Группа классов картографии - Википедия - Mapping class group

В математика, в подполе геометрическая топология, то группа классов отображения является важным алгебраическим инвариантом топологическое пространство. Вкратце, группа классов отображения - это некая дискретная группа соответствующие симметриям пространства.

Мотивация

Рассмотрим топологическое пространство, то есть пространство с некоторым понятием близости между точками в пространстве. Мы можем рассматривать множество гомеоморфизмы из пространства в себя, то есть непрерывный карты с непрерывным обратное: функции, которые непрерывно растягивают и деформируют пространство, не нарушая и не склеивая пространство. Этот набор гомеоморфизмов можно рассматривать как само пространство. Он образует группу по функциональному составу. Мы также можем определить топологию на этом новом пространстве гомеоморфизмов. В открытые наборы этого нового функционального пространства будет состоять из наборов функций, которые отображают компактный подмножества K на открытые подмножества U в качестве K и U диапазон во всем нашем исходном топологическом пространстве, дополненный их конечными перекрестки (которые должны быть открытыми по определению топологии) и произвольными союзы (опять же, который должен быть открыт). Это дает понятие непрерывности на пространстве функций, так что мы можем рассматривать непрерывную деформацию самих гомеоморфизмов: называемую гомотопии. Мы определяем группу классов отображений, беря гомотопические классы гомеоморфизмов и индуцируя структуру группы из функциональной композиционной групповой структуры, уже имеющейся в пространстве гомеоморфизмов.

Определение

Период, термин группа классов отображения имеет гибкое использование. Чаще всего он используется в контексте многообразие M. Группа классов отображения M интерпретируется как группа классы изотопии из автоморфизмы из M. Так что если M это топологическое многообразие группа классов отображений - это группа изотопических классов гомеоморфизмы из M. Если M это гладкое многообразие группа классов отображений - это группа изотопических классов диффеоморфизмы из M. Когда группа автоморфизмов объекта Икс имеет естественный топология, группа классов отображений Икс определяется как ${ displaystyle operatorname {Aut} (X) / operatorname {Aut} _ {0} (X)}$, куда ${ displaystyle operatorname {Aut} _ {0} (X)}$ это компонент пути идентичности в ${ displaystyle operatorname {Aut} (X)}$. (Обратите внимание, что в компактно-открытой топологии компоненты пути и изотопические классы совпадают, т.е. два отображения ж и грамм находятся в одном компоненте пути если только они изотопны). Для топологических пространств это обычно компактно-открытая топология. в низкоразмерная топология литературе, группа классов отображения Икс обычно обозначают MCG (Икс), хотя его также часто называют ${ displaystyle pi _ {0} ( operatorname {Aut} (X))}$, где вместо Aut подставляется соответствующая группа категория которому Икс принадлежит. Здесь ${ displaystyle pi _ {0}}$ обозначает 0-й гомотопическая группа пространства.

Так что в общем есть короткая точная последовательность групп:

${ displaystyle 1 rightarrow operatorname {Aut} _ {0} (X) rightarrow operatorname {Aut} (X) rightarrow OperatorName {MCG} (X) rightarrow 1.}$

Часто эта последовательность не расколоть.^[1]

Если работаешь в гомотопическая категория, группа классов отображений Икс это группа гомотопические классы из гомотопические эквивалентности из Икс.

Есть много подгруппы групп классов отображений, которые часто изучаются. Если M ориентированное многообразие, ${ displaystyle operatorname {Aut} (M)}$ были бы сохраняющими ориентацию автоморфизмами M и поэтому группа классов отображения M (как ориентированное многообразие) будет индексом два в группе классов отображений M (как неориентированное многообразие) при условии M допускает обращающий ориентацию автоморфизм. Точно так же подгруппа, которая действует как тождество на всех группы гомологии из M называется Группа Торелли из M.

Примеры

Сфера

В любой категории (гладкой, PL, топологической, гомотопической)^[2]

${ Displaystyle OperatorName {MCG} (S ^ {2}) simeq mathbb {Z} / 2 mathbb {Z},}$

соответствующие картам степень  ±1.

Тор

в гомотопическая категория

${ displaystyle operatorname {MCG} ( mathbf {T} ^ {n}) simeq operatorname {GL} (n, mathbb {Z}).}$

Это потому, что n-мерный тор ${ Displaystyle mathbf {T} ^ {n} = (S ^ {1}) ^ {n}}$ является Пространство Эйленберга – Маклейна.

