Целое число - Википедия - Integer

В Зален символ, часто используемый для обозначения множества всех целых чисел (см. Список математических символов )

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу-)прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа Sп Кляйн четыре группы V Группа диэдра Dп Группа Quaternion Q Дициклическая группа Dicп
Дискретные группы Решетки Целые числа (Z) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2,Z) SL (2,Z) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологический и Группы Ли Соленоид Круг Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Евклидово E (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п) грамм2 F4 E6 E7 E8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая

An целое число (от латинский целое число означает "целое")^[а] в просторечии определяется как номер что можно написать без дробная составляющая. Например, 21, 4, 0 и -2048 - целые числа, а 9,75, 5+1/2, и√2 не.

В набор целых чисел состоит из нуля (0 ) положительный натуральные числа (1, 2, 3, ...), также называемый целые числа или же подсчет чисел,^[2][3] и их аддитивное обратное (в отрицательные целые числа, т.е. −1, −2, −3, ...). Набор целых чисел часто обозначается жирный шрифт буква 'Z' ("Z") или же классная доска жирным шрифтом ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ (Unicode U + 2124 ℤ) означает Немецкий слово Зален ([ˈTsaːlən], «числа»).^[4][5][6][7]

ℤ это подмножество из набора всех рациональный числа ℚ, который, в свою очередь, является подмножеством настоящий числа ℝ. Как натуральные числа, ℤ является счетно бесконечный.

Целые числа образуют наименьшее группа и самый маленький звенеть содержащий натуральные числа. В алгебраическая теория чисел, целые числа иногда квалифицируются как рациональные целые числа отличить их от более общих алгебраические целые числа. Фактически (рациональные) целые числа - это целые алгебраические числа, которые также являются рациональное число.

Символ

Символ ℤ могут быть аннотированы для обозначения различных наборов, которые используются разными авторами по-разному: ℤ⁺,^[4] ℤ₊ или же ℤ^> для положительных целых чисел, ℤ⁰⁺ или же ℤ^≥ для неотрицательных целых чисел и ℤ^≠ для ненулевых целых чисел. Некоторые авторы используют ℤ^* для ненулевых целых чисел, в то время как другие используют его для неотрицательных целых чисел или для {–1, 1}. Кроме того, ℤ_п используется для обозначения набора целые числа по модулю п^[4] (т. е. набор классы конгруэнтности целых чисел), или набор п-адические целые числа.^[8][9][10]

Алгебраические свойства

Целые числа можно рассматривать как дискретные, равноотстоящие точки на бесконечно длинной числовая строка. В приведенном выше описании не-отрицательный целые числа показаны синим, а отрицательные числа - красным.

Алгебраическая структура → Теория колец Теория колец
Базовые концепты Кольца • Подкольца • Идеально • Факторное кольцо • Дробный идеал • Общее кольцо частного • Кольцо продукта • Свободное произведение ассоциативных алгебр • Тензорное произведение колец Гомоморфизмы колец • Ядро • Внутренний автоморфизм • Эндоморфизм Фробениуса Алгебраические структуры • Модуль • Ассоциативная алгебра • Градуированное кольцо • Инволютивное кольцо • Категория колец • Начальное кольцо ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ • Терминальное кольцо ${ Displaystyle 0 = mathbb {Z} _ {1}}$ Связанные структуры • Поле • Конечное поле • Неассоциативное кольцо • Кольцо лжи • Кольцо Jordan • Полукруглый • Полуполе
Коммутативная алгебра Коммутативные кольца • Интегральный домен • Целостно закрытый домен • GCD домен • Уникальный домен факторизации • Основная идеальная область • Евклидова область • Поле • Конечное поле • Композиционное кольцо • Кольцо полиномов • Формальное кольцо серии power Алгебраическая теория чисел • Поле алгебраических чисел • Кольцо целых чисел • Алгебраическая независимость • Трансцендентальная теория чисел • Степень трансцендентности п-адический теория чисел и десятичные дроби • Прямой лимит /Обратный предел • Нулевое кольцо ${ displaystyle mathbb {Z} _ {1}}$ • Целые числа по модулю пп ${ Displaystyle mathbb {Z} / p ^ {n} mathbb {Z}}$ • Прюфер п-звенеть ${ Displaystyle mathbb {Z} (р ^ { infty})}$ • Основание -п круг кольцо ${ displaystyle mathbb {T}}$ • Основание -п целые числа ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ • п-adic рациональные ${ Displaystyle mathbb {Z} [1 / p]}$ • Основание -п действительные числа ${ Displaystyle mathbb {R}}$ • п-адические целые числа ${ displaystyle mathbb {Z} _ {p}}$ • п-адические числа ${ displaystyle mathbb {Q} _ {p}}$ • п-адический соленоид ${ displaystyle mathbb {T} _ {p}}$ Алгебраическая геометрия • Аффинное разнообразие
Некоммутативная алгебра Некоммутативные кольца • Дивизионное кольцо • Полупримитивное кольцо • Простое кольцо • Коммутатор Некоммутативная алгебраическая геометрия Свободная алгебра Алгебра Клиффорда • Геометрическая алгебра Операторная алгебра

