Гомеоморфизм - Homeomorphism
в математический поле топология, а гомеоморфизм, топологический изоморфизм, или же бинепрерывная функция это непрерывная функция между топологические пространства который имеет непрерывный обратная функция. Гомеоморфизмы - это изоморфизмы в категория топологических пространств - то есть они сопоставления которые сохраняют все топологические свойства заданного пространства. Два пространства с гомеоморфизмом между ними называются гомеоморфный, и с топологической точки зрения они одинаковы. Слово гомеоморфизм исходит из Греческий слова ὅμοιος (homoios) = аналогичный или такой же и μορφή (морфе) = форма, форма, введенная в математику Анри Пуанкаре в 1895 г.[1][2]
Грубо говоря, топологическое пространство - это геометрический объект, а гомеоморфизм - это непрерывное растяжение и изгибание объекта в новую форму. Таким образом, квадрат и круг гомеоморфны друг другу, но сфера и тор не. Однако это описание может ввести в заблуждение. Некоторые непрерывные деформации не являются гомеоморфизмами, например, деформация прямой в точку. Некоторые гомеоморфизмы не являются непрерывными деформациями, например гомеоморфизм между трилистник и круг.
Часто повторяющийся математическая шутка в том, что топологи не могут отличить чашку кофе от пончика,[3] поскольку достаточно гибкий пончик можно было придать форме кофейной чашки, создав ямочку и постепенно увеличивая ее, сохраняя при этом отверстие для пончика в ручке чашки.
Определение
А функция между двумя топологические пространства это гомеоморфизм если он имеет следующие свойства:
- это биекция (один к одному и на ),
- является непрерывный,
- то обратная функция непрерывно ( является открытое отображение ).
Гомеоморфизм иногда называют бинепрерывный функция. Если такая функция существует, и находятся гомеоморфный. А самогомеоморфизм является гомеоморфизмом топологического пространства на себя. «Быть гомеоморфным» - это отношение эквивалентности на топологических пространствах. Его классы эквивалентности называются классы гомеоморфизма.
Примеры
- Открыто интервал гомеоморфен действительные числа для любого . (В этом случае бинепрерывное прямое отображение задается формулой в то время как другие такие сопоставления даются масштабированными и переведенными версиями загар или же arg tanh функции).
- Блок 2-диск и единичный квадрат в р2 гомеоморфны; так как единичный диск можно деформировать в единичный квадрат. Пример бинепрерывного отображения квадрата в круг в полярные координаты, .
- В график из дифференцируемая функция гомеоморфен домен функции.
- Дифференцируемый параметризация из изгиб является гомеоморфизмом области параметризации и кривой.
- А Диаграмма из многообразие является гомеоморфизмом между открытое подмножество многообразия и открытое подмножество Евклидово пространство.
- В стереографическая проекция является гомеоморфизмом единичной сферы в р3 с одной удаленной точкой и набором всех точек в р2 (двумерный самолет ).
- Если это топологическая группа, его инверсионное отображение является гомеоморфизмом. Также для любого , левый перевод , правильный перевод , а внутренний автоморфизм являются гомеоморфизмами.
Не примеры
- рм и рп не гомеоморфны для м ≠ п.
- Евклидова реальная линия не гомеоморфно единичной окружности как подпространство р2, поскольку единичная окружность компактный как подпространство евклидова р2 но настоящая линия не компактна.
- Одномерные интервалы и не гомеоморфны, потому что не может быть непрерывной биекции.[4]
Примечания
Третье требование, что быть непрерывным, существенно. Рассмотрим, например, функцию (в единичный круг в ) определяется. Эта функция биективна и непрерывна, но не гомеоморфизм ( является компактный но не является). Функция не является непрерывным в точке потому что хотя карты к , любой район этой точки также включает точки, которые функция отображает близко к но точки, которые он сопоставляет с числами между ними, находятся за пределами окрестности.[5]
Гомеоморфизмы - это изоморфизмы в категория топологических пространств. Таким образом, композиция двух гомеоморфизмов снова является гомеоморфизмом, а множество всех самогеоморфизмов образует группа, называется группа гомеоморфизмов из Икс, часто обозначаемый . Этой группе может быть задана топология, например компактно-открытая топология, что при определенных предположениях делает его топологическая группа.[6]
Для некоторых целей группа гомеоморфизмов оказывается слишком большой, но из-за изотопия соотношении, можно свести эту группу к группа классов отображения.
