Гиперболическая группа - Википедия - Hyperbolic group

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу-)прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа Sп Кляйн четыре группы V Группа диэдра Dп Группа Quaternion Q Дициклическая группа Dicп
Дискретные группы Решетки Целые числа (Z) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2,Z) SL (2,Z) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологический и Группы Ли Соленоид Круг Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Евклидово E (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п) грамм2 F4 E6 E7 E8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая

В теория групп, точнее в геометрическая теория групп, а гиперболическая группа, также известный как гиперболическая группа слов или же Громова гиперболическая группа, является конечно порожденным группа оснащен слово метрика удовлетворяющие определенным свойствам, абстрагированным от классических гиперболическая геометрия. Понятие гиперболической группы было введено и развито Михаил Громов  (1987 ). Вдохновением послужили различные существующие математические теории: гиперболическая геометрия, а также низкоразмерная топология (в частности, результаты Макс Ден касательно фундаментальная группа гиперболического Риманова поверхность, и более сложные явления в трехмерная топология ), и комбинаторная теория групп. В очень влиятельном (более 1000 цитирований) ^[1]) в 1987 г. Громов предложил обширную исследовательскую программу. Идеи и основополагающий материал теории гиперболических групп также вытекают из работ Джордж Мостоу, Уильям Терстон, Джеймс В. Кэннон, Элияху Рипс, и много других.

Определение

Позволять ${ displaystyle G}$ - конечно порожденная группа, и ${ displaystyle X}$ быть его Граф Кэли относительно некоторого конечного множества ${ displaystyle S}$ генераторов. Набор ${ displaystyle X}$ наделен своим метрика графика (в котором ребра имеют длину один, а расстояние между двумя вершинами - это минимальное количество ребер в пути, соединяющем их), который превращает его в длина пространства. Группа ${ displaystyle G}$ тогда говорят, что это гиперболический если ${ displaystyle X}$ это гиперболическое пространство в смысле Громова. Вкратце это означает, что существует ${ displaystyle delta> 0}$ такой, что любой геодезический треугольник в ${ displaystyle X}$ является ${ displaystyle delta}$-тонкий, как показано на рисунке справа (в этом случае пространство называется ${ displaystyle delta}$-гиперболический).

${ displaystyle x}$

${ displaystyle y}$

${ displaystyle z}$

${ Displaystyle В _ { дельта} ([х, у])}$

${ Displaystyle В _ { дельта} ([г, х])}$

${ displaystyle B _ { delta} ([y, z])}$

Условие δ-тонкого треугольника

Это определение априори зависит от выбора конечного порождающего множества ${ displaystyle S}$. То, что это не так, следует из двух следующих фактов:

• графы Кэли, соответствующие двум конечным порождающим множествам, всегда квазиизометрический один к другому;
• любое геодезическое пространство, квазиизометрическое геодезическому по Громову-гиперболическому пространству, само является Громов-гиперболическим.

Таким образом, мы можем законно говорить о конечно порожденной группе ${ displaystyle G}$ быть гиперболическим без ссылки на генераторную установку. С другой стороны, пространство, квазиизометрическое ${ displaystyle delta}$-гиперболическое пространство - это само по себе ${ displaystyle delta '}$-гиперболический для некоторых ${ displaystyle delta '> 0}$ но последнее зависит как от оригинала ${ displaystyle delta}$ и о квазиизометрии, поэтому говорить о ${ displaystyle G}$ существование ${ displaystyle delta}$-гиперболический.

Замечания

В Лемма Шварца – Милнора.^[2] заявляет, что если группа ${ displaystyle G}$ действует правильно прерывисто и с компактным фактором (такое действие часто называют геометрический) на пространстве надлежащей длины ${ displaystyle Y}$, то он конечно порожден, и любой граф Кэли для ${ displaystyle G}$ квазиизометрично ${ displaystyle Y}$. Таким образом, группа (конечно порожденная и) гиперболическая тогда и только тогда, когда она имеет геометрическое действие на собственном гиперболическом пространстве.

Если ${ Displaystyle G ' подмножество G}$ - подгруппа с конечным индексом (т. е. множество ${ displaystyle G / G '}$ конечно), то включение индуцирует квазиизометрию на вершинах любого локально конечного графа Кэли ${ displaystyle G '}$ в любой локально конечный граф Кэли ${ displaystyle G}$. Таким образом ${ displaystyle G '}$ гиперболичен тогда и только тогда, когда ${ displaystyle G}$ сам есть. В более общем смысле, если две группы соизмеримый, то один гиперболический тогда и только тогда, когда другой гиперболичен.

