Топология - Википедия - Topology

Ленты Мебиуса, имеющие только одну поверхность и одно ребро, представляют собой своего рода объект, изучаемый в топологии.

В математика, топология (от Греческий слова τόπος, "место, местонахождение" и λόγος, 'учеба') касается свойств геометрический объект которые сохраняются под непрерывный деформации, Такие как растяжение, скручивание, мнется и сгибается, но не разрывает или склейка.

А топологическое пространство это набор наделен структурой, называемой топология, что позволяет определять непрерывную деформацию подпространств и, в более общем плане, всех видов непрерывность. Евклидовы пространства, и, в более общем плане, метрические пространства являются примерами топологического пространства, поскольку любое расстояние или метрика определяют топологию. Деформации, которые учитываются в топологии: гомеоморфизмы и гомотопии. Свойство, инвариантное относительно таких деформаций, - это топологическое свойство. Основные примеры топологических свойств: измерение, что позволяет различать линия и поверхность; компактность, позволяющий различать линию и круг; связность, позволяющий отличить круг от двух непересекающихся окружностей.

Идеи, лежащие в основе топологии, восходят к Готфрид Лейбниц, которые в 17 веке предвидели geometria situs и место анализа. Леонард Эйлер с Семь мостов Кенигсберга проблема и формула многогранника возможно, первые теоремы этой области. Период, термин топология был представлен Иоганн Бенедикт Листинг в 19 ​​веке, хотя идея топологического пространства получила развитие только в первые десятилетия 20 века.

Трехмерное изображение утолщенного трилистник, простейший не-тривиальный узел

Мотивация

Мотивирующее понимание топологии состоит в том, что некоторые геометрические проблемы зависят не от точной формы задействованных объектов, а от того, как они собраны вместе. Например, квадрат и круг имеют много общих свойств: они оба являются одномерными объектами (с топологической точки зрения) и разделяют плоскость на две части: часть внутри и часть снаружи.

В одной из первых работ по топологии Леонард Эйлер показал, что невозможно найти маршрут через город Кенигсберг (ныне Калининград ), который пересечет каждый из семи мостов ровно один раз. Этот результат не зависел от длины мостов или их удаленности друг от друга, а только от свойств связности: какие мосты соединяются с какими островами или берегами рек. Этот Семь мостов Кенигсберга проблема привела к разделу математики, известному как теория графов.

Непрерывная деформация (разновидность гомеоморфизма) кружки в бублик (тор) и коровы в шар

Точно так же теорема о волосатом шарике алгебраической топологии гласит, что «нельзя расчесать волосы на волосатом комке, не создавая волк. "Этот факт сразу же убеждает большинство людей, даже если они могут не признать более формальное утверждение теоремы, что не существует неисчезающих в нуль непрерывных касательное векторное поле на сфере. Как и в случае с Мосты Кенигсберга, результат не зависит от формы шара; он применяется к любым гладким пятнам, если в них нет отверстий.

Чтобы справиться с этими проблемами, которые не зависят от точной формы объектов, нужно четко понимать, какие свойства эти проблемы делать полагаться на. Отсюда возникает понятие гомеоморфизма. Невозможность пересечь каждый мост только один раз применима к любому расположению мостов, гомеоморфных мостам в Кенигсберге, а теорема о волосатом шаре применима к любому пространству, гомеоморфному сфере.

Интуитивно два пространства гомеоморфны, если одно можно деформировать в другое, не разрезая и не склеивая. Традиционная шутка состоит в том, что тополог не может отличить кофейную кружку от пончика, поскольку достаточно гибкий пончик может быть преобразован в кофейную чашку, создав ямочку и постепенно увеличивая ее, сжимая отверстие в ручку.^[1]

Гомеоморфизм можно считать самым основным топологическая эквивалентность. Другой гомотопическая эквивалентность. Это сложнее описать, не вдаваясь в технические подробности, но основная идея состоит в том, что два объекта гомотопически эквивалентны, если они оба являются результатом «сдавливания» некоторого более крупного объекта.