Аналогично, как обычно в теории категорий, для двух гомеоморфных пространств пространство гомеоморфизмов между ними это торсор для групп гомеоморфизмов и , и, учитывая определенный гомеоморфизм между и , идентифицированы все три набора.
Характеристики
- Два гомеоморфных пространства имеют одно и то же топологические свойства. Например, если один из них компактный, то другой тоже; если один из них связаны, то другой тоже; если один из них Хаусдорф, то другой тоже; их гомотопия и группы гомологии совпадет. Обратите внимание, однако, что это не распространяется на свойства, определенные через метрика; существуют метрические пространства, гомеоморфные, хотя одно из них полный а другой нет.
- Гомеоморфизм одновременно является открытое отображение и закрытое отображение; то есть он отображает открытые наборы открывать наборы и закрытые наборы в закрытые наборы.
- Каждый самогомеоморфизм в продолжается до автогомеоморфизма всего круга (Уловка Александра ).
Неформальное обсуждение
Интуитивный критерий растяжения, изгиба, разрезания и склеивания требует определенной практики для правильного применения - из приведенного выше описания может быть неочевидно, что деформация отрезок в точку недопустимо, например. Таким образом, важно понимать, что значение имеет формальное определение, данное выше. В этом случае, например, отрезок прямой имеет бесконечно много точек и поэтому не может быть помещен в биекцию с набором, содержащим только конечное число точек, включая единственную точку.
Эта характеристика гомеоморфизма часто приводит к путанице с понятием гомотопия, что на самом деле определенный как непрерывная деформация, но от одного функция в другое, а не одно пространство в другое. В случае гомеоморфизма представление о непрерывной деформации - это мысленный инструмент для отслеживания того, какие точки в пространстве Икс соответствуют каким точкам на Y- за ними просто следует как Икс деформируется. В случае гомотопии непрерывная деформация от одной карты к другой имеет существенное значение, а также является менее ограничивающим, поскольку ни одна из задействованных карт не должна быть взаимно однозначной или наложенной. Гомотопия действительно приводит к отношению на пространствах: гомотопическая эквивалентность.
Есть название для вида деформации, участвующей в визуализации гомеоморфизма. Это (кроме случаев, когда требуется резка и заточка) изотопия между карта идентичности на Икс и гомеоморфизм из Икс к Y.
Смотрите также
- Локальный гомеоморфизм
- Диффеоморфизм - Изоморфизм гладких многообразий; гладкая биекция с гладкой обратной
- Равномерный изоморфизм - Равномерно непрерывный гомеоморфизм - это изоморфизм между равномерные пространства
- Изометрический изоморфизм это изоморфизм между метрические пространства
- Группа гомеоморфизмов
- Ден твист
- Гомеоморфизм (теория графов) (тесно связан с подразделением графа)
- Гомотопия # Изотопия
- Группа классов сопоставления - Группа изотопических классов группы топологических автоморфизмов
- Гипотеза Пуанкаре - Теорема в геометрической топологии
- Универсальный гомеоморфизм
Рекомендации
- ^ "Анализ Situs selon Poincaré (1895)". serge.mehl.free.fr. Архивировано из оригинал 11 июня 2016 г.. Получено 29 апреля 2018.
- ^ Gamelin, T. W .; Грин, Р. Э. (1999). Введение в топологию. Курьер. п. 67.
- ^ Хаббард, Джон Х .; Запад, Беверли Х. (1995). Дифференциальные уравнения: подход динамических систем. Часть II: многомерные системы. Тексты по прикладной математике. 18. Springer. п. 204. ISBN 978-0-387-94377-0.
- ^ «Непрерывная биекция от (0,1) до [0,1]». Обмен стеками математики. 2011-06-01. Получено 2019-04-02.
- ^ Вяйсяля, Юсси: Топология I, Limes RY 1999, стр. 63. ISBN 951-745-184-9.
- ^ Дейкстра, Ян Дж. (1 декабря 2005 г.). «О группах гомеоморфизмов и компактно-открытой топологии» (PDF). Американский математический ежемесячник. 112 (10): 910. Дои:10.2307/30037630. В архиве (PDF) из оригинала 16 сентября 2016 г.
внешняя ссылка
- «Гомеоморфизм», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
- «Гомеоморфизм». PlanetMath.