Примеры

Элементарные гиперболические группы

Простейшие примеры гиперболических групп: конечные группы (чьи графы Кэли имеют конечный диаметр, поэтому ${ displaystyle delta}$-гиперболический с ${ displaystyle delta}$ равный этому диаметру).

Другой простой пример - бесконечная циклическая группа ${ Displaystyle mathbb {Z}}$: граф Кэли ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ относительно генераторной установки ${ displaystyle { pm 1 }}$ является линией, поэтому все треугольники являются отрезками, а график ${ displaystyle 0}$-гиперболический. Отсюда следует, что любая группа, являющаяся практически циклический (содержит копию ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ конечного индекса) также гиперболичен, например бесконечная диэдральная группа.

Членов этого класса групп часто называют элементарные гиперболические группы (терминология адаптирована из терминов действий на гиперболической плоскости).

Свободные группы и группы, действующие на деревьях

Позволять ${ Displaystyle S = {а_ {1}, ldots, а_ {п} }}$ - конечное множество и ${ displaystyle F}$ быть свободная группа с генераторной установкой ${ displaystyle S}$. Тогда граф Кэли ${ displaystyle F}$ относительно ${ displaystyle S}$ является локально конечным дерево а значит, 0-гиперболическое пространство. Таким образом ${ displaystyle F}$ является гиперболической группой.

В целом мы видим, что любая группа ${ displaystyle G}$ который действует должным образом разрывно на локально конечном дереве (в данном контексте это в точности означает, что стабилизаторы в ${ displaystyle G}$ вершин конечны) гиперболичен. Действительно, это следует из того, что ${ displaystyle G}$ имеет инвариантное поддерево, на котором оно действует с компактным фактором, и лемма Сварца — Милнора. Такие группы фактически практически свободны (т.е. содержат конечно порожденную свободную подгруппу конечного индекса), что дает еще одно доказательство их гиперболичности.

Интересным примером является модульная группа ${ Displaystyle G = mathrm {SL} _ {2} ( mathbb {Z})}$: действует на дереве, заданном 1-скелетом связанного мозаика гиперболической плоскости и он имеет конечную безиндексную подгруппу (на двух образующих) индекса 6 (например, набор матриц в ${ displaystyle G}$ сводящиеся к тождеству по модулю 2 и есть такая группа). Обратите внимание на интересную особенность этого примера: он действует должным образом прерывно на гиперболическом пространстве ( гиперболическая плоскость ), но действие не кокомпактное (и действительно ${ displaystyle G}$ является нет квазиизометрична гиперболической плоскости).

Фуксовы группы

Обобщая пример модульной группы a Фуксова группа является группой, допускающей собственно разрывное действие на гиперболической плоскости (эквивалентно дискретной подгруппе группы ${ Displaystyle mathrm {SL} _ {2} ( mathbb {R})}$). Гиперболическая плоскость - это ${ displaystyle delta}$-гиперболическое пространство и, следовательно, лемма Сварца — Милнора говорит нам, что кокомпактные фуксовы группы гиперболичны.

Примеры таких фундаментальные группы из закрытые поверхности отрицательного Эйлерова характеристика. В самом деле, эти поверхности могут быть получены как частные от гиперболической плоскости, как следует из теории Пуанкаре-Кебе. Теорема униформизации.

Другое семейство примеров кокомпактных фуксовых групп дается формулами группы треугольников: все, кроме конечного числа, являются гиперболическими.

Отрицательная кривизна

Обобщая пример замкнутых поверхностей, фундаментальные группы компактных Римановы многообразия со строго отрицательным секционная кривизна гиперболические. Например, cocompact решетки в ортогональный или же унитарный группа бланка подписи ${ Displaystyle (п, 1)}$ гиперболические.

Дальнейшее обобщение дают группы, допускающие геометрическое действие на CAT (k) пробел.^[3] Существуют примеры, которые не соизмеримы ни с одной из предыдущих конструкций (например, группы, геометрически действующие на гиперболических здания ).

Небольшие группы отмены

Группы, презентации которых удовлетворяют небольшая отмена условия гиперболические. Это дает источник примеров, которые не имеют геометрического происхождения, как приведенные выше. Фактически, одним из мотивов первоначального развития гиперболических групп было дать более геометрическую интерпретацию малого сокращения.

Случайные группы

В некотором смысле «большинство» конечно представленных групп с большими определяющими соотношениями являются гиперболическими. Для количественного определения того, что это означает, см. Случайная группа.