Классы эквивалентности латинского алфавита в шрифте без засечек

Гомеоморфизм	Гомотопическая эквивалентность

Вводный упражнение состоит в том, чтобы классифицировать прописные буквы английский алфавит согласно гомеоморфизму и гомотопической эквивалентности. Результат зависит от используемого шрифта и от того, имеют ли штрихи, составляющие буквы, некоторую толщину или идеальные кривые без толщины. Цифры здесь используют без засечек Мириады шрифт и предполагается, что они состоят из идеальных кривых без толщины. Гомотопическая эквивалентность - более грубое отношение, чем гомеоморфизм; класс гомотопической эквивалентности может содержать несколько классов гомеоморфизмов. Здесь можно использовать простой случай гомотопической эквивалентности, описанный выше, чтобы показать, что две буквы гомотопически эквивалентны. Например, O помещается внутри P, а хвост P может быть сдавлен до «дырочной» части.

Классы гомеоморфизма:

• нет отверстий, соответствующих C, G, I, J, L, M, N, S, U, V, W и Z;
• нет отверстий и трех хвостов, соответствующих буквам E, F, T и Y;
• нет отверстий и четырех хвостов, соответствующих X;
• одно отверстие и без хвоста, соответствующие D и O;
• одно отверстие и один хвост, соответствующие P и Q;
• одно отверстие и два хвоста, соответствующие A и R;
• две дырочки и нет хвоста, соответствующие B; и
• столбик с четырьмя хвостами, соответствующий буквам H и K; "планка" на K почти слишком коротка, чтобы ее увидеть.

Гомотопические классы больше, потому что хвосты можно сжать до острия. Они есть:

• одно отверстие,
• две дыры и
• дырок нет.

Чтобы правильно классифицировать буквы, мы должны показать, что две буквы в одном классе эквивалентны, а две буквы в разных классах не эквивалентны. В случае гомеоморфизма это можно сделать, выбрав точки и по-разному показывая, как их удаление разъединяет буквы. Например, X и Y не гомеоморфны, потому что удаление центральной точки X оставляет четыре части; какая бы точка в Y ни соответствовала этой точке, при ее удалении может остаться не более трех частей. Случай гомотопической эквивалентности сложнее и требует более сложных аргументов, показывающих алгебраический инвариант, такой как фундаментальная группа, отличается от якобы разных классов.

Буквенная топология имеет практическое значение в трафарет типография. Например, Braggadocio трафареты шрифтов изготавливаются из одного связного куска материала.

История

В Семь мостов Кенигсберга была проблема, решенная Эйлером.

Топология, как четко определенная математическая дисциплина, берет свое начало в начале двадцатого века, но некоторые отдельные результаты можно проследить на несколько веков назад.^[2] Среди них некоторые вопросы геометрии, исследованные Леонард Эйлер. Его статья 1736 г. Семь мостов Кенигсберга считается одним из первых практических приложений топологии.^[2] 14 ноября 1750 года Эйлер написал другу, что осознал важность края из многогранник. Это привело к его формула многогранника, V − E + F = 2 (куда V, E, и F соответственно указывают количество вершин, ребер и граней многогранника). Некоторые авторитеты считают этот анализ первой теоремой, знаменующей рождение топологии.^[3]

Дальнейший вклад внесли Огюстен-Луи Коши, Людвиг Шлефли, Иоганн Бенедикт Листинг, Бернхард Риманн и Энрико Бетти.^[4] В листинге появился термин «Топология» в Vorstudien zur Topologie, написанная на его родном немецком языке в 1847 году, использовав это слово в течение десяти лет в переписке до его первого появления в печати.^[5] Английская форма «топология» использовалась в 1883 году в некрологе Листинга в журнале. Природа отличить «качественную геометрию от обычной геометрии, в которой в основном рассматриваются количественные отношения».^[6]

