Группа Пуанкаре - Poincaré group

Анри Пуанкаре

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу-)прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа Sп Кляйн четыре группы V Группа диэдра Dп Группа Quaternion Q Дициклическая группа Dicп
Дискретные группы Решетки Целые числа (Z) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2,Z) SL (2,Z) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологический и Группы Ли Соленоид Круг Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Евклидово E (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п) грамм2 F4 E6 E7 E8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая

В Группа Пуанкаре, названный в честь Анри Пуанкаре (1906),^[1] был впервые определен Герман Минковски (1908) как группа из Изометрии пространства-времени Минковского.^[2][3] Это десятимерный неабелев Группа Ли, который важен как модель для нашего понимания самых основных основ физика. Например, одним из способов точного определения того, что субатомная частица является, Шелдон Ли Глэшоу выразил это "Частицы как минимум описываются неприводимыми представлениями группы Пуанкаре ».^[4]

Обзор

А Изометрия пространства-времени Минковского имеет свойство, что интервал между События остается инвариантным. Например, если все было отложено на два часа, включая два события и путь, который вы выбрали для перехода от одного к другому, то временной интервал между событиями, записанными секундомером, который вы носили с собой, был бы таким же. Или, если бы все было сдвинуто на пять километров к западу или повернулось на 60 градусов вправо, вы также не увидели бы никаких изменений в интервале. Получается, что подходящая длина объекта также не зависит от такого смещения. Поворот времени или пространства (отражение) также является изометрией этой группы.

В пространстве Минковского (т.е. игнорирование эффектов сила тяжести ) существует десять степеней свободы изометрии, который можно рассматривать как перемещение во времени или пространстве (четыре степени, по одной на измерение); отражение через плоскость (три степени, свобода ориентации этой плоскости); или "способствовать росту "в любом из трех пространственных направлений (трех степеней). Композиция преобразований - это операция группы Пуанкаре с правильные вращения производятся как композиция четного числа отражений.

В классическая физика, то Галилейская группа сопоставимая группа из десяти параметров, которая действует на абсолютное время и пространство. Вместо бонусов в нем есть карты сдвига связать сопутствующие системы отсчета.

Симметрия Пуанкаре

Симметрия Пуанкаре это полная симметрия специальная теория относительности. Это включает в себя:

• переводы (смещения) во времени и пространстве (п), образуя абелевский Группа Ли переводов по пространству-времени;
• вращения в пространстве, образуя неабелеву группу Ли трехмерные вращения (J);
• повышает, преобразования, соединяющие два равномерно движущихся тела (K).

Последние две симметрии, J и Kвместе делаем Группа Лоренца (смотрите также Лоренц-инвариантность ); в полупрямой продукт группы трансляций и группы Лоренца затем порождают группу Пуанкаре. В этом случае говорят, что объекты, инвариантные относительно этой группы, обладают Инвариантность Пуанкаре или же релятивистская инвариантность.

Группа Пуанкаре

Группа Пуанкаре - это группа пространства-времени Минковского. изометрии. Это десятимерный некомпактный Группа Ли. В абелева группа из переводы это нормальная подгруппа, в то время как Группа Лоренца также является подгруппой, стабилизатор происхождения. Сама группа Пуанкаре является минимальной подгруппой группы аффинная группа который включает все переводы и Преобразования Лоренца. Точнее, это полупрямой продукт переводов и группы Лоренца,

${ Displaystyle mathbf {R} ^ {1,3} rtimes mathrm {O} (1,3) ,,}$

с групповым умножением

${ Displaystyle ( альфа, е) CDOT ( бета, г) = ( альфа + е CDOT бета, ; е CDOT г)}$.^[5]

Другими словами, группа Пуанкаре - это расширение группы из Группа Лоренца вектором представление из этого; его иногда неофициально называют неоднородная группа Лоренца. В свою очередь, его также можно получить как групповое сокращение группы де Ситтера SO (4,1) ~ Sp (2,2), как радиус де Ситтера уходит в бесконечность.

Его положительная энергия унитарная неприводимая представления индексируются масса (неотрицательное число) и вращение (целое число или полуцелое число) и связаны с частицами в квантовая механика (видеть Классификация Вигнера ).

В соответствии с Программа Эрланген, геометрия пространства Минковского определяется группой Пуанкаре: пространство Минковского рассматривается как однородное пространство для группы.

