Множитель Шура - Schur multiplier

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу-)прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа Sп Кляйн четыре группы V Группа диэдра Dп Группа Quaternion Q Дициклическая группа Dicп
Дискретные группы Решетки Целые числа (Z) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2,Z) SL (2,Z) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологический и Группы Ли Соленоид Круг Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Евклидово E (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п) грамм2 F4 E6 E7 E8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая

В математике теория групп, то Множитель Шура или же Мультипликатор Шура это второй группа гомологии ${ displaystyle H_ {2} (G, mathbb {Z})}$ группы грамм. Он был представлен Иссай Шур  (1904 ) в своей работе над проективные представления.

Примеры и свойства

Множитель Шура ${ displaystyle operatorname {M} (G)}$ конечной группы грамм конечный абелева группа чей показатель степени делит порядок грамм. Если Силовский п-подгруппа из грамм цикличен для некоторых п, то порядок ${ displaystyle operatorname {M} (G)}$ не делится на п. В частности, если все Силовский п-подгруппы из грамм цикличны, то ${ displaystyle operatorname {M} (G)}$ тривиально.

Например, множитель Шура неабелева группа порядка 6 это тривиальная группа поскольку каждая силовская подгруппа циклическая. Множитель Шура элементарная абелева группа порядка 16 представляет собой элементарную абелеву группу порядка 64, показывая, что множитель может быть строго больше, чем сама группа. Множитель Шура группа кватернионов тривиально, но множитель Шура диэдральные 2-группы имеет порядок 2.

Множители Шура конечной простые группы даются на список конечных простых групп. В накрывающие группы знакопеременной и симметрической групп представляют значительный интерес в последнее время.

Отношение к проективным представлениям

А проективное представление из грамм можно вернуть в линейное представление из центральное расширение C из ГРАММ.

Первоначальной мотивацией Шура к изучению множителя была классификация проективные представления группы, и современная формулировка его определения - вторая группа когомологий ${ Displaystyle Н ^ {2} (G, mathbb {C} ^ { times})}$. Проективное представление очень похоже на групповое представительство за исключением того, что вместо гомоморфизма в общая линейная группа ${ Displaystyle OperatorName {GL} (п, mathbb {C})}$, переводится гомоморфизм в проективная общая линейная группа ${ Displaystyle OperatorName {PGL} (п, mathbb {C})}$. Другими словами, проективное представление - это представление по модулю центр.

Schur  (1904, 1907 ) показал, что каждая конечная группа грамм ассоциировал с ним хотя бы одну конечную группу C, называется Обложка Schur, с тем свойством, что каждое проективное представление грамм можно поднять до обычного представления C. Обложка Шура также известна как группа покрытия или же Darstellungsgruppe. Обложки Schur конечные простые группы известны, и каждый из них является примером квазипростая группа. Обложка Шура идеальная группа определяется однозначно с точностью до изоморфизма, но накрытие Шура общей конечной группы определяется только с точностью до изоклинизм.

Отношение к центральным пристройкам

Изучение таких накрывающих групп естественным образом привело к изучению центральный и удлинители штока.

А центральное расширение группы грамм это расширение

${ Displaystyle 1 к К к С к G к 1}$

куда ${ Displaystyle К leq Z (C)}$ это подгруппа из центр из C.

А удлинение штока группы грамм это расширение

${ Displaystyle 1 к К к С к G к 1}$

куда ${ Displaystyle К Leq Z (C) cap C '}$ является подгруппой пересечения центра C и производная подгруппа из C; это более строго, чем центральное.^[1]

Если группа грамм конечна и рассматриваются только стволовые расширения, то для такой группы существует наибольший размер C, и для каждого C такого размера подгруппа K изоморфна множителю Шура грамм. Если конечная группа грамм кроме того идеально, тогда C единственна с точностью до изоморфизма и сама совершенна. Такой C часто называют универсальные идеальные центральные надставки из грамм, или же группа покрытия (поскольку это дискретный аналог универсальное перекрытие в топологии). Если конечная группа грамм не совершенен, то его накрывающие группы Шура (все такие C максимального порядка) только изоклинический.

Его также называют более коротко универсальное центральное расширение, но учтите, что нет самого большого центрального расширения, так как прямой продукт из грамм и абелева группа образуют центральное продолжение грамм произвольного размера.