Словно натуральные числа, ℤ является закрыто под операции сложения и умножение, то есть сумма и произведение любых двух целых чисел является целым числом. Однако с включением отрицательных натуральных чисел (и, что немаловажно,0 ), ℤ, в отличие от натуральных чисел, также закрывается по вычитание.^[11]

Целые числа образуют кольцо единства которое является самым основным в следующем смысле: для любого кольца с единицей существует единственное кольцевой гомоморфизм из целых чисел в это кольцо. Этот универсальная собственность, а именно быть исходный объект в категория колец, характеризует кольцоℤ.

ℤ не закрывается под разделение, поскольку частное двух целых чисел (например, 1, деленное на 2) не обязательно должно быть целым числом. Хотя натуральные числа закрыты возведение в степень, целые числа - нет (поскольку результат может быть дробью, если показатель степени отрицательный).

В следующей таблице перечислены некоторые основные свойства сложения и умножения любых целых чисел. а, б и c:

На языке абстрактная алгебра, первые пять свойств, перечисленных выше для добавления, говорят, что ℤ, кроме того, абелева группа. Это также циклическая группа, так как любое ненулевое целое число можно записать в виде конечной суммы 1 + 1 + … + 1 или же (−1) + (−1) + … + (−1). Фактически, ℤ под добавлением Только бесконечная циклическая группа - в том смысле, что любая бесконечная циклическая группа изоморфный к ℤ.

Первые четыре свойства, перечисленные выше для умножения, говорят, что ℤ при умножении коммутативный моноид. Однако не каждое целое число имеет обратное мультипликативное число (как в случае числа 2), что означает, что ℤ при умножении не является группой.

Все правила из приведенной выше таблицы свойств (кроме последнего), взятые вместе, говорят, что ℤ вместе со сложением и умножением является коммутативное кольцо с единство. Это прототип всех объектов такого алгебраическая структура. Только те равенства из выражения верны вℤ для всех значения переменных, истинные в любом коммутативном кольце с единицей. Некоторые ненулевые целые числа отображаются в нуль в определенных кольцах.

Отсутствие делители нуля в целых числах (последнее свойство в таблице) означает, что коммутативное кольцоℤ является область целостности.

Отсутствие мультипликативных инверсий, что равносильно тому, что ℤ не закрывается по разделению, означает, что ℤ является нет а поле. Наименьшее поле, содержащее целые числа в виде подкольцо это область рациональное число. Процесс построения рациональных чисел из целых чисел можно имитировать, чтобы сформировать поле дробей любой области целостности. И обратно, начиная с поле алгебраических чисел (расширение рациональных чисел), его кольцо целых чисел можно извлечь, что включает в себя ℤ как его подкольцо.

Хотя обычное деление не определено ℤ, по ним определяется деление «с остатком». Это называется Евклидово деление, и обладает следующим важным свойством: для двух целых чисел а и б с б ≠ 0, существуют уникальные целые числа q и р такой, что а = q × б + р и 0 ≤ р < | б |, куда | б | обозначает абсолютная величина из б.^[12] Целое число q называется частное и р называется остаток подразделения а к б. В Евклидов алгоритм для вычислений наибольшие общие делители работает по последовательности евклидовых делений.

Опять же, на языке абстрактной алгебры вышесказанное говорит, что ℤ это Евклидова область. Отсюда следует, что ℤ это главная идеальная область, и любое положительное целое число можно записать как произведение простые числа в по сути уникальный путь.^[13] Это основная теорема арифметики.

Теоретико-порядковые свойства

ℤ это полностью заказанный набор без верхняя или нижняя граница. Порядок ℤ дан кем-то::... −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < 3 < ...Целое число положительный если он больше чем нуль, и отрицательный если он меньше нуля. Ноль не определяется ни отрицательным, ни положительным.

Порядок целых чисел совместим с алгебраическими операциями следующим образом:

1. если а < б и c < d, тогда а + c < б + d
2. если а < б и 0 < c, тогда ac < до н.э.

Отсюда следует, что ℤ вместе с указанным выше порядком заказанное кольцо.

Целые числа - единственные нетривиальные полностью заказанный абелева группа чьи положительные элементы хорошо организованный.^[14] Это эквивалентно утверждению, что любой Нётерян оценочное кольцо является либо поле —Или кольцо дискретной оценки.

Строительство

Красные точки представляют собой упорядоченные пары натуральные числа. Связанные красные точки - это классы эквивалентности, представляющие синие целые числа в конце строки.