В квантовая теория поля, универсальная накрывающая группы Пуанкаре

${ displaystyle mathbf {R} ^ {1,3} rtimes mathrm {SL} (2, mathbf {C}),}$

которую можно идентифицировать по двойной крышке

${ displaystyle mathbf {R} ^ {1,3} rtimes mathrm {Spin} (1,3),}$

более важно, потому что представления ${ Displaystyle mathrm {SO} (1,3)}$ не могут описывать поля со спином 1/2, т.е. фермионы. Здесь ${ Displaystyle mathrm {SL} (2, mathbf {C})}$ это группа сложных ${ displaystyle 2 times 2}$ матрицы с единичным определителем, изоморфные матрице Спиновая группа лоренцевой сигнатуры ${ displaystyle mathrm {Spin} (1,3)}$.

Алгебра Пуанкаре

Группы Ли
Классические группы Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п)
Простые группы Ли Список простых групп Ли Классический Ап Bп Cп Dп Исключительный грамм2 F4 E6 E7 E8
Другие группы Ли Круг Лоренц Пуанкаре Конформная группа Диффеоморфизм Петля Евклидово
Алгебры Ли Соответствие группы Ли и алгебры Ли Экспоненциальная карта Присоединенное представительство Форма убийства Индекс Симметрия точки Ли Простая алгебра Ли
Полупростая алгебра Ли Диаграммы Дынкина Подалгебра Картана Корневая система Группа Вейля Реальная форма Комплексификация Расщепленная алгебра Ли Компактная алгебра Ли
Теория представлений Представление группы Ли Представление алгебры Ли Теория представлений полупростых алгебр Ли Теорема старшего веса Теорема Бореля – Вейля – Ботта.
Группы Ли в физика Физика элементарных частиц и теория представлений Представления группы Лоренца Представления группы Пуанкаре Представления галилеевой группы
Ученые Софус Ли Анри Пуанкаре Вильгельм Киллинг Эли Картан Герман Вейль Клод Шевалле Хариш-Чандра Арман Борель
Глоссарий Таблица групп Ли

В Алгебра Пуанкаре это Алгебра Ли группы Пуанкаре. Это Расширение алгебры Ли алгебры Ли группы Лоренца. В частности, правильный (Det Λ = 1), ортохронный (Λ⁰₀ ≥ 1) часть подгруппы Лоренца (ее компонент идентичности ), ТАК⁺(1, 3), связан с идентичностью и, таким образом, обеспечивается возведение в степень ехр (я_μ п^μ) ехр (iω_μν M^μν/2) этого Алгебра Ли. В компонентной форме алгебра Пуанкаре задается коммутационными соотношениями:^[6][7]

куда п это генератор переводов, M является генератором преобразований Лоренца, а η - метрика Минковского (+, -, -, -) (см. Подписать соглашение ).

Нижнее коммутационное соотношение - это («однородная») группа Лоренца, состоящая из вращений, J_я = ϵ_имн M^млн/2, и повышает, K_я = M_я0. В этих обозначениях вся алгебра Пуанкаре выражается на нековариантном (но более практичном) языке как

${ displaystyle [J_ {m}, P_ {n}] = i epsilon _ {mnk} P_ {k} ~,}$

${ displaystyle [J_ {i}, P_ {0}] = 0 ~,}$

${ displaystyle [K_ {i}, P_ {k}] = i eta _ {ik} P_ {0} ~,}$

${ displaystyle [K_ {i}, P_ {0}] = - iP_ {i} ~,}$

${ displaystyle [J_ {m}, J_ {n}] = i epsilon _ {mnk} J_ {k} ~,}$

${ displaystyle [J_ {m}, K_ {n}] = i epsilon _ {mnk} K_ {k} ~,}$

${ displaystyle [K_ {m}, K_ {n}] = - я epsilon _ {mnk} J_ {k} ~,}$

где нижний коммутатор двух бустов часто называют «вращением Вигнера». Упрощение [J_м + i K_м , Дж_п - я К_п] = 0 позволяет свести подалгебру Лоренца к вс(2) ⊕ вс(2) и эффективное лечение связанных с ним представления. По физическим параметрам имеем

