Специальная линейная группа - Special linear group

В математика, то специальная линейная группа SL (п, F) степени п через поле F это набор п × п матрицы с участием детерминант 1, с групповыми операциями обычного матричное умножение и инверсия матриц. Это нормальная подгруппа из общая линейная группа предоставленный ядро из детерминант

{ displaystyle det двоеточие operatorname {GL} (n, F) to F ^ { times}.}

где мы пишем F^× для мультипликативная группа из F (это, F без 0).

Эти элементы являются «особенными» в том смысле, что они образуют подмножество общей линейной группы - они удовлетворяют полиномиальному уравнению (так как определитель полиномиален по элементам).

Геометрическая интерпретация

Специальная линейная группа SL (п, р) можно охарактеризовать как группу объем и ориентация сохранение линейные преобразования р^п; это соответствует интерпретации детерминанта как измерения изменения объема и ориентации.

Подгруппа Ли

Когда F является р или C, SL (п, F) это Подгруппа Ли из GL (п, F) измерения п² − 1. В Алгебра Ли ${ Displaystyle { mathfrak {sl}} (п, F)}$ SL (п, F) состоит из всех п × п матрицы над F с исчезновением след. В Кронштейн лжи дается коммутатор.

Топология

Любая обратимая матрица может быть однозначно представлена в соответствии с полярное разложение как продукт унитарная матрица и эрмитова матрица с положительным собственные значения. В детерминант унитарной матрицы находится на единичный круг в то время как матрица эрмитовой матрицы действительна и положительна, и поскольку в случае матрицы из специальной линейной группы произведение этих двух определителей должно быть 1, тогда каждый из них должен быть равен 1. Следовательно, можно записать специальную линейную матрицу как продукт специальная унитарная матрица (или специальная ортогональная матрица в реальном случае) и положительно определенный эрмитова матрица (или симметричная матрица в реальном случае) с определителем 1.

Таким образом, топология группы SL (п, C) это товар топологии SU (п) и топологии группы эрмитовых матриц единичного определителя с положительными собственными значениями. Эрмитова матрица с единичным определителем и положительными собственными значениями может быть однозначно выражена как экспоненциальный из бесследный эрмитова матрица, и, следовательно, топология этой матрицы (п² − 1)-размерный Евклидово пространство.^[1] Поскольку SU (п) является односвязный,^[2] мы заключаем, что SL (п, C) тоже односвязно, для всех п.

Топология SL (п, р) является продуктом топологии ТАК (п) и топологии группы симметричных матриц с положительными собственными значениями и единичным определителем. Поскольку последние матрицы могут быть однозначно выражены как экспонента симметричных бесследовых матриц, то последняя топология является топологией (п + 2)(п − 1)/2-мерное евклидово пространство. Таким образом, группа SL (п, р) имеет то же самое фундаментальная группа как SO (п), это, Z для п = 2 и Z₂ для п > 2.^[3] В частности, это означает, что SL (п, р), в отличие SL (п, C), не просто связано, ибо п больше 1.

Отношения с другими подгруппами GL (п,А)

Две связанные подгруппы, которые в некоторых случаях совпадают с SL, а в других случаях случайно объединяются с SL, являются коммутаторная подгруппа группы GL, а группа, порожденная трансвекция. Обе эти подгруппы в SL (детерминант трансвекций равен 1, а det является отображением в абелеву группу, поэтому [GL, GL] ≤ SL), но в общем случае не совпадают с ней.

Группа, порожденная трансвекциями, обозначается E (п, А) (для элементарные матрицы ) или ТЕЛЕВИЗОР(п, А). Ко второму Соотношение Стейнберга, для п ≥ 3, трансвекции являются коммутаторами, поэтому для п ≥ 3, E (п, А) ≤ [GL (п, А), GL (п, А)].

Для п = 2, трансвекции не обязательно должны быть коммутаторами ( 2 × 2 матрицы), как видно, например, когда А является F₂, поле двух элементов, то

{ displaystyle operatorname {Alt} (3) cong [ operatorname {GL} (2, mathbf {F} _ {2}), operatorname {GL} (2, mathbf {F} _ {2} )] < operatorname {E} (2, mathbf {F} _ {2}) = operatorname {SL} (2, mathbf {F} _ {2}) = operatorname {GL} (2, mathbf {F} _ {2}) cong operatorname {Sym} (3),}

где Alt (3) и Sym (3) обозначают чередование соотв. симметричная группа на 3 буквы.