В начальной школе целые числа часто интуитивно определяются как (положительные) натуральные числа, нуль, и отрицания натуральных чисел. Однако такой стиль определения приводит к множеству различных случаев (каждая арифметическая операция должна быть определена для каждой комбинации типов целых чисел) и делает утомительным доказательство того, что целые числа подчиняются различным законам арифметики.^[15] Поэтому в современной теоретико-множественной математике более абстрактная конструкция^[16] вместо этого часто используется позволяющая определять арифметические операции без различия регистра.^[17] Таким образом, целые числа можно формально построить как классы эквивалентности из заказанные пары из натуральные числа (а,б).^[18]

Интуиция такова, что (а,б) обозначает результат вычитания б из а.^[18] Чтобы подтвердить наши ожидания, что 1 − 2 и 4 − 5 обозначим то же число, определим отношение эквивалентности ~ на этих парах по следующему правилу:

${ Displaystyle (а, Ь) сим (с, d)}$

именно когда

${ displaystyle a + d = b + c.}$

Сложение и умножение целых чисел можно определить в терминах эквивалентных операций с натуральными числами;^[18] используя [(а,б)] для обозначения класса эквивалентности, имеющего (а,б) как член имеет:

${ displaystyle [(a, b)] + [(c, d)]: = [(a + c, b + d)].}$

${ displaystyle [(a, b)] cdot [(c, d)]: = [(ac + bd, ad + bc)].}$

Отрицание (или аддитивное обратное) целого числа получается изменением порядка пары:

${ displaystyle - [(a, b)]: = [(b, a)].}$

Следовательно, вычитание можно определить как добавление обратного аддитивного:

${ displaystyle [(a, b)] - [(c, d)]: = [(a + d, b + c)].}$

Стандартный порядок целых чисел определяется следующим образом:

${ displaystyle [(a, b)] <[(c, d)]}$ если и только если ${ displaystyle a + d$

Легко проверить, что эти определения не зависят от выбора представителей классов эквивалентности.

Каждый класс эквивалентности имеет уникальный член, имеющий форму (п,0) или же (0,п) (или оба сразу). Натуральное число п отождествляется с классом [(п,0)] (т.е. натуральные числа равны встроенный в целые числа, отправив карту п к [(п,0)]), а класс [(0,п)] обозначается −п (это покрывает все остальные классы и дает классу [(0,0)] второй раз с −0 = 0.

Таким образом, [(а,б)] обозначается

${ displaystyle { begin {cases} a-b, & { mbox {if}} a geq b - (b-a), & { mbox {if}} a$

Если натуральные числа отождествляются с соответствующими целыми числами (с использованием упомянутого выше вложения), это соглашение не создает двусмысленности.

Это обозначение восстанавливает знакомые представление целых чисел как {…, −2, −1, 0, 1, 2, …}.

Вот несколько примеров:

${ Displaystyle { begin {align} 0 & = [(0,0)] & = [(1,1)] & = cdots && = [(k, k)] 1 & = [(1,0) ] & = [(2,1)] & = cdots && = [(k + 1, k)] - 1 & = [(0,1)] & = [(1,2)] & = cdots && = [(k, k + 1)] 2 & = [(2,0)] & = [(3,1)] & = cdots && = [(k + 2, k)] - 2 & = [(0,2)] & = [(1,3)] & = cdots && = [(k, k + 2)]. End {выравнивается}}}$

В теоретической информатике используются другие подходы к построению целых чисел. автоматические средства доказательства теорем и механизмы перезаписи терминов. Целые числа представлены как алгебраические термины построенный с использованием нескольких основных операций (например, нуль, succ, пред) и, возможно, используя натуральные числа, которые предполагается уже построенными (например, с использованием подхода Пеано).

Таких конструкций целых чисел со знаком существует не менее десяти.^[19] Эти конструкции различаются несколькими способами: числом основных операций, используемых для построения, числом (обычно от 0 до 2) и типами аргументов, принимаемых этими операциями; наличие или отсутствие натуральных чисел в качестве аргументов некоторых из этих операций, а также тот факт, что эти операции являются свободными конструкторами или нет, т.е. что одно и то же целое число может быть представлено с использованием только одного или нескольких алгебраических терминов.

Техника построения целых чисел, представленная выше в этом разделе, соответствует частному случаю, когда существует единственная базовая операция пара${ Displaystyle (х, у)}$ который принимает в качестве аргументов два натуральных числа ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$, и возвращает целое число (равное ${ displaystyle x-y}$). Эта операция не бесплатна, так как целое число 0 можно записать пара(0,0), или пара(1,1), или пара(2,2) и т. Д. Такой прием построения используется помощник доказательства Изабель; однако многие другие инструменты используют альтернативные методы построения, в первую очередь те, которые основаны на бесплатных конструкторах, которые проще и могут быть более эффективно реализованы на компьютерах.

Информатика