Для других категорий, если ${ displaystyle n geq 5}$,^[3] один имеет следующие последовательности с точным разбиением:

в категория топологических пространств

${ displaystyle 0 to mathbb {Z} _ {2} ^ { infty} to operatorname {MCG} ( mathbf {T} ^ {n}) to operatorname {GL} (n, mathbb {Z}) to 0}$

в PL-категория

${ displaystyle 0 to mathbb {Z} _ {2} ^ { infty} oplus { binom {n} {2}} mathbb {Z} _ {2} to operatorname {MCG} ( mathbf {T} ^ {n}) to operatorname {GL} (n, mathbb {Z}) to 0}$

(⊕ представляет прямая сумма ).В гладкая категория

${ displaystyle 0 to mathbb {Z} _ {2} ^ { infty} oplus { binom {n} {2}} mathbb {Z} _ {2} oplus sum _ {я = 0 } ^ {n} { binom {n} {i}} Gamma _ {i + 1} to operatorname {MCG} ( mathbf {T} ^ {n}) to operatorname {GL} (n , mathbb {Z}) to 0}$

куда ${ displaystyle Gamma _ {i}}$ - конечные абелевы группы Кервера – Милнора группы гомотопические сферы и ${ Displaystyle mathbb {Z} _ {2}}$ группа порядка 2.

Поверхности

Группы классов отображения поверхности были тщательно изучены и иногда называются модулярными группами Тейхмюллера (обратите внимание на частный случай ${ Displaystyle OperatorName {MCG} ( mathbf {T} ^ {2})}$ выше), поскольку они действуют на Пространство Тейхмюллера а частное - это пространство модулей римановых поверхностей, гомеоморфных поверхности. Эти группы обладают чертами, сходными как с гиперболические группы и линейным группам более высокого ранга^{[нужна цитата ]}. У них много приложений в Терстон теория геометрической трёхмерные многообразия (например, чтобы поверхностные пучки ). Элементы этой группы также были изучены сами по себе: важным результатом является Классификация Нильсена-Терстона теорема, а порождающее семейство группы задается формулой Ден скручивает которые в некотором смысле являются «простейшими» классами отображения. Каждая конечная группа является подгруппой группы классов отображений замкнутой ориентируемой поверхности;^[4] на самом деле любую конечную группу можно реализовать как группу изометрий некоторого компактного Риманова поверхность (что сразу означает, что он внедряется в группу классов отображений базовой топологической поверхности).

Неориентируемые поверхности

Немного неориентируемый поверхности имеют группы классов отображений с простыми представлениями. Например, каждый гомеоморфизм реальная проективная плоскость ${ Displaystyle mathbf {P} ^ {2} ( mathbb {R})}$ изотопно тождеству:

${ displaystyle operatorname {MCG} ( mathbf {P} ^ {2} ( mathbb {R})) = 1.}$

Группа классов отображения Бутылка Клейна K является:

${ displaystyle operatorname {MCG} (K) = mathbb {Z} _ {2} oplus mathbb {Z} _ {2}.}$

Четыре элемента - это личность, Ден твист на двусторонней кривой, которая не ограничивает Лента Мебиуса, то у-гомеоморфизм из Ликориш, и произведение твиста и y-гомеоморфизма. Это хорошее упражнение, чтобы показать, что квадрат твиста Дена изотопен тождеству.

Отметим также, что закрытые род три неориентируемых поверхности N₃ (связная сумма трех проективных плоскостей) имеет:

${ displaystyle operatorname {MCG} (N_ {3}) = operatorname {GL} (2, mathbb {Z}).}$

Это потому, что поверхность N имеет уникальный класс односторонних кривых таких, что когда N разрезается по такой кривой C, получившаяся поверхность ${ Displaystyle N setminus C}$ является тор с удаленным диском. Как неориентированная поверхность, ее группа классов отображений ${ displaystyle operatorname {GL} (2, mathbb {Z})}$. (Лемма 2.1^[5]).

3-манифольды

Группы классов отображений 3-многообразий также получили значительное исследование и тесно связаны с группами классов отображений 2-многообразий. Например, любая конечная группа может быть реализована как группа классов отображений (а также группа изометрий) компактного трехмерного гиперболического многообразия.^[6]

Отображение групп классов пар

Учитывая пара пространств (Х, А) группа классов отображений пары - это изотопические классы автоморфизмов пары, где автоморфизм (Х, А) определяется как автоморфизм Икс что сохраняет А, т.е. ж: Икс → Икс обратима и f (А) = А.

Группа симметрии узла и звеньев

Если K ⊂ S³ это морской узел или связь, то группа симметрии узла (соотв. ссылка) определяется как группа классов отображения пары (S³, K). Группа симметрии гиперболический узел как известно двугранный или же циклический, причем каждая диэдральная и циклическая группа может быть реализована как группы симметрии узлов. Группа симметрии торический узел известен как второй порядок Z₂.

Группа Торелли

Обратите внимание, что существует индуцированное действие группы классов отображений на гомология (и когомология ) пространства Икс. Это потому, что (ко) гомологии функториальны и Гомео₀ действует тривиально (поскольку все элементы изотопны, следовательно, гомотопны единице, которая действует тривиально, а действие на (ко) гомологиях инвариантно относительно гомотопии). Ядром этого действия является Группа Торелли, названный в честь Теорема Торелли.