Не примеры

• Простейшим примером негиперболической группы является свободная абелева группа ранга 2 ${ Displaystyle mathbb {Z} ^ {2}}$. Действительно, он квазиизометричен Евклидова плоскость который, как легко заметить, не является гиперболическим (например, из-за существования гомотетии ).
• В более общем смысле любая группа, содержащая ${ Displaystyle mathbb {Z} ^ {2}}$ как подгруппа не является гиперболическим.^[4][5] Особенно, решетки в более высоком ранге полупростые группы Ли и фундаментальные группы ${ Displaystyle pi _ {1} (S ^ {3} setminus K)}$ нетривиального морской узел дополнения попадают в эту категорию и поэтому не являются гиперболическими. Это также относится к отображение групп классов замкнутых гиперболических поверхностей.
• В Группы Баумслага – Солитера B(м,п) и любую группу, содержащую подгруппу, изоморфную некоторому B(м,п) не могут быть гиперболическими (поскольку B(1,1) = ${ Displaystyle mathbb {Z} ^ {2}}$, это обобщает предыдущий пример).
• Неравномерная решетка в простой группе Ли ранга 1 является гиперболической тогда и только тогда, когда группа изогенный к ${ Displaystyle mathrm {SL} _ {2} ( mathbb {R})}$ (эквивалентно ассоциированное симметрическое пространство - гиперболическая плоскость). Пример этого дается гиперболический группы узлов. Другой - это Группы Бьянки, Например ${ displaystyle mathrm {SL} _ {2} ({ sqrt {-1}})}$.

Характеристики

Алгебраические свойства

• Гиперболические группы удовлетворяют Альтернатива сисек: они либо виртуально разрешимы (такая возможность удовлетворяется только элементарными гиперболическими группами), либо имеют подгруппу, изоморфную неабелевой свободной группе.
• Неэлементарные гиперболические группы не являются просто в очень сильном смысле: если ${ displaystyle G}$ неэлементарно гиперболично, то существует бесконечная подгруппа ${ Displaystyle H треугольникleft G}$ такой, что ${ displaystyle H}$ и ${ displaystyle G / H}$ оба бесконечны.
• Неизвестно, существует ли гиперболическая группа, не являющаяся финитно аппроксимируемая.

Геометрические свойства

• Неэлементарные (бесконечные и не виртуально циклические) гиперболические группы всегда имеют экспоненциальную скорость роста (это следствие альтернативы Титса).
• Гиперболические группы удовлетворяют линейному изопериметрическое неравенство.^[6]

Гомологические свойства

• Гиперболические группы всегда конечно представленный. Фактически можно явно построить комплекс ( Рипс сложный ) который стягиваемый и на котором группа действует геометрически^[7] так что это из тип F_∞. Когда группа без кручения, действие свободно, показывая, что группа имеет конечные когомологическая размерность.
• В 2002 г. И. Минеев показал, что гиперболические группы - это как раз те конечно порожденные группы, для которых сопоставление между ограниченные когомологии и обычные когомологии сюръективен во всех степенях, или, что то же самое, в степени 2.^[8]

Алгоритмические свойства

• Гиперболические группы имеют разрешимую проблема со словом. Они есть двуавтоматический и автоматический.^[9] Действительно, они строго геодезически автоматический, то есть в группе есть автоматическая структура, где язык, принимаемый акцептором слова, - это набор всех геодезических слов.
• В 2010 году было показано, что гиперболические группы имеют разрешимый проблема отмеченного изоморфизма.^[10] Примечательно, что это означает, что проблема изоморфизма, проблемы орбиты (в частности, проблема сопряженности) и проблема Уайтхеда разрешимы.
• Кэннон и Свенсон показали, что гиперболические группы с 2-сферой на бесконечности обладают естественным правило подразделения.^[11] Это связано с Гипотеза Кэннона.

Обобщения

Относительно гиперболические группы

Относительно гиперболические группы являются классом обобщающих гиперболических групп. Очень грубо^[12] ${ displaystyle G}$ гиперболичен относительно коллекции ${ Displaystyle { mathcal {G}}}$ подгрупп, если он допускает (не обязательно компактный) собственно разрывное действие на собственном гиперболическом пространстве ${ displaystyle X}$ что "приятно" на границе ${ displaystyle X}$ и такие, что стабилизаторы в ${ displaystyle G}$ точек на границе являются подгруппами в ${ Displaystyle { mathcal {G}}}$. Это интересно, когда оба ${ displaystyle X}$ и действие ${ displaystyle G}$ на ${ displaystyle X}$ не элементарны (в частности ${ displaystyle X}$ бесконечно: например, каждая группа гиперболична по отношению к себе через свое действие в единственной точке!).

Интересные примеры в этом классе включают, в частности, неоднородные решетки в полупростых группах Ли ранга 1, например фундаментальные группы некомпактных гиперболических многообразий конечного объема. Непримером являются решетки в группах Ли более высокого ранга и группы классов отображений.

