Группа гомеоморфизмов - Homeomorphism group

В математика, особенно топология, то группа гомеоморфизмов из топологическое пространство это группа состоящий из всех гомеоморфизмы из пространства к себе с функциональная композиция как группа операция. Группы гомеоморфизмов очень важны в теории топологических пространств и в целом являются примерами группы автоморфизмов. Группы гомеоморфизмов топологические инварианты в том смысле, что группы гомеоморфизмов гомеоморфных топологических пространств являются изоморфны как группы.

Свойства и примеры

Есть естественный групповое действие группы гомеоморфизмов пространства на этом пространстве. Позволять ${ displaystyle X}$ - топологическое пространство и обозначим группу гомеоморфизмов ${ displaystyle X}$ к ${ displaystyle G}$. Действие определяется следующим образом:

${ displaystyle { begin {align} G times X & longrightarrow X ( varphi, x) & longmapsto varphi (x) end {выравнивается}}}$

Это групповая акция, поскольку для всех ${ displaystyle varphi, psi in G}$,

${ Displaystyle varphi cdot ( psi cdot x) = varphi ( psi (x)) = ( varphi circ psi) (x)}$

куда ${ displaystyle cdot}$ обозначает действие группы, а элемент идентичности из ${ displaystyle G}$ (какой функция идентичности на ${ displaystyle X}$) отправляет очки себе. Если это действие переходный, то пространство называется однородный.

Топология

Эта секция нуждается в расширении. Вы можете помочь добавляя к этому. (Март 2009 г.)

Как и в случае с другими наборами отображений между топологическими пространствами, группе гомеоморфизмов может быть задана топология, такая как компактно-открытая топология В случае регулярных локально компактных пространств групповое умножение будет непрерывным.

Если пространство компактно и хаусдорфово, то инверсия также непрерывна и ${ Displaystyle Homeo (X)}$ становится топологическая группа как легко можно показать.^[1] Если ${ displaystyle X}$ хаусдорфово, локально компактно и локально связно, это также верно.^[2] Однако существуют локально компактные сепарабельные метрические пространства, для которых отображение инверсии не непрерывно и ${ Displaystyle Homeo (X)}$ следовательно, не топологическая группа.^[2]

В категории топологических пространств с гомеоморфизмами групповые объекты являются в точности группами гомеоморфизмов.

Группа классов сопоставления

В геометрическая топология особенно, если учесть факторгруппа полученный путем частичного выделения на изотопия, называется группа классов отображения:

${ displaystyle { rm {MCG}} (X) = { rm {Homeo}} (X) / { rm {Homeo}} _ {0} (X)}$

MCG также можно интерпретировать как 0-й гомотопическая группа, ${ displaystyle { rm {MCG}} (X) = pi _ {0} ({ rm {Homeo}} (X))}$. Это дает короткая точная последовательность:

${ displaystyle 1 rightarrow { rm {Homeo}} _ {0} (X) rightarrow { rm {Homeo}} (X) rightarrow { rm {MCG}} (X) rightarrow 1.}$

В некоторых приложениях, особенно на поверхностях, группа гомеоморфизмов изучается с помощью этой короткой точной последовательности и сначала путем изучения группы классов отображений и группы изотопически тривиальных гомеоморфизмов, а затем (иногда) расширения.

Смотрите также

• Группа классов сопоставления

Рекомендации

• "группа гомеоморфизмов", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]