${ displaystyle left [{ mathcal {H}}, p_ {i} right] = 0}$

${ displaystyle left [{ mathcal {H}}, L_ {i} right] = 0}$

${ displaystyle left [{ mathcal {H}}, K_ {i} right] = i hbar cp_ {i}}$

${ displaystyle left [p_ {i}, p_ {j} right] = 0}$

${ displaystyle left [p_ {i}, L_ {j} right] = i hbar epsilon _ {ijk} p_ {k}}$

${ displaystyle left [p_ {i}, K_ {j} right] = { frac {i hbar} {c}} { mathcal {H}} delta _ {ij}}$

${ displaystyle left [L_ {i}, L_ {j} right] = i hbar epsilon _ {ijk} L_ {k}}$

${ displaystyle left [L_ {i}, K_ {j} right] = i hbar epsilon _ {ijk} K_ {k}}$

${ displaystyle left [K_ {i}, K_ {j} right] = - я hbar epsilon _ {ijk} L_ {k}}$

В Инварианты Казимира этой алгебры п_μ п^μ и W_μ W^μ куда W_μ это Псевдовектор Паули – Любанского; они служат ярлыками для представлений группы.

Группа Пуанкаре - это полная группа симметрий любого релятивистская теория поля. В результате все элементарные частицы упасть в Представления этой группы. Обычно они указываются четырехимпульсный квадрат каждой частицы (т. е. ее масса в квадрате) и собственное квантовые числа J^ПК, куда J это вращение квантовое число, п это паритет и C это зарядовое сопряжение квантовое число. На практике зарядовое сопряжение и четность нарушаются многими квантовые теории поля; где это происходит, п и C утрачены. С Симметрия CPT является инвариантный в квантовой теории поля квантовое число с обращением времени могут быть построены из данных.

Как топологическое пространство, группа состоит из четырех связанных компонентов: компонента идентичности; компонент, обращенный во времени; компонент пространственной инверсии; и компонент, обращенный как во времени, так и в пространстве.

Другие размеры

Приведенные выше определения могут быть напрямую обобщены на произвольные размеры. В d-мерная группа Пуанкаре определяется аналогично полупрямым произведением

${ Displaystyle mathrm {IO} (1, d-1): = mathbf {R} ^ {1, d-1} rtimes mathrm {O} (1, d-1)}$

с аналогичным умножением

${ Displaystyle ( альфа, е) CDOT ( бета, г) = ( альфа + е CDOT бета, ; е CDOT г)}$.^[5]

Алгебра Ли сохраняет свой вид с индексами µ и ν теперь принимает значения между 0 и d − 1. Альтернативное представление в терминах J_я и K_я не имеет аналогов в высших измерениях.

Суперпуанкаре алгебра

Связанное наблюдение заключается в том, что представления группы Лоренца включать пару неэквивалентных двумерных комплексных спинор представления ${ displaystyle 2}$ и ${ displaystyle { overline {2}}}$ чей тензорное произведение ${ displaystyle 2 otimes { overline {2}} = 3 oplus 1}$ это присоединенное представительство. Этот последний бит можно отождествить с самим четырехмерным пространством Минковского (в отличие от отождествления его с частицей со спином 1, как это обычно делается для пары фермионы, например а пион состоит из кварк -антикварковая пара). Это убедительно свидетельствует о том, что можно было бы расширить алгебру Пуанкаре, включив также спиноры. Это непосредственно ведет к понятию суперпуанкаре алгебра. Математическая привлекательность этой идеи заключается в том, что каждый работает с фундаментальные представления, вместо присоединенных представлений. Физическая привлекательность этой идеи состоит в том, что фундаментальные представления соответствуют фермионы, которые встречаются в природе. Однако до сих пор подразумеваемые суперсимметрия здесь симметрия между пространственным и фермионным направлениями не может быть обнаружена экспериментально в природе. Экспериментальную проблему можно грубо сформулировать как вопрос: если мы живем в присоединенном представлении (пространстве-времени Минковского), то где же скрывается фундаментальное представление?

Смотрите также

• Евклидова группа
• Теория представлений группы Пуанкаре
• Классификация Вигнера
• Симметрия в квантовой механике
• Центр масс (релятивистский)
• Псевдовектор Паули – Любанского
• Физика элементарных частиц и теория представлений
• Непрерывная частица спина

Примечания

Рекомендации

• У-Ки Тунг (1985). Теория групп в физике. Мировое научное издательство. ISBN  9971-966-57-3.
• Вайнберг, Стивен (1995). Квантовая теория полей. 1. Кембридж: издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-55001-7.
• Л. Х. Райдер (1996). Квантовая теория поля (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 62. ISBN  0-52147-8146.