Ацилиндрически гиперболические группы

Еще более общее понятие - это ацилиндрически гиперболическая группа.^[13] Ацилиндричность действия группы ${ displaystyle G}$ на метрическом пространстве ${ displaystyle X}$ это ослабление собственной прерывности действия.^[14]

Группа называется ацилиндрически гиперболической, если она допускает неэлементарное ацилиндрическое действие на (не обязательно правильный) Громовско-гиперболическое пространство. Это понятие включает отображение групп классов через их действия на кривые комплексы. Решетки в группах Ли более высокого ранга не являются (все же!) Ацилиндрически гиперболическими.

CAT (0) группы

В другом направлении можно ослабить предположение о кривизне в приведенных выше примерах: a CAT (0) группа группа, допускающая геометрическое действие на CAT (0) пробел. Это включает в себя Евклидовы кристаллографические группы и равномерные решетки в группах Ли высших рангов.

Неизвестно, существует ли гиперболическая группа, не являющаяся CAT (0).^[15]

Примечания

Рекомендации

• Бридсон, Мартин Р.; Хефлигер, Андре (1999). Метрические пространства неположительной кривизны. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Основные принципы математических наук]. 319. Берлин: Springer-Verlag. Дои:10.1007/978-3-662-12494-9. ISBN  3-540-64324-9. МИСТЕР  1744486.

• Боудич, Брайан (2006). Курс геометрической теории групп (PDF). Мемуары MSJ. 16. Токио: Математическое общество Японии. Дои:10.1142 / e003. ISBN  4-931469-35-3. МИСТЕР  2243589.

• Боудич, Брайан (2012). «Относительно гиперболические группы» (PDF). Международный журнал алгебры и вычислений. 22 (3): 1250016, 66 с. Дои:10.1142 / S0218196712500166. МИСТЕР  2922380.

• Кэннон, Джеймс У.; Свенсон, Эрик Л. (1998). «Распознавание дискретных групп постоянной кривизны в размерности 3». Труды Американского математического общества. 350 (2): 809–849. Дои:10.1090 / S0002-9947-98-02107-2. МИСТЕР  1458317.
• Чарни, Рут (1992). «Группы Артина конечного типа биавтоматичны». Mathematische Annalen. 292 (4): 671–683. Дои:10.1007 / BF01444642. МИСТЕР  1157320.
• Дахмани, Франсуа; Гирардел, Винсент (2011). «Проблема изоморфизма для всех гиперболических групп». Геометрический и функциональный анализ. 21 (2): 223–300. arXiv:1002.2590. Дои:10.1007 / s00039-011-0120-0.
• Гиз, Этьен; де ла Харп, Пьер, ред. (1990). Sur les groupes hyperboliques d'après Михаил Громов [Гиперболические группы в теории Михаила Громова]. Успехи в математике (на французском языке). 83. Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, Inc. Дои:10.1007/978-1-4684-9167-8. ISBN  0-8176-3508-4. МИСТЕР  1086648.
• Громов Михаил (1987). «Гиперболические группы». В Герстене, Стив М. (ред.). Очерки теории групп. Публикации НИИ математических наук. 8. Нью-Йорк: Спрингер. С. 75–263. Дои:10.1007/978-1-4613-9586-7_3. ISBN  0-387-96618-8. МИСТЕР  0919829.
• Минеев, Игорь (2002). «Ограниченные когомологии характеризуют гиперболические группы». Ежеквартальный журнал математики. 53 (1): 59–73. Дои:10.1093 / qjmath / 53.1.59. МИСТЕР  1887670.
• Осин, Денис (2016). «Ацилиндрически гиперболические группы». Труды Американского математического общества. 368 (2): 851–888. arXiv:1304.1246. Дои:10.1090 / tran / 6343. МИСТЕР  3430352.

дальнейшее чтение

• Coornaert, Мишель; Делзант, Томас; Пападопулос, Атанас (1990). Géométrie et théorie des groupes: les groupes hyperboliques de Gromov [Геометрия и теория групп: гиперболические группы Громова.]. Конспект лекций по математике (на французском языке). 1441. Берлин: Springer-Verlag. Дои:10.1007 / BFb0084913. ISBN  3-540-52977-2. МИСТЕР  1075994.
• Coornaert, Мишель; Пападопулос, Атанас (1993). Символическая динамика и гиперболические группы. Конспект лекций по математике. 1539. Берлин: Springer-Verlag. Дои:10.1007 / BFb0092577. ISBN  3-540-56499-3. МИСТЕР  1222644.
• «Громовское гиперболическое пространство», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]