Их работа была исправлена, консолидирована и значительно расширена Анри Пуанкаре. В 1895 году он опубликовал свою новаторскую статью о Analysis Situs, который ввел концепции, теперь известные как гомотопия и гомология, которые теперь считаются частью алгебраическая топология.^[4]

Объединение работы над функциональными пространствами Георг Кантор, Вито Вольтерра, Чезаре Арсела, Жак Адамар, Джулио Асколи и другие, Морис Фреше представил метрическое пространство в 1906 г.^[7] Метрическое пространство теперь считается частным случаем общего топологического пространства, где любое заданное топологическое пространство потенциально дает начало множеству различных метрических пространств. В 1914 г. Феликс Хаусдорф ввел термин «топологическое пространство» и дал определение того, что сейчас называется Пространство Хаусдорфа.^[8] В настоящее время топологическое пространство представляет собой небольшое обобщение хаусдорфовых пространств, данное в 1922 г. Казимеж Куратовски.^[9]

Современная топология сильно зависит от идей теории множеств, разработанных Георгом Кантором в конце XIX века. Помимо установления основных идей теории множеств, Кантор рассмотрел точечные множества в Евклидово пространство как часть его исследования Ряд Фурье. Для дальнейших разработок см. точечная топология и алгебраическая топология.

Концепции

Топологии на множествах

Период, термин топология также относится к конкретной математической идее, имеющей центральное значение в области математики, называемой топологией. Неформально топология сообщает, как элементы набора пространственно соотносятся друг с другом. Один и тот же набор может иметь разные топологии. Например, реальная линия, то комплексная плоскость, а Кантор набор можно рассматривать как один и тот же набор с разными топологиями.

Формально пусть Икс быть набором и пусть τ быть семья подмножеств Икс. потом τ называется топологией на Икс если:

1. И пустой набор, и Икс являются элементами τ.
2. Любое объединение элементов τ является элементом τ.
3. Любое пересечение конечного числа элементов из τ является элементом τ.

Если τ топология на Икс, то пара (Икс, τ) называется топологическим пространством. Обозначение Икс_τ может использоваться для обозначения набора Икс наделенный определенной топологией τ. По определению каждая топология - это π-система.

Члены τ называются открытые наборы в Икс. Подмножество Икс называется замкнутым, если его дополнение находится в τ (то есть его дополнение открыто). Подмножество Икс могут быть открытые, закрытые, оба (а Clopen набор ) или ни то, ни другое. Пустой набор и Икс сами всегда закрыты и открыты. Открытое подмножество Икс который содержит точку Икс называется район из Икс.

Непрерывные функции и гомеоморфизмы

А функция или отображение из одного топологического пространства в другое называется непрерывный если открыт прообраз любого открытого множества. Если функция отображает действительные числа к действительным числам (оба пространства со стандартной топологией), то это определение непрерывности эквивалентно определению непрерывности в исчисление. Если непрерывная функция один к одному и на, и если обратная функция также непрерывна, то функция называется гомеоморфизмом, а область определения функции называется гомеоморфной диапазону значений. Другими словами, функция имеет естественное расширение топологии. Если два пространства гомеоморфны, они имеют идентичные топологические свойства и считаются топологически одинаковыми. Куб и сфера гомеоморфны, как чашка кофе и пончик. Но круг не гомеоморфен бублику.

Коллекторы

Хотя топологические пространства могут быть чрезвычайно разнообразными и экзотическими, многие области топологии сосредоточены на более знакомом классе пространств, известных как многообразия. А многообразие - топологическое пространство, напоминающее евклидово пространство около каждой точки. Точнее, каждая точка п-мерное многообразие имеет район то есть гомеоморфный в евклидово пространство размерности п. Линии и круги, но нет восьмерки, являются одномерными многообразиями. Двумерные многообразия также называют поверхности хотя не все поверхности являются многообразиями. Примеры включают самолет, сфера и тор, которые могут быть реализованы без самопересечения в трех измерениях, и Бутылка Клейна и реальная проективная плоскость, что не может (то есть все их реализации являются поверхностями, не являющимися многообразиями).

