясь в том же категория^{[требуется разъяснение ]}.