В случае ориентируемых поверхностей это действие на первых когомологиях ЧАС¹(Σ) ≅ Z^2грамм. Сохраняющие ориентацию отображения - это в точности те, которые тривиально действуют на верхних когомологиях ЧАС²(Σ) ≅ Z. ЧАС¹(Σ) имеет симплектический структура, исходящая из чашка продукта; поскольку эти отображения являются автоморфизмами, а отображения сохраняют кубовое произведение, группа классов отображений действует как симплектические автоморфизмы, и действительно, все симплектические автоморфизмы реализуются, давая короткая точная последовательность:

${ displaystyle 1 to operatorname {Tor} ( Sigma) to operatorname {MCG} ( Sigma) to operatorname {Sp} (H ^ {1} ( Sigma)) cong operatorname {Sp } _ {2g} ( mathbf {Z}) to 1}$

Можно распространить это на

${ displaystyle 1 to operatorname {Tor} ( Sigma) to operatorname {MCG} ^ {*} ( Sigma) to operatorname {Sp} ^ { pm} (H ^ {1} ( Sigma)) cong operatorname {Sp} _ {2g} ^ { pm} ( mathbf {Z}) to 1}$

В симплектическая группа хорошо понимается. Следовательно, понимание алгебраической структуры группы классов отображений часто сводится к вопросам о группе Торелли.

Заметим, что для тора (род 1) отображение в симплектическую группу является изоморфизмом, а группа Торелли обращается в нуль.

Группа классов стабильного отображения

Эта секция нуждается в расширении. Вы можете помочь добавляя к этому. (Декабрь 2009 г.)

Можно заделать поверхность ${ displaystyle Sigma _ {g, 1}}$ рода грамм и 1 граничный компонент в ${ displaystyle Sigma _ {g + 1,1}}$ прикрепив на конце дополнительное отверстие (т. е. склеив ${ displaystyle Sigma _ {g, 1}}$ и ${ displaystyle Sigma _ {1,2}}$), и, таким образом, автоморфизмы малой поверхности, фиксирующие границу, распространяются на большую поверхность. Принимая прямой предел этих групп и включений дает стабильная группа классов отображений, кольцо рациональных когомологий которого было предположено Дэвид Мамфорд (одна из гипотез, названная Гипотезы Мамфорда ). Целочисленное (а не только рациональное) кольцо когомологий было вычислено в 2002 г. Иб Мадсен и Майкл Вайс, доказывая гипотезу Мамфорда.

Смотрите также

• Группы кос группы классов отображений проколотых дисков
• Гомотопические группы
• Гомеотопия группы
• Фонарь отношение

Рекомендации

• Бирман, Жанна (1974). Косы, связи и группы классов отображения. Летопись математических исследований. 82. Принстон, штат Нью-Джерси: Princeton University Press. ISBN  978-0691081496. МИСТЕР  0375281.
• Автоморфизмы поверхностей по Нильсену и Терстону к Эндрю Кэссон и Стив Блейлер.
• "Mapping Class Groups" Автор: Николай Васильевич Иванов в Справочник по геометрической топологии.
• Учебник по отображению групп классов к Бенсон Фарб и Дэн Маргалит
• Пападопулос, Атанас, изд. (2007), Справочник по теории Тейхмюллера. Vol. я, ИРМА Лекции по математике и теоретической физике, 11, Европейское математическое общество (EMS), Цюрих, Дои:10.4171/029, ISBN  978-3-03719-029-6, МИСТЕР  2284826
• Пападопулос, Атанас, изд. (2009), Справочник по теории Тейхмюллера. Vol. II, ИРМА Лекции по математике и теоретической физике, 13, Европейское математическое общество (EMS), Цюрих, arXiv:математика / 0511271, Дои:10.4171/055, ISBN  978-3-03719-055-5, МИСТЕР  2524085
• Пападопулос, Атанас, изд. (2012), Справочник по теории Тейхмюллера. Vol. III, ИРМА Лекции по математике и теоретической физике, 17, Европейское математическое общество (EMS), Цюрих, Дои:10.4171/103, ISBN  978-3-03719-103-3, МИСТЕР  2961353
• Пападопулос, Атанас, изд. (2014), Справочник по теории Тейхмюллера. Vol. IV, ИРМА Лекции по математике и теоретической физике, 19, Европейское математическое общество (EMS), Цюрих, Дои:10.4171/117, ISBN  978-3-03719-117-0

Группа классов стабильного отображения

• Устойчивое пространство модулей римановых поверхностей: гипотеза Мамфорда, к Иб Мадсен и Майкл С. Вайс, 2002

  Опубликовано как: Устойчивое пространство модулей римановых поверхностей: гипотеза Мамфорда, Иб Мэдсен и Майкл С. Вайс, 2007, Анналы математики

внешняя ссылка

• Семинар Madsen-Weiss MCG; много ссылок