Однако если А поле с более чем 2 элементами, то E (2, А) = [GL (2, А), GL (2, А)], и если А это поле с более чем 3 элементами, E (2, А) = [SL (2, А), SL (2, А)].^{[сомнительный – обсудить]}

В некоторых случаях они совпадают: специальная линейная группа над полем или Евклидова область порождается трансвекциями, а стабильный специальная линейная группа над Дедекиндский домен порождается трансвекциями. Для более общих колец стабильная разница измеряется особая группа Уайтхеда SK₁(А): = SL (А) / E (А), где SL (А) и E (А) являются стабильные группы специальной линейной группы и элементарных матриц.

Генераторы и отношения

При работе над кольцом, где SL генерируется трансвекция (например, поле или Евклидова область ) можно дать презентация SL с использованием трансвекций с некоторыми отношениями. Трансвекции удовлетворяют Отношения Штейнберга, но этого недостаточно: получившаяся группа является Группа Steinberg, которая не является специальной линейной группой, а скорее универсальное центральное расширение коммутаторной подгруппы GL.

Достаточный набор соотношений для SL (п, Z) для п ≥ 3 задается двумя соотношениями Стейнберга плюс третьим соотношением (Кондер, Робертсон и Уильямс 1992, п. 19) .Пусть Т_ij := е_ij(1) - элементарная матрица с единицами на диагонали и в ij позиции и 0 в другом месте (и я ≠ j). потом

{ displaystyle { begin {align} left [T_ {ij}, T_ {jk} right] & = T_ {ik} && { text {for}} i neq k [4pt] left [ T_ {ij}, T_ {k ell} right] & = mathbf {1} && { text {for}} i neq ell, j neq k [4pt] (T_ {12} T_ {21} ^ {- 1} T_ {12}) ^ {4} & = mathbf {1} end {align}}}

представляют собой полный набор соотношений для SL (п, Z), п ≥ 3.

SL^±(п,F)

В характеристика кроме 2, набор матриц с определителем $\pm1$ образуют другую подгруппу GL, с SL как подгруппу индекса 2 (обязательно нормальную); в характеристике 2 это то же самое, что и SL. Это формирует короткая точная последовательность групп:

{ displaystyle mathrm {SL} (n, F) to mathrm {SL} ^ { pm} (n, F) to { pm 1 }.}

Эта последовательность разбивается, взяв любую матрицу с определителем $-1$ , например диагональная матрица ${ displaystyle (-1,1, точки, 1).}$ Если ${ displaystyle n = 2k + 1}$ нечетная, отрицательная единичная матрица ${ displaystyle -I}$ в $SL \pm (п, F)$ но не в $SL (п, F)$ и, таким образом, группа распадается как внутренний прямой продукт ${ Displaystyle SL ^ { pm} (2k + 1, F) cong SL (2k + 1, F) times { pm I }}$ . Однако если ${ displaystyle n = 2k}$ даже, ${ displaystyle -I}$ уже в $SL (п, F)$ , $SL \pm$ не расщепляется и, в общем, является нетривиальным расширение группы.

По реальным числам, $SL \pm (п, р)$ имеет два связанные компоненты, соответствующий $SL (п, р)$ и другой компонент, изоморфные с идентификацией в зависимости от выбора точки (матрица с определителем $-1$ ). В нечетном измерении они естественным образом идентифицируются как ${ displaystyle -I}$ , но в четном измерении нет единой естественной идентификации.

Структура GL (п,F)

Группа GL (п, F) разбивается по определителю (мы используем F^× ≅ GL (1, F) → GL (п, F) как мономорфизм от F^× к GL (п, F), увидеть полупрямой продукт ), и поэтому GL (п, F) можно записать как полупрямой продукт из SL (п, F) от F^×:

GL (п, F) = SL (п, F) ⋊ F^×.

Смотрите также

использованная литература

^ Зал 2015 Раздел 2.5
^ Зал 2015 Предложение 13.11.
^ Зал 2015 Разделы 13.2 и 13.3

Кондер, Марстон; Робертсон, Эдмунд; Уильямс, Питер (1992), "Представления для трехмерных специальных линейных групп над целыми кольцами", Труды Американского математического общества, Американское математическое общество, 115 (1): 19–26, Дои:10.2307/2159559, JSTOR 2159559, Г-Н 1079696
Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение, Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer

[1] Зал 2015 Раздел 2.5

[2] Зал 2015 Предложение 13.11.

[3] Зал 2015 Разделы 13.2 и 13.3

[1]

[2]

[3]