Темы

Общая топология

Общая топология - это раздел топологии, имеющий дело с основными теоретико-множественными определениями и конструкциями, используемыми в топологии.^[10][11] Это основа большинства других разделов топологии, включая дифференциальную топологию, геометрическую топологию и алгебраическую топологию. Другое название общей топологии - точечная топология.

Основной объект исследования - топологические пространства, которые представляют собой наборы, оснащенные топология, то есть семья подмножества, называется открытые наборы, который закрыто под конечным перекрестки и (конечный или бесконечный) союзы. Основные понятия топологии, такие как непрерывность, компактность, и связность, можно определить в терминах открытых множеств. Интуитивно непрерывные функции переводят соседние точки в соседние точки. Компактные множества - это те, которые могут быть покрыты конечным числом множеств сколь угодно малого размера. Связанные наборы - это наборы, которые нельзя разделить на две части, находящиеся далеко друг от друга. Слова рядом, произвольно маленький, и далеко друг от друга все можно сделать точными, используя открытые наборы. В одном пространстве можно определить несколько топологий. Изменение топологии заключается в изменении набора открытых множеств. Это меняет то, какие функции являются непрерывными, а какие - компактными или связными.

Метрические пространства являются важным классом топологических пространств, где расстояние между любыми двумя точками определяется функцией, называемой метрика. В метрическом пространстве открытое множество - это объединение открытых дисков, где открытый диск радиуса р сосредоточен на Икс - множество всех точек, расстояние до которых Икс меньше чем р. Многие общие пространства - это топологические пространства, топология которых может быть определена с помощью метрики. Это случай реальная линия, то комплексная плоскость, реальные и сложные векторные пространства и Евклидовы пространства. Наличие метрики упрощает многие доказательства.

Алгебраическая топология

Алгебраическая топология - это раздел математики, в котором используются инструменты из алгебра изучать топологические пространства.^[12] Основная цель - найти алгебраические инварианты, которые классифицировать топологические пространства вплоть до гомеоморфизм, хотя обычно большинство из них классифицируются с точностью до гомотопической эквивалентности.

Наиболее важными из этих инвариантов являются гомотопические группы, гомология и когомология.

Хотя алгебраическая топология в первую очередь использует алгебру для изучения топологических проблем, иногда также возможно использование топологии для решения алгебраических задач. Алгебраическая топология, например, позволяет удобно доказать, что любая подгруппа свободная группа снова свободная группа.

Дифференциальная топология

Дифференциальная топология - это область, в которой дифференцируемые функции на дифференцируемые многообразия.^[13] Это тесно связано с дифференциальная геометрия вместе они составляют геометрическую теорию дифференцируемых многообразий.

В частности, дифференциальная топология рассматривает свойства и структуры, требующие только гладкая структура на многообразии, которое предстоит определить. Гладкие многообразия «мягче», чем многообразия с дополнительными геометрическими структурами, которые могут действовать как препятствия для определенных типов эквивалентностей и деформации существующие в дифференциальной топологии. Например, объем и Риманова кривизна являются инвариантами, которые могут различать различные геометрические структуры на одном и том же гладком многообразии, то есть можно плавно «сплющить» определенные многообразия, но это может потребовать искажения пространства и воздействия на кривизну или объем.

Геометрическая топология

Геометрическая топология - это ветвь топологии, которая в первую очередь ориентирована на низкоразмерные коллекторы (то есть пространства размерностей 2, 3 и 4) и их взаимодействие с геометрией, но также включает в себя некоторую топологию более высоких измерений.^[14] Некоторые примеры разделов геометрической топологии: ориентируемость, обрабатывать разложения, местная плоскостность, мнется и плоские и многомерные Теорема Шенфлиса.