Удлинения стержня обладают тем замечательным свойством, что любой подъем генераторной установки грамм является порождающим набором C. Если группа грамм является представлен с точки зрения свободная группа F на наборе генераторов и нормальная подгруппа р порожденный набором отношений на образующих, так что ${ Displaystyle G cong F / R}$, то саму группу покрытия можно представить в терминах F но с меньшей нормальной подгруппой S, то есть, ${ Displaystyle C cong F / S}$. Поскольку отношения грамм указать элементы K когда рассматривается как часть C, нужно иметь ${ Displaystyle S leq [F, R]}$.

Фактически, если грамм идеально подходит, это все, что нужно: C ≅ [F,F]/[F,р] И м(грамм) ≅ K ≅ р/[F,р]. Из-за этой простоты такие экспозиции, как (Ашбахер 2000, §33) сначала рассмотрим идеальный случай. Общий случай для множителя Шура аналогичен, но гарантирует, что расширение является расширением основы, ограничивая производную подгруппу F: M (грамм) ≅ (р ∩ [F, F])/[F, р]. Все это несколько более поздние результаты Шура, который также дал ряд полезных критериев для их более точного вычисления.

Отношение к эффективным презентациям

В комбинаторная теория групп, группа часто происходит из презентация. Одной из важных тем в этой области математики является изучение презентаций с минимально возможным количеством отношений, например, группы с одним соотношением, такие как Группы Баумслаг-Солитэр. Эти группы являются бесконечными группами с двумя образующими и одним отношением, и старый результат Шрайера показывает, что в любом представлении с большим количеством образующих, чем отношений, результирующая группа бесконечна. Таким образом, пограничный случай весьма интересен: говорят, что конечные группы с тем же числом образующих, что и отношения, имеют недостаток нуль. Чтобы группа имела нулевой дефицит, группа должна иметь тривиальный множитель Шура, потому что минимальное количество образующих множителя Шура всегда меньше или равно разнице между количеством отношений и количеством образующих, что является отрицательным дефицит. An эффективная группа это тот, где множитель Шура требует такого количества генераторов.^[2]

Довольно недавняя тема исследований - найти эффективные представления для всех конечных простых групп с тривиальными множителями Шура. Такие презентации в некотором смысле хороши, потому что они обычно короткие, но их трудно найти и с ними работать, потому что они плохо подходят для стандартных методов, таких как перечисление смежных классов.

Отношение к топологии

В топология, группы часто можно описать как конечные представлен групп, и фундаментальный вопрос - вычислить их интегральные гомологии ${ Displaystyle Н_ {п} (G, mathbb {Z})}$. В частности, особую роль играют вторые гомологии, и это привело к Хайнц Хопф найти эффективный метод его расчета. Метод в (Хопф 1942 ) также известен как Формула интегральной гомологии Хопфа и идентична формуле Шура для множителя Шура конечной группы:

${ Displaystyle H_ {2} (G, mathbb {Z}) cong (R cap [F, F]) / [F, R]}$

куда ${ Displaystyle G cong F / R}$ и F это бесплатная группа. Та же формула верна, когда грамм идеальная группа.^[3]

Признание того, что эти формулы были одинаковыми, привело Сэмюэл Эйленберг и Saunders Mac Lane к созданию когомологии групп. В целом,

${ Displaystyle H_ {2} (G, mathbb {Z}) cong { bigl (} H ^ {2} (G, mathbb {C} ^ { times}) { bigr)} ^ {* }}$

где звездочка обозначает алгебраическую двойственную группу. Более того, когда грамм конечно, есть неестественный изоморфизм

${ displaystyle { bigl (} H ^ {2} (G, mathbb {C} ^ { times}) { bigr)} ^ {*} cong H ^ {2} (G, mathbb {C } ^ { times}).}$

Формула Хопфа для ${ displaystyle H_ {2} (G)}$ был обобщен на более высокие измерения. Один подход и ссылки можно найти в статье Эверарта, Гран и Ван дер Линден, перечисленной ниже.

А идеальная группа - та, у которой исчезают первые целые гомологии. А суперсовершенная группа - та, у которой первые две целые группы гомологий обращаются в нуль. Накрытия Шура конечных совершенных групп суперсовершенные. An ациклическая группа группа, все приведенные интегральные гомологии которой равны нулю.

Приложения

В вторая алгебраическая K-группа K₂(р) коммутативного кольца р можно отождествить со второй группой гомологий ЧАС₂(E(р), Z) группы E(р) из (бесконечного) элементарные матрицы с записями в р.^[4]

Смотрите также

• Квазипростая группа

Ссылки Клера Миллера дают другой взгляд на множитель Шура как на ядро ​​морфизма κ: G ∧ G → G, индуцированного коммутаторным отображением.

Примечания

Рекомендации