В многомерной топологии характеристические классы являются основным инвариантом, а теория хирургии это ключевая теория.

Низкоразмерная топология строго геометрическая, что отражено в теорема униформизации в 2-х измерениях - каждая поверхность допускает постоянную метрику кривизны; геометрически он имеет одну из 3 возможных геометрий: положительный кривизна / сферической, нулевой кривизны / плоской и отрицательной кривизны / гиперболической - и гипотеза геометризации (теперь теорема) в 3-х измерениях - каждое 3-многообразие можно разрезать на части, каждая из которых имеет одну из восьми возможных геометрий.

2-мерную топологию можно изучать как сложная геометрия в одной переменной (Риман поверхности являются комплексными кривыми) - по теореме униформизации каждое конформный класс из метрики эквивалентно единственному комплексному, и 4-мерная топология может быть изучена с точки зрения сложной геометрии с двумя переменными (комплексные поверхности), хотя не каждое 4-многообразие допускает сложную структуру.

Обобщения

Иногда нужно использовать инструменты топологии, но «набор точек» недоступен. В бессмысленная топология вместо этого считается решетка открытых множеств как основное понятие теории,^[15] пока Топологии Гротендика - структуры, определенные на произвольных категории которые позволяют определение снопы по этим категориям, а вместе с тем и определение общих теорий когомологий.^[16]

Приложения

Биология

Теория узлов - ветвь топологии, которая используется в биологии для изучения воздействия определенных ферментов на ДНК. Эти ферменты разрезают, скручивают и повторно связывают ДНК, вызывая образование узлов с наблюдаемыми эффектами, такими как замедление электрофорез.^[17] Топология также используется в эволюционная биология представлять отношения между фенотип и генотип.^[18] Фенотипические формы, которые кажутся совершенно разными, могут быть разделены всего несколькими мутациями в зависимости от того, как генетические изменения соответствуют фенотипическим изменениям во время развития. В нейробиологии топологические величины, такие как характеристика Эйлера и число Бетти, используются для измерения сложности паттернов активности в нейронных сетях.

Информатика

Топологический анализ данных использует методы алгебраической топологии для определения крупномасштабной структуры набора (например, определение того, является ли облако точек сферическим или тороидальный ). Основной метод анализа топологических данных заключается в следующем:

1. Заменить набор точек данных семейством симплициальные комплексы, индексируется параметром близости.
2. Проанализировать эти топологические комплексы с помощью алгебраической топологии - в частности, с помощью теории стойкая гомология.^[19]
3. Закодируйте постоянную гомологию набора данных в форме параметризованной версии Бетти число, который называется штрих-кодом.^[19]

Несколько филиалов семантика языка программирования, Такие как теория предметной области, формализованы с использованием топологии. В контексте, Стив Викерс, опираясь на работу Самсон Абрамский и Майкл Б. Смит, характеризует топологические пространства как Булево или же Гейтинговые алгебры над открытыми множествами, которые характеризуются как полуразрешимый (то есть конечно наблюдаемые) свойства.^[20]

Физика

Топология имеет отношение к физике в таких областях, как физика конденсированного состояния,^[21] квантовая теория поля и физическая космология.

Топологическая зависимость механических свойств твердых тел представляет интерес в дисциплинах машиностроение и материаловедение. Электрические и механические свойства зависят от расположения и сетевой структуры молекулы и элементарные единицы в материалах.^[22] В прочность на сжатие из смятый топологии исследуются в попытках понять высокую прочность к весу таких конструкций, которые в основном представляют собой пустое пространство.^[23] Топология имеет дальнейшее значение в Контактная механика где зависимость жесткости и трения от размерность поверхностных структур представляет интерес с приложениями в физике многих тел.

А топологическая квантовая теория поля (или топологическая теория поля или TQFT) - это квантовая теория поля, которая вычисляет топологические инварианты.

Хотя TQFT были изобретены физиками, они также представляют математический интерес, поскольку связаны, среди прочего, с теория узлов, теория четырехмерные многообразия в алгебраической топологии и теории пространства модулей в алгебраической геометрии. Дональдсон, Джонс, Виттен, и Концевич все выиграли Поля медали за работы по топологической теории поля.

Топологическая классификация Многообразия Калаби-Яу имеет важное значение в теория струн, поскольку разные коллекторы могут поддерживать разные типы струн.^[24]

В космологии топология может использоваться для описания общей формы Вселенной.^[25] Эта область исследований широко известна как топология пространства-времени.

Робототехника

Возможные позиции робот можно описать многообразие называется конфигурационное пространство.^[26] В районе планирование движения, можно найти пути между двумя точками в конфигурационном пространстве. Эти пути представляют собой движение робота. суставы и другие части в желаемую позу.^[27]

Игры и головоломки

Пазлы о путанице основаны на топологических аспектах форм и компонентов головоломки.^[28][29][30]

Волоконное искусство

Чтобы создать непрерывное соединение частей в модульной конструкции, необходимо создать непрерывный путь в том порядке, который окружает каждую часть и пересекает каждую кромку только один раз. Этот процесс является применением Эйлеров путь.^[31]

Смотрите также

Рекомендации

Цитаты

Библиография

• Александров, П. (1969) [1956], "Глава XVIII Топология", Александров, А.Д .; Колмогоров, А.Н .; Лаврентьев, М.А. (ред.), Математика / ее содержание, методы и смысл (2-е изд.), M.I.T. Нажмите
• Крум, Фред Х. (1989), Принципы топологии, Издательство Saunders College Publishing, ISBN  978-0-03-029804-2
• Ричсон, Д. (2008), Драгоценный камень Эйлера: формула многогранника и рождение топологии, Princeton University Press

дальнейшее чтение

• Рышард Энгелькинг, Общая топология, Heldermann Verlag, Sigma Series in Pure Mathematics, декабрь 1989 г., ISBN  3-88538-006-4.
• Бурбаки; Элементы математики: общая топология, Аддисон – Уэсли (1966).
• Брайтенбергер, Э. (2006). "Список Иоганна Бенедикта". В Джеймсе, I.M. (ред.). История топологии. Северная Голландия. ISBN  978-0-444-82375-5.
• Келли, Джон Л. (1975). Общая топология. Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-90125-1.
• Браун, Рональд (2006). Топология и группоиды. Книжный цех. ISBN  978-1-4196-2722-4. (Предоставляет хорошо мотивированное геометрическое описание общей топологии и показывает использование группоидов при обсуждении теорема ван Кампена, перекрытия, и орбитальные пространства.)
• Вацлав Серпинский, Общая топология, Dover Publications, 2000 г., ISBN  0-486-41148-6
• Пиковер, Клиффорд А. (2006). Лента Мёбиуса: Чудесная группа доктора Августа Мёбиуса по математике, играм, литературе, искусству, технологиям и космологии. Громовой пресс. ISBN  978-1-56025-826-1. (Предлагает популярное введение в топологию и геометрию)
• Джеминьяни, Майкл С. (1990) [1967], Элементарная топология (2-е изд.), Dover Publications Inc., ISBN  978-0-486-66522-1

внешняя ссылка

• «Топология, общая», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Элементарная топология: первый курс Виро, Иванов, Нецветаев, Харламов.
• Топология в Керли
• Топологический зоопарк в Центр геометрии.
• Атлас топологии
• Конспект лекций по курсу топологии Эйслинг МакКласки и Брайан Макмастер, Атлас топологии.
• Глоссарий топологии
• Москва 1935: Топология движется в сторону Америки, исторический очерк автора Хасслер Уитни.